初二数学教案-第7章一次函数

1、常量和变量教学目标1、通过实例体验在一个过程中有些量固定不变，有些量不断地变化。2、了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在。3、会在简单的过程中辨别常量和变量。教学重点与难点教学重点：常量和变量的概念。教学难点：本节范例由于学生对宇航中的一些量不熟悉，而且涉及一定的物理知识，是本节教学的难点。教学过程一、引言：一辆长途客车从杭州驶向上海，全程哪些量不变？哪些量在变？当我们用数学来分析现实世界的各种现象时，会遇到各种各样的量，如物体运动中的速度、时间和距离；圆的半径、周长和圆周率；购买商品的数量、单价和总价；某城市一天中各时刻变化着的气温；某段河道一天中时刻变化着的水位”在某

2、一个过程中，有些量固定不变，有些量不断改变。二、合作交流，探求新知：1、请讨论下面的问题：(1)圆的周长公式为C=2二r，请取r的一些不同的值，算出相应的C的值：r二cmr二cmr=cmr=cms=cmS=cmS二cmS=cm在计算半径不同的圆的面积的过程中，哪些量在改变，哪些量不变？假设钟点工的工资标准为6元/时，设工作时数为t,应得工资额为m,则取一些不同的t的值,t二cmt=cmt=cmt-cmm=6t求出相应的m的值:在根据不同的工作时数计算钟点工应得工资额的过程中，哪些量在改变？哪些量不变?设问：一个量变化，具体地说是它的什么在变？什么不变呢？引导学生观察发现：是量的数值变与不变。2

3、、变量与常量的概念形成：在一个过程中，固定不变的量称为常量，如上面两题中，圆周率二和钟点工的工资标准6元/时。可以取不同数值的量称为变量，如上面两题中，半径r和圆面积s,工作时数t和工资额m都是变量。又如购买同一种商品时，商品的单价就是常量，购买商品数量和相应的总价就是变量；某段河道一天中各时刻变化着的水位也是变量。注意：常量与变量必须存在与一个变化过程中。判断一个量是常量还是变量，需这两个方面：看它是否在一个变化的过程中；看它在这个变化过程中的取值情况。3、巩固概念：（1）向平静的湖面投一石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆，在这个变化过程中有哪些是变量？若面积用s，半径用r表示，则s

4、和r的关系是什么？二是常量还是变量？若周长用C，半径用r表示，则C和r的关系是什么？（2）在行程问题中，当汽车在匀速行驶的过程中，速度、行驶的时间和路程哪些是常量，哪些是变量？若一辆汽车从甲地向乙地行驶，所需的时间、行驶速度和路程哪些是常量，哪些又是变量？常量与变量不是绝对的，而是对于一个变化过程而言的。三、例题讲解：出示例题（见书本第151页）分析：在这6分时间内，火星车运动的时间是变量；火星车在空气阻力的作用下，速度不断减小，速度是变量。火星车与火星越来越接近，火星车所受火星的引力越来越大，也是变量。火星着陆前6分时的位置和着陆点都是空间中确定的两个位置，两者之间的距离是一个确定的量，所以

5、是一个常量。最后完成例题中的“想一想”（先请学生单独考虑，再作讲解）四、练习巩固：课内练习1、2、五、小结回顾，反思提高1、常量和变量的概念。2、常量与变量必须存在与一个变化过程中。3、常量与变量不是绝对的，而是对于一个变化过程而言的。六、作业：作业本认识函数（1）1教学目标1、通过实例，了解函数的概念.2、了解函数的三种表示法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法.3、理解函数值的概念.4、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值.教学重点与难点教学重点：函数的概念、表示法等，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础，因此函数的有关概念是本节的重点.教学难点：用图象

6、来表示函数关系涉及数形结合，学生理解它需要一个较长且比较具体的过程，是本节教学的难点.教学过程教学过程分以下6个环节：创设情境、探究新知、应用新知、课堂练习、知识整理、布置作业创设情境问题1小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元/时计算设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为m元，填写下表：工作时间t（时）15101520t5报酬m（元）然后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16,变量t、m）（2）能用t的代数式来表示m的值吗？（能，m=16t）教师指出：在这个变化过程中，有两个变量t,m,对t的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与它

7、对应.问题2跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s（米）与助跑的速度v（米/秒）有关.根据经验，跳远的距离s=0.085v2（0v10.5）.然后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量0.085，变量v、s）（2）计算当v分别为7.5,8,8.5时，相应的跳远距离s是多少（结果保留3个有效数字）?（3）给定一个v的值，你能求出相应的s的值吗？教师指出：在这个变化过程中，有两个变量v,s，对v的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与它对应.本环节设计的意图：通过对两个学生熟悉的问题的讨论，既巩固了上一节课中常量、变量的概念，又为本节课学习函数的概念作好准备.探究新知（

