2022年《高等数学AⅡ》期末试卷-A卷答案

1、下学期期末考试高等数学A（试卷编号： A）参考答案与评分标准一、填空题 （本大题共10 小题 10 空,每空 2 分,共 20 分）P1 3.45o1.4 2.x31y12z或x34y11z3336.14.x12y32z2214 5.1,2, 247. 2 sin 2ydx2x2cos2ydy8. 1 29. 10. 12x2 2L2 nL2.n.二、单项挑选题（挑选正确答案的字母填入下表,本大题共 6 小题,每道题 3 分,共 18 分）1. C 2.A 3.A 4.B 5.D 6.B,错误的打“ ”,每道题 2 分,三、判定题：（本大题5 小题,在括号内正确的打“ ”共 10 分）1. 2

2、. 3. 4. 5.四、运算题（本大题共 5 小题,每道题 6 分,共 30 分）1. 求函数 z x y ln xy 当 x 1, y 1 时的全微分 dz.解：zyx y 1 1,z 2 . . 2 分x x x 1.1zx yln x 1,z1 . 2 分 y y y 1.1所以 dz 1.1 2 dx dy . 2 分 22. 设 z e xcos y x sin y ,求二阶偏导数 z2 . y解：ze x sin y x cos . 3 分y2z x2 e cos y x sin y . . 3 分y第 1 页 （共 3 页）3. 运算3 xy d,其中 D 是由抛物线y2 x 及

3、直线 yx 所围成的闭区域；D解一：把区域D 视为 X型区域,x解二：把区域D 视为 Y型区域3 xy d3 xy dDD1dxx3 xy dy 3 分 1dyyy3 xy dx . 3 分ox2o11 5 oxx dx 911 oy4y5dy421 3 分 1 . . 3 分 60604.运算x2y2dv,其中是由圆柱面2y28与平面z0,z3所围成的闭区域；解 积分区域在 xoy坐标面上的投影区域为D xy:2 xy28,利用柱面坐标,得x2y2dvn2d223 r dr3dz . . 4 分0003 21r4225. 求幂级数n1xn4096 . 2 分 的收敛半径和收敛域；n31解：由

4、于 lim n aa nn 1 lim n n 1 31 n 113 . . 2 分nn 3所以收敛半径 R 13 . 1 分 n又由于当 x 3 时,级数成为 1,此级数收敛 . . . 1 分 n 1 n当 x 3 时,级数成为 1,此级数发散 . . . 1 分n 1 n所以收敛域为 3,3 . 1 分 第 2 页 （共 3 页）五、应用与证明 本大题共 3 小题,第 1、2 小题每题 7 分,第 3 小题 8 分,共 22 分 1. 求曲面 e zz xy 3 在点 2,1,0 处的切平面方程与法线方程；解：设 F x y z , , e zz xy 3 . 1 分就曲面在点 2,1,

5、0 处的切平面的法向量为：r zn F x , F y , F z 2,1,0 , , y x e 1 2,1,0 1,2,0 . 2 分所以曲面在点 2,1,0 处的切平面方程为：1 x 2 2 y 1 0 , 即 x 2 y 4 0 . . 2 分法线方程为：x2y21z .（ 2 分）1 2. 要修建一个表面积为02 36m 的长方体水箱（有盖） ,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,水箱的体积最大,最大体积是多少？解：设水箱的长、宽、高各为 x 、 y 、 z ,就水箱的表面积可表示为：2 xy 2 yz 2 zx 36 附加条件 水箱的体积： v xyz .2 分 作拉格朗日函数：L x y z , , xyz 2 xy 2 yz 2 zx 36L x yz 2 y z 0L y xz 2 x z 0由方程组 . . 3 分 L z xy 2 x y 02 xy 2 yz 2 zx 36解得 x y z 6（驻点唯独） . 所以当长、宽、高都等于 6 时,即水箱为正方体时,水箱的体积最大为 6 6 . 2 分 y z z3.设 z xy xF u ,而 u,F u 为可导函数,证明：x y z xy . x x y证明：由于 zy F u xF uy F