高中物理选择性必修38.1.2样本相关系数

1、8.1.2样本相关系数课标要求素养要求1.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.通过学习样本相关系数，提升数学抽象及数据分析素养.新知探究散点图可以说明变量间有无线性相关关系，但无法量化两个变量之间的相关程度的大小，更不能精确地说明成对样本数据之间关系的密切程度，那么我们如何才能寻找到这样一个合适的量来对样本数据的相关程度进行定量分析呢？问题若样本系数r0.97，则成对样本数据的相关程度如何？提示r0.97，表明成对样本数据正线性相关程度很强1相关系数r的计算注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量假设两个随机变量的数据分别为(x

2、1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，对数据作进一步的“标准化处理”处理，用sxeq r(f(1,n)o(,sup10 (n),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）2)，syeq r(f(1,n)o(,sup10 (n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2)分别除xieq o(x,sup6()和yieq o(y,sup6() (i1，2，n，eq o(x,sup6()和eq o(y,sup6()分别为x1，x2，xn和y1，y2，yn的均值)，得eq blc(rc)(avs4alco1(f(x1o(x,sup6(),sx)，f(y1o(y,sup6(),sy)

3、，eq blc(rc)(avs4alco1(f(x2o(x,sup6(),sx)，f(y2o(y,sup6(),sy)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(xno(x,sup6(),sx)，f(yno(y,sup6(),sy)，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：req f(1,n)(x1y1x2y2xnyn)eq f(o(,sup10(n),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）（yio(y,sup6()）,r(o(,sup10(n),sdo10(i1) （xi

4、o(x,sup6()）2)r(o(,sup10(n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2).2相关系数r的性质 (1)当r0时，称成对样本数据正相关；当r0表明两个变量负相关Br1表明两个变量正相关Cr只能大于零D.eq blc|rc|(avs4alco1(r)越接近于0，两个变量相关关系越弱解析因r0表明两个变量正相关，故A错误；又因 r1，1，故B，C错误；两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强， r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故D正确答案D2(多选题)下面的各图中，散点图与相关系数r符合的是 ()解析因为相关系

5、数r的绝对值越接近1，线性相关程度越高，且r0时正相关，r0时负相关，故观察各选项，易知B不符合，A，C，D均符合故选ACD.答案ACD微思考当r1或1时，两个变量的相关性如何？提示当r1时，两个变量完全正相关；当r1时，两个变量完全负相关.题型一线性相关性的检验【例1】现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x(分)与入学后第一次考试的数学成绩y(分)如下：学生号12345678910 x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系？解eq o(x,sup6()eq

6、f(1,10)(12010899108)107.8，eq o(y,sup6()eq f(1,10)(84645771)68，eq o(,sup6(10),sdo4(i1)xeq oal(2,i)120210829921082116 584，eq o(,sup6(10),sdo4(i1)yeq oal(2,i)84264257271247 384，eq o(,sup6(10),sdo4(i1)xiyi120841086499571087173 796.所以相关系数为req f(73 79610107.868,r(（116 58410107.82）（47 38410682）)0.750 6.由此可

7、看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系规律方法利用相关系数r判断线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，需要借助计算器【训练1】假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0已知eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xeq oal(2,i)90，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)yeq oal(2,i)140.78，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xiyi112.3.(1)求eq o(x,sup6()，eq o(y,sup6()；(2)对x，y进行线性相关性检验解(1)

8、eq o(x,sup6()eq f(23456,5)4.eq o(y,sup6()eq f(2.23.85.56.57.0,5)5.(2) eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xiyi5eq avs4al(o(x,sup6() )eq avs4al(o(y,sup6() )112.354512.3，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xeq oal(2,i)5eq o(x,sup6()29054210，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)yeq oal(2,i)5eq o(y,sup6()2140.7812515.78，所以req f(12.3,r(1015.78)0.

9、979.所以x与y之间具有很强的线性相关关系题型二判断线性相关的强弱【例2】维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据甲醛浓度x18202224262830缩醛化度(y)26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36求样本相关系数r并判断它们的相关程度解列表如下ixiyixeq oal(2,i)yeq oal(2,i)xiyi11826.86324721.459 6483.482202

10、8.35400803.722 556732228.75484826.562 5632.542428.87576833.476 9692.8852629.75676885.062 5773.562830.0078490084073030.36900921.729 6910.80168202.944 1445892.013 64 900.16eq o(x,sup6()eq f(168,7)24，eq o(y,sup6()eq f(202.94,7)，req f(o(,sup10(7),sdo10(i1)xiyi7avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(o(

11、,sup10(7),sdo10(i1)xeq oal(2,i)7o(x,sup6()2)r(o(,sup10(7),sdo10(i1)yeq oal(2,i)7o(y,sup6()2)eq f(4 900.16724f(202.94,7),r(4 1447242)r(5 892.013 67blc(rc)(avs4alco1(f(202.94,7)sup12(2)0.96.由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的正线性相关关系规律方法当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱【训练2】以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大

