2022年《高等数学二》期末复习题及答案-

1、高等数学（二）期末复习题一、挑选题1、如向量 b 与向量a2 ,12平行,且满意ab18,就 b（）代表的图形为 （A）4,24（B） 2,4,4 （C） 4,2,4 （D） 4,4, 2 .2、在空间直角坐标系中,方程组x2y 2z0z1（A）直线 B 抛物线（ C）圆 D圆柱面22 a 所围成,就 I3、设Ix2y dxdy,其中区域D由x2yD2 a 2 4 2 a 2 4A0 d 0 a rdr a B 0 d 0 a adr 2 a C 0 2d 0 ar dr 2 23 aD 30 2d 0 ar rdr 2 12 a 44、 设 L 为：x ,1 0 y 32 的弧段,就 Lds

2、（）（A）9B 6 （C）3D 325、级数 1 n 1的敛散性为（）n 1 n（ A） 发散 B 条件收敛 C 肯定收敛 D 敛散性不确定n6、二重积分定义式D f x , y d lim0 i 1 f i , i i 中的 代表的是（）（A）小区间的长度 B 小区域的面积 C 小区域的半径 D 以上结果都不对1 1 x7、设 f x , y 为连续函数,就二次积分0 d x 0 f x , y d y 等于 1 1 x 1 1 y（A）0 d y 0 f x , y d x B 0 d y 0 f x , y d x1 x 1 1 1C0 d y 0 f x , y d x D 0 d y

3、 0 f x , y d x2 28、方程 2z x y 表示的二次曲面是 （A）抛物面（B）柱面（C）圆锥面（D） 椭球面1 / 19 9、二元函数 z f x , y 在点 x 0y 0 可微是其在该点偏导数存在的（）.（ A） 必要条件（B） 充分条件（C） 充要条件（D） 无关条件10、设平面曲线 L 为下半圆周 y 1 x 2, 就曲线积分 Lx 2y 2 ds A 0 B 2 C D 411、如级数 a 收敛,就以下结论错误选项（）n 1A 2 a收敛 B a n 2 收敛 C a收敛 D 3 a n 收敛n 1 n 1 n 100 n 112、 二重积分 的值与（）（A）函数 f

4、 及变量 x,y 有关； B 区域 D及变量 x,y 无关；（C）函数 f 及区域 D有关； D 函数 f 无关,区域D有关；11y 213、 已知a/b且a 1 , 2 ,1 ,bx, 4 ,2 ,就 x= （A） - 2 （B）2（C） -3 （D）3 14、在空间直角坐标系中,方程组2 zx212 y代表的图形为 y（A）抛物线 B 双曲线（C）圆 D 直线15、设zarctanxy ,就z = （y）A2 secxy B11y 2（C）1x1y2 D1xy 2xx16、二重积分1dy1fx,ydx交换积分次序为 0y2（A）1dx0 xfx ,ydy B y2dx1fx,ydy000

5、C 1dx1fx ,ydy D 1dxx 2fx,ydy0000）17、如已知级数un收敛,S 是它的前 n 项之和,就此级数的和是（n1（A）S Bu Clim nS nDlim nun18、 设 L 为圆周：x2y216,就曲线积分IL2xyds的值为（）2 / 19 （A）1 B 2 （C） 1 D 019、设直线方程为 x y z,就该直线必 0 1 2（A）过原点且 x 轴（ B）过原点且 y 轴（C）过原点且 z 轴（ D）过原点且 / x 轴20、平面 2 x y z 6 0 与直线 x 2 y 3 z 4的交点坐标为（）1 1 2A （1, 1,2） B（2,3, 4）（C）（

6、1,2, 2）D （2,1,1）21、考虑二元函数的下面 4 条性质： f x y 在点 x 0 , y 0 处连续； f x y 在点 x 0 , y 0 处的两个偏导数连续； f x y 在点 x 0 , y 0 处可微； f x y 在点 x 0 , y 0 处的两个偏导数存在 . 如用“P Q ” 表示可由性质 P推出性质 Q ,就有（）（A） B C D 22、以下级数中肯定收敛的级数是 A 1 n 1 B tan 12 C 1 n n2 1 D ln1 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 2 n 3 n 1 n23、设 z x sin y,就 z（）y 1 ,4（ A）2（B）

