《实变函数》作业参考答案

1、实变函数作业参考答案判断题1 对；2错；3对； 4对； 5错； 6对；7错；8对；9对；10.对；11.对；12.错。1 证明： ( A ) B (A B).II证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。2 试找出使(0,1)和 0,1 之间一一对应的一种方法。证明：令 x1 , x2 , x3,.(0,1) ，做 f (x) ，使得 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 1 xx1 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document f (x)0 xx2 HYPERLINK l

2、bookmark6 o Current Document xn 2 xxn,n2其它处， f (x) x.三证明题.设fn仪)是E上几乎处处有限的可测函数列，mE ,而fn(x)几乎处处收敛于有限函数f(x),则对任意的 0,存在常数c与可测集EoE , m(E Eo) ，使在Eo,对一切n ,有| f(x) | c。证明：直接利用鲁津定理。.证明：证明CG x| f(x) a是开集，事实上，对任意 x CG,则f(x) a,由连续函数的局部保 号性，存 在 o ，使 得对一切 的 t B(x, ) ，有 f(t) a ， 即 B(x, ) CG ， 所以 x 是 内点， 从而 CG x|f(

3、x) a是开集。.设f(x)在E a,b可积，则对任何0,必存在E上的连续函数g(x),使得b| f(x) g(x) | dxa证明：教材第121 页例 1 。.设在E上fn(x)f(x),且fn(x)g(x)几乎处处于E上成立，n 1,2,.,试证f(x) g(x)在E上几乎处处成立。证明：利用黎次定理，由在 E 上 fn (x) f (x) ，得到存在子列fni (x) 使得 lim fn (x) f(x) 几乎处处ii成立，在利用控制性 fn(x) g(x),所以f (x) g(x)在E上几乎处处成立。.设E1,E2,.,En是0,1的n可测子集，假定0,1中的任一点至少属于这n个集合中

4、的q个，证明：必有q一个集，它的测度不小于 一n证明：令f(x)Ei i 111,则 0 f (x)dx q ,同时 q o f (x)dx mE1mE2 . mEn,在利用反证法，若对所有 i 1,2,., n ,有 mEiq ,则 q mE1mE2nmEn q ,矛盾。.设在Cantor集P。上定义函数f (x) 0,而在Po1,的余集中长为二的构成区间上定义3nf(x) n, (n 1,2,.)。试证f(x)在0,1上可积，并求出积分值。证明：先说明函数的可积性(简单函数的极限)1，0 f(x)dxnF 3.n 1,2,.,则几乎处处有fn(x)收敛于证明：利用黎次定理，由在E上fn(x

5、)f(x),得到存在子列fni(X)使得 liim fni(X)f (x)几乎处处成立，在利用单调性fn(x) fn i(X),所以几乎处处有fn(X)收敛于f (x)。.设在E上fn(x)f(x),且fn(x) fn i(X)几乎处处成立,f (x)。1,证明ln 2123、.试从(1 X) (X X )1 X证明：先验证逐项积分的条件成立，所以1 dx ln201 x2n(X02nx)dx)2n(X0 02nX1)dx00丘9.证明：nim1.dt(0, ) t 1(1 -)ntnn证明：验证Lebesgue控制定理的条件成立，所以limn (0,dxn 1(1 f) t ndx 1.Xe

6、10.设 mE0 , f(x)在E上可积。如果对于任何有界可测函数(x),都有f (x) (x)dx 0,证明：f (x)0在E上几乎处处成立证明：取 (x)f (x) 0，则有 I f (x)|dx 0,所以|f(x)| 0在E上几乎处处成立，从而f (x) 0Ef(x) 0在E上几乎处处成立。设fn为E上非负可积函数列，若limnE fn(x)dx0,E证明：fn(x)0。E证明：反证法，先写出fn(x)0的否定定义，再证明结论成立。12.证明：1 x p 11ln dx 2-,( p 1)。01 x x n 1 ( p n)一1证明：利用11 xx x2 .,验证逐项积分的条件成立，所以一 ln x1dx xIn13.设E是直线上的一个有界集合,m* E1c.1dx xn)2m*E 0 ,则对任意小于 m* E的正数 ，存在E的子集E1，使得证明：令f (x) m*