《同调代数》教学大纲

1、 同调代数教学大纲前 言同调代数课程是数学与应用数学专业的专业选修课程。同调代数初成于上世纪40年代中期，是由著名数学家S.Eilenberg与S.Maclane等人的一系列重要工作奠基而成的一门学科，它的思想方法主要来自代数拓扑学中的复形的同调理论，它的研究对象主要是环模以及环模上的复形。在发展的过程中，同调代数充分地使用了范畴论中的方法和理论（因此使同调代数的一些结果可应用于更广的对象），并以Hom、以及它们的导出函子Ext、Tor作为最基本的函子，所以它能有效地给出环类的一些同调不变量（同调维数），使同类的环（尤其是同构的环）具有相同的同调不变量，从而给环论的研究提供了一个有力的新工具。

2、现在，同调代数作为一种有力的工具已被应用于群论、交换代数、代数几何、微分几何、代数拓扑、微分拓扑、数论、偏微分方程、非交换调和分析等学科，并越来越受到重视。设置本课程的目的是：向学生介绍同调代数中最基础的，也是最精彩的内容：主要是同调，上同调，Tor, Ext和导出函子的定义和性质,同时介绍三类特殊的模投射模、*模、平坦模它们的概念和由模对它们的分解而定义的同调不变量投射维数、*维数、平坦维数。学习本课程的要求是：学生应了解同调代数中最基础的知识，掌握Hom、以及它们的导出函子Ext、Tor的定义和简单性质，并将其作用于三种典型的特殊模类投射模、*模、平坦模而得出各自不同的同调不变量。要求学生

3、了解上述性质的同时，能够熟悉同调代数研究的方法，并能将其作为一种有力的工具应用到其他代数领域的研究。先修课程要求：线性代数，高等代数，近世代数。本课程计划：40学时，2学分选用教材：佟文廷编著，同调代数引论，高等教育出版社（1998）教学手段：课堂讲授为主，学生报告为辅考核方法：考查教学进程安排表周次学时数教学主要内容教学环节备注14第一章范畴与函子及其在模论中的应用1.1范畴讲课241.2函子与自然变换讲课341.3环模的张量积与函子讲课与报告结合441.4模正合列与图追踪法讲课与报告结合541.5函子Hom与的正合性讲课与报告结合641.6直和与直积讲课与报告结合741.7预加法范畴中Ho

4、m、与直和、直积的关系讲课与报告结合842.1投射模与投射维数讲课与报告结合942.2*模与*维数讲课与报告结合1042.3平坦模与弱维数讲课与报告结合第一章范畴与函子及其在模论中的应用一、学习目的通过本章的学习，学生应掌握范畴论中的最基本的一些概念与基本的结果。范畴、函子、正合性、直和、直积概念、性质，特殊函子Hom与的正合性等。二、课程内容11范畴介绍范畴的概念。一般范畴的基本性质，始对象、终对象、零对象的概念和它们在范畴中的作用、唯一性。12函子与自然变换介绍研究两个范畴间关系或同一范畴内在联系的一种重要工具函子，它的概念，简单性质和几种特殊的函子。另外介绍了研究两个函子间关系的自然变换

5、，它的定义和简单性质。13环模的张量积与函子介绍模的概念，它的简单性质。张量积以及张量函子的定义和它们具有的性质。14模正合列与图追踪法介绍模正合列的概念和基本性质，图追踪的方法。15函子Hom与的正合性介绍正合函子（左正合、右正合）的概念，讨论两类特殊的函子Hom与张量函子的正合性，事实上Hom函子是左正合的而张量函子是右正合的。16直和与直积介绍模的直和、直积的定义。直和的泛性质，直积的泛性质。17预加法范畴中Hom、与直和、直积的关系预加法范畴、加法范畴的概念。讨论预加法范畴中Hom、与直和、直积的关系。三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1.范畴与函子的定义及其基本结果。2.正

6、合列的概念与图追踪法，Hom、与函子的定义和它们的正合性。3.熟悉同调代数研究的基本技巧。（二）教学手段课堂讲授与学生报告讨论相结合四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第二章特殊模与其相应的维数一、学习目的投射模、*模和平坦模是环模论中最常见也是最基本的三大模类。投射模与*模有着丰富的对偶性，*模与平坦模之间也有着内在的联系，它们是同调代数和模论的主要研究对象。通过本章的学习，我们要掌握这三种特殊的模的定义和一些基本的性质，熟悉利用模对这三种特殊模的分解而给出的三种同调不变量，并在此基础上给出了环的同调维数整体维数与弱维数，它们在刻画环的性质上起到了相当大的作用。二、课程内容2

7、1投射模与投射维数介绍一类特殊的模投射模的概念、性质。通过模对投射模的投射分解给出模的左（右）投射维数，从而定义环的左（右）整体维数概念。并介绍了关于投射维数的一些结果。22*模与*维数介绍*模的概念和性质。利用模对*模的分解给出模的左（右）*维数概念，从而定义环的左（右）*整体维数，并介绍了*模与投射模之间的对偶性。23平坦模与弱维数介绍平坦模的概念和基本性质，以及利用模的平坦分解而定义的左（右）平坦维数和环的弱维数的概念和性质，并介绍了平坦模与投射模、*模之间的联系。三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1.三种特殊模的概念和性质。2.三种模之间的联系，尤其是投射模与*模之间的对偶性。3.利用模对三种特殊模的分解和定义同调不变量维数的方法，几种维数之间的关系。（二）