7、2 （C）2 （D）22 224、设 a 为常数,就级数 1 n 1 cos a（）n 1 nA 发散 B 条件收敛 C 肯定收敛 D 收敛性与 a 的取值有关25、设常数 k 0,就级数 1 n k2 n（）n 1 nA 发散 B 条件收敛 C 肯定收敛 D 敛散性与 k 的取值有关26、0 1dx x 1e y 2dy A e 1 B e 1 C e 1 D e 12 2 2 2二、填空题3 / 19 1、lim x 01xy1abxyy02、二元函数zsin2x3 y ,就zx3、积分Iex 2y2d的值为x 2y244、如a,b为相互垂直的单位向量,就5、交换积分次序1dxx2f ,

8、x y dy00fx ,y dy6、级数n111的和是n 23n7、lim x 024xyxyy08、二元函数zsin2x3 y ,就zy9、设fx ,y连续,交换积分次序1dxx0 x210、设曲线 L：x2y22 a ,就2sinx3 cos x dsL11、 如级数n1un1 收敛,就 lim nunsinyds的值为12、 如f xy xyx22 y 就f x y13、lim x 011xyxyy014、 已知ab且a 1 1, , 3 ,b 0 ,x,1 ,就 x=15、设zlnx3y3,就dz 1,116、设fx,y连续,交换积分次序1dyyfx ,y dx0y217、级数unS,

9、就级数unun1的和是n1n118、 设 L 为圆周：x2y2R2,就曲线积分ILx4 / 19 2 219、 , lim 0,0 1 x cos2y x2 e x y 2 y2 20、已知 a i j b k , 就a b21、lim sin xy xy a 0 x22、已知向量 a 、 b 满意 a b 0,a 2,就 a b23、设 L 为连接 1, 0 与 0,1 两点的直线段,就 Lx y ds2 224、 x y lim 0,0 2 x2 yx y 1 125、a 3,b 4, a 与 b 的夹角是,就 a b226、已知三角形的顶点 A ,1,1 1 , B ,1,2 0 , C

10、 ,0 ,0 2 , 就 ABC 的面积等于27、点 M 1 2 3, 1, 到点 M 2 2 , 7 , 4 的距离 M 1M 228、如 a 3 i j 2 k ,b i 2 j k , 就 a bxy 1 129、lim xy 0 0 xy =30、函数 f x y x 2 y 3 x 1 e xy, 求 f x 1, 3三、解答题1、（此题满分12 分）求曲面zz e2xy3在点 1,2,0 处的切平面方程；x2、（此题满分12 分）运算二重积分eydxdy,其中 D 由 y 轴及开口向右的抛物线Dy2x 和直线y1围成的平面区域；3y42 z的全微分 du ；在点（ 0, 0）的两个

11、3、（此题满分12 分）求函数uln2x4、（此题满分12 分）证明：函数f , x yx2 x y2, x y0,04y0 , x y0,05 / 19 偏导数存在,但函数f , x y 在点（ 0,0）处不连续；2y24 ；5、（此题满分10 分）用比较法判别级数n12n1n的敛散性；n6、（此题满分12 分）求球面x2y2z214在点 1,2,3 处的法线方程；7、（此题满分12 分）运算Ix2y2dxdy,其中Dx,y1xD8、（此题满分12 分）力Fx,y x的作用下,质点从0,0,0 点沿Lxt移至y2tzt21,2,1 点,求力 F 所做的功 W ；9、（此题满分12 分）运算函

12、数uxsinyz 的全微分；x2y2110、（此题满分10 分）求级数n111的和；n n11、（此题满分12 分）求球面x2y2z214在点 1,2,3 处的切平面方程；12、（此题满分12 分）设zln（x2xyy2）, 求xzyz；xy13、（此题满分12 分）求D1x2y2d d x y ,其中 D 是由 yx ,y0,在第一象限内所围成的区域；x0移动到点 0,1,1,求在此过程中,14、（此题满分12 分）一质点沿曲线yt从点 0,0,0zt2z100平 行 , 且 与 直 线力F14 xijyk所作的功 W ；15、（此题满分10 分）判别级数n1nsin1的敛散性；n16、（此

