苏教版高中数学选择性必修一第4章4.2.3第2课时《等差数列前n项和的性质及应用》课件

1、苏教版高中数学课件等差数列前n项和的性质及应用一、等差数列前n项和的实际应用问题1请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题.提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等.例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数

2、额依次构成数列an，则a1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，所以an501 00050(n1)1%10(6050.5)1 105.所以实际共付1 1051501 255(万元).反思感悟(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现.跟踪训练1张邱建算经卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的

3、布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织_尺布(不作近似计算).解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列an，其中a15，S30390，设其公差为d，二、等差数列中前n项和的最值问题问题2根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？当d0时，Sn是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是nN*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为SnAn2Bn.等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最 值，使Sn取得最值的n可由不等式组_确定；当a10时，Sn有最 值，使Sn取得最值的n可由不等式组_确定.知识梳理

4、大小(2)Sn ，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最 值；当d0，d0时Sn有最小值S1，当a10，d0，又因为nN*，所以当n13时，Sn有最大值为169.方法三因为S8S18，所以a9a10a180.由等差数列的性质得a13a140.因为a10，所以d0，a140，d0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和；若a10，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用运用二次函数求最值.跟踪训练2在等差数列an中，a1018，前5项的和S515.(1)求数列an的通项公式；解设等差数列的公差为d，因为在等差数

5、列an中，a1018，S515，所以an3n12，nN*.(2)求数列an的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.解因为a19，d3，an3n12，所以当n3或4时，前n项和Sn取得最小值为S3S418.三、等差数列中的片段和问题问题3等差数列 的前n项和Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？提示S2na1a2anan1a2nSn(a1nd)(a2nd)(annd)2Snn2d，同样我们发现S3n3Sn3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2nSnSnn2d，S3nS2nSn2n2d，是一个公差为n2d的等差数列.1.设等差数列an的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2mSm，S3mS

6、2m，仍构成等差数列，且公差为m2d.2.若数列an是公差为d的等差数列，则数列 也是等差数列，且公差为 .3.在等差数列中，若Snm，Smn，则Smn(mn).知识梳理例3已知Sn是等差数列an的前n项和，且S10100，S10010，求S110.解方法一设等差数列an的首项为a1，公差为d，S10100，S10010，方法二S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100，成等差数列，设公差为d，解得d22，所以S110110.方法四直接利用性质Snm，Smn，Smn(mn)，可知S110110.反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利

7、用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些.(2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.跟踪训练3等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m.解方法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列.27030(S3m100)，S3m210.即S3m3(S2mSm)3(10030)210.1.知识清单：(1)等差数列前n项和的实际应用.(2)等差数列前n项和的最值问题.(3)等差数列中的片段和问

8、题.2.方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法.3.常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列.课堂小结随堂演练1.已知数列an满足an262n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为A.11或12 B.12C.13 D.12或131234解析an262n，anan12(n2，nN*)，数列an为等差数列.又a124，d2，1234nN*，当n12或13时，Sn最大.12342.等差数列 中，S33，S69，则S12等于A.12 B.18 C.24 D.30S3，S6S3，S9S6，S12S9，也成等差数列，又由S33，S69，得S6S36，则S9S69，S12S912，则S12S

9、3(S6S3)(S9S6)(S12S9)3691230.12343.在巴比伦晚期的泥板文书中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为1234由题意可得12342 0181234课时对点练基础巩固123456789101112131415161.在等差数列an中，a11，其前n项和为Sn，若 2，则S10等于A.10 B.100 C.110 D.12012345678910111213141516解析an是等差数列，a11，S10100.12345678910111213141516

10、2.若等差数列an的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为A.30 B.70 C.50 D.60解析等差数列an中，Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，2(S2mSm)SmS3mS2m，2(S2m20)2090S2m，S2m50.3.已知数列2n19，那么这个数列的前n项和SnA.有最大值且是整数 B.有最小值且是整数C.有最大值且是分数 D.无最大值和最小值解析易知数列2n19的通项公式为an2n19，a117，d2.该数列是递增的等差数列.a1a2a3a90a100，a1 010a1 0110，则当Sn取最大值时，n等于A.1 010 B.1 0

11、11 C.2 020 D.2 021故公差d0，a1 0110，所以当Sn取最大值时，n1 010.123456789101112131415165.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，).若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为A.45 B.36 C.28 D.2112345678910111213141516解析由题意分析可得a11，a2123，a31236，1234567891011121314151

12、66.(多选)设an是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是A.dS5D.S6与S7均为Sn的最大值12345678910111213141516解析S5S8，a60，a70，a80.d0.S6与S7均为Sn的最大值.S9S5a6a7a8a92(a7a8)0.S9480，在24小时内能构筑成第二道防线.1234567891011121314151610.已知在等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；解由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.12345678910111213141516(2)当n为何值时，数列

13、an的前n项和取得最大值？解方法一a19，d2，当n5时，Sn取得最大值.方法二由(1)知a19，d20；当n6时，an0，S4S9，当Sn最大时，n等于A.6 B.7 C.6或7 D.1312345678910111213141516化简得a16d0，所以a16d，因为a10，所以d200.当n19时，剩余钢管根数最少，为10根.拓广探究1234567891011121314151615.某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层A.7 B.8