《拓扑学》教学大纲

1、 拓扑学教学大纲前言拓扑学课程是数学与应用数学专业的必修课程它是研究几何图形在连续变动保持不变的性质（下称“连续不变性”）本课程主要介绍一般拓扑学的基本概念和基础理论一般拓扑学又称点集拓扑学，即在一般集合上引入拓扑结构，它是拓扑学的基础，主要研究一般拓扑空间的自身结构与拓扑空间上连续映射的学科，目前，拓扑学的概念、方法和理论已经广泛地渗透到现代数学以及邻近学科的许多领域，并且有着日益重要的应用设置本课程的目的是：通过本课程的学习，一方面使学生掌握一般拓扑学的基本概念、基本思想与基本方法，为进一步学习现代数学提供必要的理论基础另一方面使学生可以从较高观点观察、分析已经学过的数学分析和几何学的内容

2、，加深对这些内容的认识和理解学习本课程的要求是：学习者应掌握拓扑学的一些基本概念，基本思想方法和基本性质，熟练掌握一些常见的拓扑空间，并能用所学的几种连续不变性区分一些简单的拓扑空间在学习拓扑学基本理论知识的基础上，掌握拓扑学研究问题的整体性，抽象性和高度概括性力求活跃数学思想，从而能运用较高层次的数学观点与数学知识先修课程要求：数学分析，高等代数，空间解析几何本课程计划：72学时，4学分选用教材：熊金城，点集拓扑学讲义（第三版），高等教育出版社，2003教学手段：课堂讲授为主，习题课与讨论课为辅考核方法：考试教学进程安排表周次学时数教学主要内容教学环节备注12拓扑学简介，集合的基本概念与基本

3、运算及其基本性质讲课12集合上的关系与等价关系，商集，映射，集族及其运算性质，集合的势讲课22度量空间，球形邻域，开集讲课与习题课相结合22度量空间中的连续映射，拓扑空间，几种常见的拓扑空间讲课与习题课相结合32拓扑空间中的连续映射，同胚映射讲课32邻域与邻域系，映射的点态连续讲课42导集，闭集，闭包讲课42内部，边界，基讲课52子基，邻域基讲课与习题课相结合52拓扑空间中的序列及其敛散性讲课62子空间及其诱导拓扑讲课62积度量空间，积拓扑空间，开（闭）映射讲课72商空间与商拓扑讲课72连通空间的概念，同胚不变性，可商性，有限可积性讲课82连通性的基本性质及其证明讲课82连通性的简单应用讲课9

4、2连通分支的概念及其性质讲课92道路，道路连通及其性质，道路连通与连通之间的关系讲课102第一与第二可数性公理及它们之间的关系讲课与习题课相结合102可遗传性，第一、二可数性公理的性质讲课112可分空间的概念及其性质讲课112Lindelff空间讨论课122空间，空间，Hausdorff空间讲课122正则空间，正规空间，空间，空间讲课132Urysohn引理，Tietze扩张引理讲课132完全正则空间，Tychonoff空间讲课142分离性公理与子空间、（有限）积空间与商空间讲课142可度量化空间及其充要条件讲课152紧致空间（上）讲课152紧致空间（下）讨论课162紧致性与分离性公理讲课16

5、2中的紧致子集讲课172几种紧致性以及它们之间的关系（上）讲课172几种紧致性以及它们之间的关系（下）讲课182度量空间中紧致性讲课182复习习题课第一章集合论初步一、学习目的通过本章的学习，要求熟练掌握朴素集合论的一些基本概念，子集的各种运算及其性质，理解集合上的关系和等价关系的概念，掌握集合中集族的概念与运算性质为今后在一般集合上附以拓扑结构打好基础本章计划4学时二、课程内容11集合论的基本概念集合的一些基本概念：元素、空集、子集与真子集、集合相等、包含与包含于，属于与不属于，幂集等12集合的基本运算集合的各种运算（并，交、差、补）及其性质（幂等律，交换律、结合律、分配律和De Morga