13、题满分20 分）求 一 条 过 点A 1,0,4与 一 平 面:3x4yL:x11y13z相交的直线方程. 26 / 19 17、（此题满分20 分）221上的点 M ,使直线L:x26y13z1在过 M 点的切平求椭球面x22y23 z2面上 . 18、（此题满分12 分）运算二重积分Ixyd d x y；z 、z .19、（此题满分xy112 分）已知yzzxxy1,确定的zzx,y ,求 dz；20、（此题满分xy12 分）设zfx ,y是由方程ezez2e所确定的隐函数,求21、（此题满分10 分）运算二次积分1dyycos2 x dx2dy1cos2 x dx . 0y1yb. 22

14、22、（此题满分10 分） 运算函数z2 esinxy的全微分 . 10 分）运算二重积分D12yd其中 D：0 x1,0y1 . 23、（此题满分x24、（此题满分10 分）已知向量a 11,1, ,bi2j4 k,求 ab和a25、（此题满分10 分）求曲面 xxyxyz9在点 , , 12 3 处的切平面方程.高等数学（二）期末复习题答案一、挑选题1、 A解：利用平行向量对应的坐标成比例,设4t2b2 ,t,2 ,又因a b182,1,2 2 ,t,2 4tt9tt2b 4, 2, 42、 C解：将z1代入x2y2z0得到xy21,此时图形为圆；3、 D解：用极坐标运算便利,IDx22

15、y dxdy2da2 r rdr21a41 2a4090044、 A解：利用曲线积分的性质,就L6 ds6Lds6 327 / 19 5、B 解：由莱布尼兹判别法可得到级数11n1收敛,但n1 1n1n11nnnn发散,所以n11n1是条件收敛；nn6、D 解：二重积分定义式Dfx y dlim0i1fi,ii中的是分割细度,代表的是 n 个小闭区域直径中的最大值；7、B 解：画出积分区域,确定每个变量的上下限,交换积分次序以后,得1dx1xf x, y dy1dy1yf x, y dxn1an200008、A 解：2zx22 y 在三维空间里表示的是抛物面；9、B 解：zfx ,y在点x0y

16、0可微肯定能推出偏导数存在,所以是充分条件；10、 C 解：利用曲线积分的性质,就沿着下半圆周y1x2的曲线积分Lx2y2dsL1 ds12211、B 解：如级数an收敛,由收敛的性质A,C,D 三个选项依旧是收敛的,而n1未必收敛,或者排除法挑选B；12、C 解：二重积分 母表达没关系 ；的值与函数有关,与积分区域有关,而与积分变量的字13、 B解：利用平行向量对应的坐标成比例,a,1,21 ,bx, 4 ,2 ,就 x=214、 B 解：将y1代入z2x22 y 得到2 zx21代表的图形为双曲线；15、 B 解：对 y 求偏导时, x 看作常数,zarctanxy,就z = y11y2x

17、16、 A 解：画出积分区域,确定每个变量的上下限,交换积分次序以后,得1dy1f x, y dx1dx0 xf x, y dyn0y20n1unlim S n17、 C解：利用级数收敛的定义可得8 / 19 18、 D 解：利用曲线积分的性质,被积函数关于IL2xyds0 x 是奇函数 ,由对称性,可得就曲线积分19、 A 解：直线方程为 x y z,就原点坐标 0,0,0 满意方程,该直线必过原点,直线0 1 2的方向向量为 0,1, 2 ,x 轴的方向向量为 1,0,0 ,又由于 0,1,2 1,0,0 0 ,所以直线过原点且 x 轴；20、 C 解：将直线方程写成参数式,代入平面方程求