8、1）函数的概念在第一个环节的基础上，教师归纳得出函数的概念：般地，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变般地，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.例如，上面的冋题1中，m是t的函数，t是自变量；冋题2中，s是对v的的函数，v是自变量.教师指出：函数概念的教学中，要着重引导学生分析问题中一对变量之间的依存关系当其中一个变量确定一个值，另一个变量也相应有一个确定的值.函数的本质是一种对应关系一一映射，由于用映射来定义函数，对初中生来说是难以接受的，所以课本对函数概念采取了比较直观的描述.这种直观的描述也和传统

9、教材有所区别：描述中改变了过去那种“y都有唯一确定的值和它对应”的说法，即避开“对应”的意义.实际问题中的自变量往往受到条件的约束，它必须满足代数式有意义；符合实际.如问题1中自变量t表示一个月工作的时间，因此t不能取负数，也不能大于744;如问题2中自变量v表示助跑的速度v，它的取值范围为Ovio.5.（2）函数的表示法解析法：问题1、2中，m=16t和s=0.085v2这两个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式.用函数解析式表示函数的方法也叫解析法.列表法：有时把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表.这种表示函数关系的方法是列表法.如表（图7-2）表

10、示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系.月份m123456789101112平均气温TC）3.85.19.315.420.224.328.628.023.317.112.26.3图象法：我们还可以用法来表示函数，例如图7-1中的图象就表示骑车时热量消耗W（焦）与身体质量x（千克）之间的函数关系.解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法.教师指出：（1）解析法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要，不能有所偏颇.尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视.（2）对于列表法，图象法，如何表示两个变量之间的函数关系，学生可能不太容易理解，教学

11、中可以用课本表7-2和图7-1来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法.（3）函数值概念与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化.若函数用解析法表示，只需把自变量的值代人函数式，就能得到相应的函数值.例如对于函数m=16t，当t=5时，把它代人函数解析式，得m=16X5=80（元）.m=80叫做当自变量t=5时的函数值.由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象.若函数用列表法表示.我们可以通过查表得到.例如一年内某城市月份与平均气温的函数关系中，当m=2

12、时，函数值T=5.1;当m=10时，函数值T=17.1.若函数用图象法表示例如骑车时热量消耗W（焦）与身体质量x（千克）之间的函数关系中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？女口x=50,我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点（50,0），这条直线与图象的交点P（50，399）的纵坐标就是就是当函数值x=50时的函数值，即W=399（焦）教师指出：当函数用解析法表示时，函数值的概念与学生已经学过的代数式的值的概念几乎没有什么区别，所以课本没有对函数值的概念作重新定义，教学中可以增加一些求函数值的练习，使学生感悟函数值与代数式的值两个概念之间的关系.应用新知例1等腰ABC的周长为20,底边B

13、C长为y，腰AB长为x，求：（1）y关于x的函数解析式；（2）当腰长AB=7时，底边的长；（3）当x=11和x=4时，函数值是多少？答案：（1）y=20-2x；（2）腰长AB=7,即x=7时，y=6，所以底边长为6;（3）当x=11和x=4时，函数值不再有意义.说明（1）第1问中的函数解析式不能写成y2x=20的形式，一定要把y写成x的代数式（2）实际问题中，自变量的取值范围往往受到条件的限制，本题的自变量的取值范围是5x10,具体的求法本节课不作介绍，放到下一节课中去完成，当x=11和x=4时，尽管可求出它对应的值，但自变量x的值都不在相应的取值范围内，因此当x=11和x=4时，函数值不再有

14、意义.例2某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：月用水量x（度）0 x1212x18收费标准y（元/度）2.002.503.00（1）y是x的函数吗？为什么？（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义.答案：（1）是，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值;（2）当x=10时，y=2X10=20（元）.月用水量10度需交水费20（元）;当x=16时，y=2X12+4X2.50=34（元）.月用水量16度需交水费34（元）；当x=20时，y=2X12+6X2.50+2X3=45（元）.月用水量45度需交水费45（元）.说明本例安排的目的两个：

15、是让学生进一步巩固函数的概念；让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法.本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，即月用水量不超过12度时每度2元，超过12度不超过18度时每度2.5元，超过18度时每度3元，如月用水量为38度时，应交水费y=2X12+6X2.5+3X20=99（元）.例3下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程.请根据图象回答下面的问题：这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗?求当t=5分时的函数值？当10t15时，对应的函数值是多少？并说明它的实际意义？学校离家有多远？小明放学骑自行车回家共用了几分钟？答案：(1