6、n律）13关系集合的卡氏积，有序偶的概念，关系，关系的逆与复合14等价关系集合上的恒同关系，关系的自反性、对称性、反对称性、传递性等概念等价关系、等价类、商集的概念与性质15映射映射，映射的复合，单射，满射，一一映射，恒同映射，可逆映射，映射的限制和扩张，投影与自然投影16集族及其运算有标集族（集族）与指标集的概念集族的并与交及其运算性质17可数集，不可数集，基数有限集与无限集；可数集与不可数集，集合势的概念及其性质，CantorBernstein定理及其应用，连续统假设与广义连续统假设18选择公理集合的选择函数，选择公理及其等价命题三、教学基本要求复习：集合的一些基本概念与基本性质，强调各符

7、号的规范性理解：有关关系，等价关系，集族的概念掌握：等价关系的证明，集族运算及其性质了解：连续统假设，广义连续统假设四、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1关系与等价关系，商集的概念2集族的概念，集族的运算及其性质（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合五、思考与练习思考：1集合论中的“关系”与日常生活中“关系”有无关联？2举例说明哪些关系是等价关系，哪些关系不是等价关系3集族的运算与有限个集合的运算有何不同？注：思考与练习的形式有教师自行确定，下同第二章拓扑空间与连续映射一、学习目的通过本章的学习要求，熟练掌握度量空间、拓扑空间及两种空间上连续映射的定义以及它们的一致性熟记几种常见的拓扑空

8、间，为今后讨论各种拓扑性质提供具体的模型明确拓扑学的中心任务通过度量空间和拓扑空间中连续映射的学习加深对数学分析中连续函数的理解本章计划16学时二、课程内容21度量空间与连续映射度量与度量空间的概念，实数空间与n维欧氏空间中的通常度量，离散度量，球形邻域，开集等一些基本概念映射在某点连续，连续映射的概念及其充分必要条件22拓扑空间与连续映射拓扑与拓扑空间，开集的概念，由度量诱导的拓扑，平庸拓扑，离散拓扑，有限补拓扑，可数补拓扑等一些常见的拓扑可度量化空间的概念拓扑空间的连续映射，同胚映射，同胚连续映射的各种简单性质23邻域与邻域系邻域、邻域系的概念及其性质拓扑空间中映射的点态连续两种整体连续定

9、义的一致性24导集、闭集、闭包凝聚点、导集、孤立点的概念及其性质闭集、闭包的概念及其性质各种常见拓扑空间中的凝聚点、闭集度量空间中通过点到非空子集的距离刻画导集与闭包的性质拓扑空间中连续映射的等价定义25内点、边界内点、内部、边界点、边界的概念与性质26基与子基拓扑基的概念，常见拓扑空间中的基基的判别法子集族能生成拓扑的充分必要条件，以及生成拓扑的方法子基的概念，以及如何由“子基”生成一个“基”，再由“基”生成拓扑如何用基与子基刻画连续映射邻域基与邻域子基的概念，以及如何用邻域基与邻域子基刻画映射在某点的连续性27拓扑空间的序列拓扑空间中的序列，子序列及其敛散性的概念序列收敛的性质各种常见拓扑

10、空间中序列的敛散性拓扑空间和度量空间中，序列收敛与凝聚点与连续映射三、教学基本要求理解：度量与度量空间，拓扑与拓扑空间的概念度量空间与拓扑空间上的映射连续性（点态连续和整体连续）的一致性度量空间与拓扑空间中序列的收敛掌握：度量空间与拓扑空间上的连续映射的概念及其各种充分必要条件凝聚点（导集）、孤立点、闭集、闭包、内点（内部）与边界（点）的概念以及它们之间的关系基，子基与邻域基的概念及其判别法，如何由“基”或“子基”生成相应的拓扑邻域基的概念会用基、子基和邻域基刻画映射的连续性度量空间与拓扑空间中序列收敛性的异同熟记：几种常见的拓扑空间中拓扑的构造四、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1拓

