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1、2.4 平面向量的数量积及运算律 特别地,当=0或 =0时, =0复习回顾 向量的数乘我们规定实数 与向量 的积仍是个向量,记作 并规定方向如下 当 时, 的方向与 的方向相同 当 时, 的方向与 的方向相反 OBA向量的夹角当0时,;OAB当180时, 反向;OABB当90时,称 垂直, 记为 .OAab已知两个非零向量 和 ,作则叫做向量问题其中力F 和位移s 是向量, 是F 与s 的夹角,而功是数量.从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念. 一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那么力F 所做的功应当怎样计算?平面向量的数量积的定义规定:零向量与任意向量的数量积为0,即 0 (1
2、)两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号由夹角决定 (2) 不能写成 , 表示向量的另一种运算 已知两个非零向量 和 ,它们的夹角为 ,我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积),记作 , 即例题讲解解:例1已知| |=5,| |=4, 与 的夹角 ,求 .例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1,求(1) (2) (3)ACB例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1,求(1) (2) (3)ACB例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1,求(1) (2) (3)ACB例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1,求(1) (2) (3)ACB向量的数量积的几何意义(1)投影的概念如图所
3、示: B过B作 垂直OA,垂足为 ,则 , 在 方向上的投影 叫做向量 OA 叫做向量 在 方向上的投影BOAab投影是向量还是数量?为钝角时,| b | cos0OABab为锐角时,| b | cos0OABab为直角时,| b | cos=0向量的数量积的几何意义(2)数量积的几何意义数量积 等于 的长度 的几何意义是 与 在 方向上的投影 的乘积例3、 , , 与 的夹角为 ,则 在 方向上的投影为 。讨论总结性质:(4)(判断两向量垂直的依据)设 与 都是非零向量, 为 与 的夹角(2)当 与 同向时, 当 与 反向时,(3) 或 (5)你能得出哪些结论?快速讨论一下!例5 判断正误平面向量的数量积的运算律已知向量 , , 和实数 ,则(1) 。 (交换律)(2) = 。(3) 。(与数乘的结合律)(分配律) .
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