16、)折线图反映了(2)(3)(4)s、t两个变量之间的关系，路程s可以看成t的函数；当t=5分时函数值为1km;当10t15时，对应的函数值是始终为2,它的实际意义是小明回家途中停留了5分钟;学校离家有3.5km，放学骑自行车回家共用了20分钟.说明安排本例的主要目的是让学生体会当函数用图象法给出时函数值的求法.体会函数图象是如何反映自变量与函数之间的关系的，进一步加深学生对函数概念的理解，体验数形结合的数学思想，为后面的一次函数的应用作好准备.课堂练习课本P155课内练习1,2补充下图是表示某一个月的日平均温度变化的曲线，根据图象回答问题：这个曲线反映了哪两个变量之间的关系？日平均温度T是x的

17、函数吗?求当x=5,13,16,25时的函数值？这个月中最高与最低的日平均温度各是多少？知识整理师生可共同梳理知识点:6布置作业课本作业题1,2,3,4,5认识函数教学目标知识技能目标会根据实际问题构建数学模型并列出函数解析式；掌握根据函数自变量的值求对应的函数值，或是根据函数值求对应自变量的值；会在简单的情况下根据实际背景对自变量的限制求出自变量的取值范围过程性目标使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法.教学重点与难点教学重点：求函数解析式是重点.教学难点：根据实际问题求自变量的取值范围并化归为解不等式（组）学生不易理解.

18、教学过程一、创设情境解如图能发现涂黑的格子成一条直线.函数关系式为：y=10-x.问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.解y与x的函数关系式：y=180-2x.问题3如图，等腰直角ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cmAC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让ABC向右运动，最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积ycm2与MA长度xcm之间的函数关系式.BQ解y与x的函数关系式：12yx2二、探究归纳思考在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围.在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？

19、当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？分析问题1,观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围.问题2，因为三角形内角和是180所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90.问题3，开始时A点与M点重合，MA长度为Ocm,随着ABC不断向右运动过程中，MA长度逐渐增长,最后A点与N点重合时，MA长度达到10cm.解(1)问题1,自变量x的取值范围是：1xw9;问题2，自变量x的取值范围是：0vxv90;问题3，自变量x的取值范围是：Owx0.三、实践应用例1求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y=3x1;(2)y=2x2+7;(3)y;(4)y=X-2.x+2分析用数学式子表示的函数，一

20、般来说，自变量只能取使式子有意义的值.例如，在(1),(2)中，x取任意实数，3x1与2x2+7都有意义；而在(3)中，x=2时，一1没有意义；在(4)中，xv2时，、X-2x+2没有意义.解(1)x取值范围是任意实数；x取值范围是任意实数；x的取值范围是xm2;x的取值范围是x2.归纳四个小题代表三类题型.(1),(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的分式；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式.例2等腰三角形ABC的周长为10,底边长为y,腰AB长为x.求:y关于x的函数解析式；自变量x的取值范围；腰长AB=3时，底边的长.分析(1)问题中的x

21、与y之间存在怎样的数量关系？这种数量关系可以什么形式给出？(2x+y=10)这个等式算不算函数解析式？如果不算，应该对等式进行怎样的变形？结合实际,x与y应满足怎样的不等关系？归纳(1)在求函数解析式时，可以先得到函数与自变量之间的等式，然后解出函数关于自变量的函数解析式；(2)在求自变量的取值范围时，要从两个方面来考虑：代数式要有意义；要符合实际例3如图，正方形EFGH内接于边长为1的正方形ABCD.设AE=x，试求正方形EFGH的面积y与x的关系，写出自变量x的取值范围，并求当X=2时，正方形EFGH的面积.4解：正方形EFGH的面积=大正方形的面积-4一个小三角形的面积,则y与x之间的函

22、数关系式为y=1-4-x(1-x)2(0 x1)2y=2x-2x1(0 x0时，函数值随自变量的增加而增大；当k0时，函数值随自变量的增加而增大；当k0时，函数值随自变量的增加而减小。学生做一做，巩固一次函数的性质。（四）例题分析：例2我国某地区现有人工造林面积12万顷，规划今后10年新增造林6100062000公顷。请估算6年后该地区的造林总面积达到多少公顷？分析：1、有造林面积和时间得到什么？（用怎样的过程评价根据画图情况，肯定学生成绩对于积极思考，勇于回答的同学予以冃疋，对于学有困难的同学加以引导引导学生积极思考，认真归纳函数解析式来表示）、6年后的造林总面积应该怎样算？例3要从甲、乙两