11、扑空间及拓扑空间上的连续映射度量空间上连续映射两种定义的一致性2同胚映射，拓扑空间之间的同胚，拓扑学的中心任务3拓扑基、子基的概念，如何由“拓扑基”和“子基”生成拓扑4拓扑空间中序列的敛散性，与数学分析中序列敛散性的比较（二）教学手段课堂讲授与讨论课、习题课相结合讨论：一般拓扑空间中序列收敛与数学分析中序列收敛有哪些异同？五、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第三章子空间，（有限）积空间，商空间一、学习目的通过本章的学习，要求熟练掌握拓扑空间的子空间的相对拓扑，积拓扑，以及商拓扑的构造与基本性质熟练掌握几种常见的积空间与商空间会用上述三种方法构造简单的拓扑空间本章计划6学时二、课

12、程内容31子空间度量子空间，拓扑子空间集族的限制与相对拓扑的概念与性质拓扑子空间中基的构造拓扑空间的嵌入32（有限）积空间积度量与度量积空间的概念度量积空间中拓扑的构造拓扑空间的积空间的概念及其拓扑的构造开（闭）映射投影映射的性质33商空间由满射诱导的商拓扑，商映射与商空间由等价关系诱导的商拓扑，商映射与商拓扑几何上几种常见的商拓扑空间，如圆柱面环面，Mbius带，Klein瓶等三、教学基本要求理解：度量子空间，拓扑子空间的概念，拓扑空间嵌入的概念积度量与度量积空间，积拓扑与积拓扑空间的概念开（闭）映射，投影映射的概念与性质商拓扑空间的方法掌握：相对拓扑的构造与性质，拓扑子空间基的构造积拓扑的

13、构造两种生成商拓扑的方法几何上几种常见的商拓扑空间四、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1子空间上诱导拓扑的构造及其性质2积空间上诱导拓扑的构造及其性质3两种商空间上诱导拓扑的构造及其性质4几何上几种常见的商拓扑空间（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合五、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第四章连通性一、学习目的通过本章的学习，要求熟练掌握一般拓扑空间的连通性与道路连通性的概念和性质，以及它们之间的关系会判断简单拓扑空间及其简单子集的连通性与道路连通性会利用连通性或道路连通性区分一些简单的拓扑空间本章计划10学时二、课程内容41连通空间拓扑空间中两个子集的隔离，连通空间与不

14、连通空间的概念，以及不连通空间的等价条件，连通子集与不连通子集的概念及其性质连通性的性质及其证明42连通空间的某些简单应用实数空间中连通子集的充要条件，以及连通子集上连续函数的性质上的对径点与对径映射的概念以及BorsukUlam定理利用连通性说明与不同胚Brouwer不动点定理与高维BorsukUlam定理43连通分支拓扑空间中两点之间连通的概念，连通分支的概念及其性质44道路连通空间拓扑空间中道路，起点，终点和闭路的概念道路连通空间与道路连通子集的概念道路连通性的性质黏结引理及其证明道路连通分支的概念，简单的道路连通空间道路连通性与连通性之间的关系三、教学基本要求理解：连通性与连通空间，连

15、通分支的概念，道路与道路连通的概念掌握：连通性与道路连通性的性质连通性与道路连通性之间的关系，会判断简单拓扑空间的连通性和道路连通性会用连通性性道路连通性证明区分简单的拓扑空间了解：上的对径点与对径映射的概念以及BorsukUlam定理Brouwer不动点定理与高维BorsukUlam定理四、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1连通性，道路连通性的概念2连通性与道路连通性的关系（证明与反例）3连通性的简单应用，Brouwer不动点定理与高维BorsukUlam定理（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合五、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第五章有关可数性的公理一、学习目的通过

16、本章的学习，要求熟练掌握一般拓扑空间中的第一、二可数公理的概念，性质以及它们之间的关系会判断简单拓扑空间是否满足第一或第二可数公理会用两个可数公理区分一些简单的拓扑空间本章计划8学时二、课程内容51第一与第二可数性公理可数基与可数邻域基的概念空间与空间的定义度量空间是空间的证明空间与空间之间的关系（相对开或闭）子空间可遗传性质的概念空间与空间的性质及其证明空间与空间中点态连续与连续映射的性质52可分空间稠密子集与可分空间的概念及其性质第二可数性公理的可遗传性及其证明可分度量空间都是空间53Lindelff空间覆盖，可数覆盖，有限覆盖，子覆盖，开（闭）覆盖的概念Lindelff空间及其性质Lin