18、交点坐标,或者代入法验证也可；x12y13z24tx2tt代入 2xyz60得t1交点坐标为y3tz42（1,2,2）21、 A 解：熟识二元函数的概念之间的联系,偏导数连续a可微连续；或者偏导数连续可微偏导数存在22、 B 解：tan11n1tan1肯定收敛；n2n2n2zxcosy , 代入点的坐标23、 B 解：对y 求偏导时,x 看作常数,zxsinyyz2肯定收敛；y1,4224、 C解：1cosaa22级数n1 1n1cosn2nn25、 B 解： 1nkn2n 1nk 1n1级数n1 nkn2n条件收敛n2n126、 C 解：交换积分次序后运算简洁1dx1ey2dy1dyyey2

19、dx1ey2ydy11ey2dy21ey211e10 x00000222二、填空题1、2 解：第一步分母有理化,其次步分母利用平方差公式,第三步分子分母约去公因子,第四步利用连续性求解极限；9 / 19 lim x 01xy1lim x 0 1xy 1xy11lim x 0 xy 1xy11lim x 01xy12xy1 1xy1xyxyy0y0y0y02、 2cos2x3 y 解：对 x 求偏导时, y 看作常数,zsin2x3 z2cos2x3 x3、4 e1 解：用极坐标求解简洁Ix2y 24ex2y 2d2d2r e2rdr212r 2e dr2er22e41000024、0 解：两个

20、向量垂直,就点积为0a b05、11yf x y dx解：画出积分域,再确定积分限0dy1dxx2fx y dy1dy1yf x y dx0006、3 2解：n111111111113322nn 322237、1解：第一步分子有理化,其次步分子利用平方差公式,第三步分子分母约去公因4子,第四步利用连续性求解极限；lim x 024xylim x 024xy24xylim x 0 xy4244xyxyxyxy24xyy0y0y0lim x021xy1440 y08、 3cos2x3 y 解：对 y 求偏导时, x 看作常数,zsin2x3 z3cos2x3 y9、1 0 dyyyfx,y dx解

21、：画出积分域,再确定积分限1dxxfx y dy1 0 dyyyfx,y dx0 x210、 0 解：利用曲线积分的性质,奇函数在对称区域上的积分为10 / 19 2sinx3 cos x ds0L11、 -1解：un1 收敛lim nun1 0lim nun1n112、 xy解：设xyu xyvx2y2uvf u v , uvf , x yxy13、1解：第一步分子有理化,其次步分子利用平方差公式,第三步分子分母约去公因子,2第四步利用连续性求解极限；lim x 011xylim x 011xy11xylim x 01111xyxy1sinyds0 xy11xyxyxyy0y0y0lim x

22、 011xy112y014、 3 解：两个向量垂直,就点积为0a b0 x30 x315、3dx3dy 解：考查全微分的概念,先求两个偏导,求全微分,再代入定点22zlnx3y3zxx3x23,z yx3y23又由于dzz dxz dy3y3ydz1,13dx3dy2216、1dxxxfx,ydy解：画出积分域,再确定积分限01dyyfx y dx1dxxxfx,y dy0y2017、2Su 解：unSun1Su1u nun12Sun1n1n1x18、0 解：利用曲线积分的性质,奇函数在对称区域上的积分为0,就IL19、 0 解：此题用到了连续函数的性质,等价无穷小的替代,limx y 0,0

23、1xcosx2ey2limx y 0,01cosx2ey2x y lim 0,01cosx22y22y2x y 2 2x2y20 x2y11 / 19 , x y lim 0,01 x 222 xy220 x41,此线段y220、ij 解：此题用到向量积的求解方法ijkaij bk , 就ab110ij00121、 a 解：lim x 0y asinxylim x 0y asinxyy1aaxxy22、4解：ab0ba ,又a2,a babcos23、2 解： L 为连接 1, 0 与 0,1两点的直线段,此线段的方程是y的长度是2 ,Lxy dsL1 ds224、 2 解：第一步分母有理化,

24、其次步分母利用平方差公式,第三步分子分母约去公因子,第四步利用连续性求解极限；x y lim 0,0 x2x2y2y21x y lim 0,0 xx2y2y2x2y2111211x2y211 , x y lim 0,0 x2y2x2y211x y , lim 0,0 x2y2112x2y21 1112425、12解：利用向量积的模的求解方法aba bsin2326、3解：利用向量积的模的几何意义,三角形的面积S1ABAC22ijkABAC1011, 4, 1113S1ABAC12 12 42 1183 232222227、 5 解：利用两点间的距离公式M M222272 342 1422 35