23、仓库向A,B两工地运送水泥。已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；A工地需70吨水泥，B工地需110吨水泥。两仓库到A，B两工地的路程和每吨每千米的运费如下：路程（千米）运费（元/吨千米）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A地20151.21.2B地252010.8（1）设甲仓库运往A地水泥x吨，求总运费y关于x的函数解析式，并画出图象；（2）当甲、乙两仓库各运往A，B两工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？1、库运出的水泥吨数和运费列表分析。2、利用图象法求出最小值。（五）练习：P172学生练一练练习中肯定成绩，发现问题，及时纠正给学生合理评价（六）小结：学生归纳本堂学到的

24、知识（七）作业：P172作业题（八）拓展：课后学生探索函数y=kx+b（k丰0）中b的变化对函数图象影响。解：在直角坐标系中画出以表中x的值为横坐标，y的值为竖坐标的7个点。7.5一次数函数的简单应用(1)教学目标1、理解和掌握一次函数的图像及其性质2、学会运用函数这种数学模型来解决生活和生产中的实际问题，增强数学应用意识教学重点和难点教学重点：一次函数图像及其性质教学难点：体会函数、方程、不等式在解决实际问题时的密切联系，并在一定条件下互相转化的各种情形，感受贴近生活的数学，培养解题能力。1教学过程、课前预习1、判断题(1)正比例函数是一次函数(V)(2)次函数是正比例函数(X)(3)次函数

25、图像是一条直线(V)2、已知直线y=債,下2卜列说法错误的是(D)A比例系数为-1/2B图像不在一、三象限C图像必经过(-2,1)占八、Dy随x增大而增大、新课教学1、引出概念确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法就是利用图象去获得经验公式，这种方法步骤是：(1)通过实验，测得获得数量足够多的两个变量的对应值。(2)建立合适的直角坐标系，在坐标系内以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图像。观察图像特征，判定函数的类型。2、例题分析：例1、生物学家测得7条成熟雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x的数据如下表(单位:m)吻尖到喷水孔的长度X(m)1.781.912.062.322.59

26、2.822.95全长y(m)10.0010.2510.7211.5212.5013.1613.90问能否利用一次函数刻画这两个变量x和y的关系？如果能，请求出这个一次函数的解析式丫(m)X(m)过7个点几乎在同一条直线上所以所求的函数可以看成一次函数，即可用一次函数来刻画这两个量x和y的关系。设这个一次函数为y=kx+b,把点(1.91，10.25),(2.59,12.50)的坐标分别代入y=kx+b得10.25=1.91k+bi12.50=2.59k+b解得：k沁3.31b3.93所以所求函数解析式为y=3.31x+3.93相应练习：通过实验获得u,v两个变量的各对应值如下表u00.511.

27、522.534v50100155207260290365470判断变量u,v是否近似地满足一次函数关系式，如果是，求v关于u的函数关系式，并利用函数解析式求出当u=2.2时，函数v的值。例2、沙尘暴发生后，经过开阔荒漠时加速，经过乡镇，遇到防护林带区则减速，最终停止，某气象研究所观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程，记录了风速y(km/h)随时间t(h)变化的图像。(1)求沙尘暴的最大风速(2)用恰当的方式表示沙尘暴风速y与时间t的关系。Y（km/h）解：(1)从图可知，沙尘暴最大风速为32km/h当otw4时,j与t成正比例关系设y=kt,y=k经过（4、8）TOC o 1-5 h zk=2,

28、即y=2t（0日w4）57T（h当4WtW10时，y是t的一次函数 HYPERLINK l bookmark82 041025设y=kit+b,直线y=kit+b经过点（4,8）,（10,32）4k1+b=8解得：k1=410k什b=32b=-8y=4t-8(4wtw10)当10Wtw25时，y=32(10wtw25),即风速是一个常量32km/h当25wtw57时，用同样方法求得y=-t+57(25wtw57)3、小结讲解完例题后，归纳一下，一次函数的图像用其性质，让学分析请题意，注意灵活运用。注意自变量的取值范围。4、作业(1)课内练习及作业题(2)作业本7.5一次数函数的简单应用（2）教

29、学目标1、会综合运用一次函数的解析式和图象解决简单实际问题.2、了解直角坐标系中两条直线（不平行于坐标轴）的交点坐标与两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解之间的关系.3、会用一次函数的图象求二元一次方程组的解（包括近似解）教学重点与难点教学重点：本节教学的重点是运用一次函数的解析式和图象等解决简单实际问题.教学难点：构造数学模型（包括函数解析式和图象）与实际问题情景之间的对应关系，是本节教学的难点.教学过程一.创设情景，引入新课：我们知道在日常生活和生产实践中有不少问题的数量关系可以用一次函数来刻画。比方说行程问题，如果速度是常量，则路程与时间成一次函数关系。看投影：*例3小聪和小慧去某风壊区游览约好在“飞瀑”见I阮上午7:00.）小聪乘电动汽车从“占刹出发沿尿忻公路W7-10去“飞匚瀑”,车速为36