17、delffd定理一般拓扑空间，度量空间或欧氏空间中，满足第一、二可数性公理，可分性，Lindelff的之间的关系三、教学基本要求理解：第一、二可数性公理可遗传性的概念，稠密子集与可分空间的概念覆盖的一些基本概念，Lindelff空间的概念掌握：空间与空间之间的关系空间与空间的性质及其证明空间与空间中点态连续与连续映射的性质第二可数性公理的可遗传性及其证明可分度量空间都是空间Lindelffd定理一般拓扑空间，度量空间或欧氏空间中，满足第一、二可数性公理，可分性，Lindelff的之间的关系四、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1第一可数性与第二可数性的概念及它们之间的关系2可分空间的概念

18、及其性质3两种可数性是连续不变性，有限可积性的证明4Lindelff空间的概念及其性质5一般拓扑空间，度量空间或欧氏空间中，满足第一、二可数性公理，可分性，Lindelff的之间的关系（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合五、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第六章分离性公理一、学习目的通过本章的学习，要求熟练掌握一般拓扑空间的各种分离性的概念，以及它们之间的关系会判断简单拓扑空间的分离性会用可分离性区分一些简单的拓扑空间本章计划12学时二、课程内容61，Hausdorff空间空间空间，空间（Hausdorff空间）的概念，各自的充要条件空间，空间的性质空间空间，空间三者之间的关系

19、62正则，正规，、空间正则空间与正规空间的概念，各自的充要条件正则空间（正规空间）与空间、空间、空间之间的关系正则空间与正规空间之间的关系空间，空间的概念，性质空间，空间与正则（规）空间，空间、空间、空间之间的关系63Urysohn引理和Tietze扩张定理Urysohn引理与Tietze定理及其简单应用64完全正则空间，Tychonoff空间完全正则空间，Tychonoff空间的概念与性质Tychonoff定理65分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间证明所有的分离性都是拓扑不变性，也是有限可积性，但都不是可商性66可度量化空间Urysohn定理证明Hilbert空间是可分空间可度量化空

20、间的充分必要条件三、教学基本要求理解：空间，正则空间与正规空间，完全正则空间，Tychonoff空间的概念掌握：空间，正则空间与正规空间，完全正则空间，Tychonoff空间的性质及其证明，以及它们之间的关系会判别一些简单拓扑空间的可分离性会用可分离性区分一些简单的拓扑空间Hilbert空间是可分空间的证明可度量化空间的充分必要条件了解：Urysohn引理与Tietze定理及其简单应用Tychonoff定理Urysohn定理四、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1各种分离性的概念，以及它们之间的关系2各种分离性是连续不变性，有限可积性的证明3可度量化空间的充要条件及其证明（二）教学手段课

21、堂讲授与习题课相结合五、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第七章紧致性一、学习目的通过本章的学习，要求熟练掌握一般拓扑空间的紧致性，可数紧性，列紧性，序列紧性的概念以及它们之间的关系，紧致集本身的性质及紧致集上连续函数的性质熟练掌握度量空间，欧氏空间中各种紧致集的充要条件与性质会判断简单拓扑空间及其子集的紧性会应用紧性区分一些简单的拓扑空间本章计划14学时二、课程内容71紧致空间紧致空间，紧致子集的概念紧致空间与Lindelff空间之间的关系简单的紧致空间与非紧致空间紧致子集的充要条件有限交性质的概念及紧致性的另一种等价定义紧致性的基本性质紧致空间中闭子集的性质72紧致性与分离性公理Hausdorff空间和紧致空间中紧致子集的性质紧致空间中各种分离性之间的关系73 n维欧氏空间中的紧致子集有限子集和有限度量空间的概念与性质紧致度量空间的有界性欧氏空间中紧致子集的充要条件及其性质74几种紧致性以及其间的关系可数紧致空间，列紧空间，序列紧致空间的概念紧致性，可数紧性