25、12 / 19 28、 3 解：利用点积公式 a b 3, 1, 2 1,2, 1 3 2 2 329、1 解：第一步分子有理化,其次步分子利用平方差公式,第三步分子分母约去公因子,2第四步利用连续性求解极限；lim x 0y 0 xy11= lim x 0y 0 xy11xy111= lim xy0 0 xyxy111代 入 点 的 坐 标xyxy1xy1xylim x 0y 0 xyxy11lim x 0y 0 xy1111xy2xy30、3 e 解：对 x 求偏导时, y 看作常数,求完偏导以后代入已知点的坐标fx yx2y3x1exyfxx y2 x y3exyx1y exf1,32

26、1 33e311 3e3e3三、解答题1、（此题满分12 分）ezF2xy31ez解：设F , x y z , z就Fx2y,Fy2x,Fz对应的切平面法向量nx,Fy,Fz1,2,0代入（ 1,2,0）可得法向量： （4,2,0）就切平面方程：4x12y20z00或 2xy402、（ 此题满分 12 分）解 ：Dx11 0dyy2xy e dxdyy e dx0y2xdyyey001 yeyy dy013 / 19 yeyeyy21201 2 3、（ 此题满分 12 分）解：由于u2x24z2,u2x34z2,u2x8z4z2x3yy3yz3y所以duudxu ydyudz34z2dy2x8

27、z4z2dzxz2dudx2x2x4z23y3y3y4、（ 此题满分 12 分）解：fx0,0 lim x 0f00 x , 0 f 0 , 0 lim x 0000 xxyf0,同理所以函数在（ 0,0）点两个偏导数存在；y limkx 2x 0fx,y lim x 0 xx2kx241k24k2xklimx 0y 0fx ,y 不存在因此函数在（ 0,0）点不连续5、（ 此题满分 10 分）解：n1nnn1n,2n2n2而n11n 是收敛的等比级数2原级数收敛6、（此题满分12 分）22y2z2z14z解：设F , x y z , x就Fx2x,Fyy,F214 / 19 对应的法向量nF

28、x,Fy,Fz1,2,3代入 1,2,3 可得法向量： （2,4, 6）就法线方程：x1y2z33127、（此题满分12 分）d解：I2d220121424115 2 8、（ 此题满分 12 分）WL FdsxdzLxdxydy1 0tdt4tdt2t2dt1 02t23 t dt5 69、（ 此题满分 12 分）uxsin yz ,uyxz cos yzuzxy cos yzduu dxu dyu dzxycosyz dzsinyz dxxzcosyz dy10、（此题满分 10 分）解：111n11n nn15 / 19 1 1 1S n .1 2 2 3 n n 11 1 1 1 11

29、. 2 2 3 n n 111n 11lim n S n lim1 n n 1 11所以级数 的和为 1n 1 n n 111、（此题满分 12 分）解：设 F , x y z , x 2y 2z 214就 F x 2 x,F y 2 y,F z 2 z对应的切平面法向量 n F x , F y , F z 1,2,3代入 1,2,3 可得法向量： （2,4, 6）就切平面方程：2x14y26z3y202, 0161,或x2y3z14012、（此题满分12 分）x2y解：由于z xx22xyy2；zxyyx2xy所以xzyz2x2xxyxy2y22xy2xyy213、（此题满分12 分）, 0

30、4解：令x ycos,就Dsin4d11x2y2dxdy所以1d00D16 / 19 14、（此题满分 12 分）WLL Fdsydydz14 x dx1 0t2 t dt10tdt 1 2 15、（此题满分 10 分）解：设unnsin1110n于是lim nu nlim nsinn1n故un发散；n 116、（此题满分20 分）3, 4,1垂直,即,xt1解：直线 L 的参数方程为yt3z2 t所求直线的方向向量为s , t t3, 2t4与平面的法向量n3 t4 t32t40得t16s16,19, 28所求直线为x1yz4161928n2x 0,4y 0,6z 017、（此题满分20 分）解：设点M x 0,y 0,z 0为所求的点,就椭球面在