12、小x(m2)的数据房屋大小x/m211511080135105销售价格y/万元24.821.618.429.222(1)画出数据的散点图；(2)求相关系数r，并作出评价解(1)图略(2)列表如下：ixiyixeq oal(2,i)yeq oal(2,i)xiyi111524.813 225615.042 852211021.612 100466.562 37638018.46 400338.561 472413529.218 225852.643 94251052211 0254842 31054511660 9752 756.812 952eq o(x,sup6()eq f(545,5)10

13、9，eq o(y,sup6()eq f(116,5)23.2，req f(o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi5avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)5o(x,sup6()2)r(o(,sup10(5),sdo10(i1)yeq oal(2,i)5o(y,sup6()2)eq f(12 952510923.2,r(60 97551092)r(2 756.8523.22)eq f(308,r(1 570)r(65.6)0.96，由此可知，新房屋的销售价格和房屋的大小之间有很

14、强的正线性相关关系.一、素养落地1通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养2判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就可利用线性相关系数来判断3|r|越接近1，它们的散点图越接近一条直线，两个变量之间的相关关系越强二、素养训练1两个变量之间的相关程度越低，则其线性相关系数的数值()A越小 B越接近1C越接近0 D越接近1解析由相关系数的性质知选C.答案C2给定y与x的一组样本数据，求得相关系数r0.690，则()Ay与x线性不相关 By与x正线性相关Cy与x负线

15、性相关 D以上都不对解析因为r0.6900，则x增大时，y也相应增大；若|r|越趋近于1，则x与y的线性相关程度越强；若r1或r1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上其中正确的有()A B C D解析根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱故可知正确答案D3甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量进行线性相关试验，并分别求得相关系数r如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85则这四位同学的试验

16、结果能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是()A甲 B乙 C丙 D丁解析由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，结合题意可知，丁的线性相关性最强，故选D.答案D4对于相关系数r，下列结论正确的个数为()r1，0.75时，两变量负相关很强r0.75，1时，两变量正相关很强r(0.75，0.3或0.3，0.75)时，两变量相关性一般r0.1时，两变量相关性很弱A1 B2 C3 D4解析由相关系数的性质可知4个结论都正确答案D5对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：n7，r0.953 3；n15，r0.301 2；n17，r0.499

17、1；n13，r0.995 0.则变量y和x线性相关程度最高的两组是()A B C D解析相关系数r的绝对值越接近于1，变量x，y的线性相关程度越高答案B二、填空题6已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r0，平移坐标系，则在以(eq o(x,sup6()，eq o(y,sup6()为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第_象限解析因为r0，所以大多数的点都落在第一、三象限答案一、三7若已知eq o(,sup6(n),sdo4(i1) (yieq o(y,sup6()2是eq o(,sup6(n),sdo4(i1) (xieq o(x,sup6()2的4倍，eq o(,sup6

18、(n),sdo4(i1) (xieq o(x,sup6()(yieq o(y,sup6()是eq o(,sup6(n),sdo4(i1) (xieq o(x,sup6()2的1.5倍，则相关系数r的值为_解析由req f(o(,sup10(n),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）（yio(y,sup6()）,r(o(,sup10(n),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）2)r(o(,sup10(n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2)，得req f(3,4).答案eq f(3,4)8部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值x与工业增加值y资料如下

19、表(单位：百万元)：固定资产价值33566789910工业增加值15172528303637424045根据上表资料计算的相关系数为_解析eq o(x,sup6()eq f(33566789910,10)6.6.eq o(y,sup6()eq f(15172528303637424045,10)31.5.req f(o(,sup10(10),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）（yio(y,sup6()）,r(o(,sup10(10),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）2o(,sup10(10),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2)0.991 8.答案

20、0.991 8三、解答题95个学生的数学和物理成绩如表：学生学科ABCDE数学8075706560物理7066686462试用散点图和相关系数r判断它们是否有线性相关关系，若有，是正相关还是负相关？解散点图法：涉及两个变量：数学成绩与物理成绩，可以以数学成绩为自变量，考察因变量物理成绩的变化趋势以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图由散点图可见，两者之间具有线性相关关系且是正相关(相关系数r法)列表：ixiyixeq oal(2,i)yeq oal(2,i)xiyi180706 4004 9005 600275665 6254 3564 950370684 9004 6244

21、760465644 2254 0964 160560623 6003 8443 72035033024 75021 82023 190req f(o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi5avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(blc(rc)(avs4alco1(o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)5o(x,sup6()2)blc(rc)(avs4alco1(o(,sup10(5),sdo10(i1)yeq oal(2,i)5o(y,sup6()2)eq f(23 19023 100,r(25040)0.90.两

22、变量具有相关关系且正相关10某火锅店为了了解营业额y(百元)与气温x()之间的关系，随机统计并制作了某6天当天营业额与当天气温的对比表气温/2618131041营业额/百元202434385064画出散点图并判断营业额与气温之间是否具有线性相关关系解画出散点图如图所示eq o(x,sup6()eq f(1,6)(2618131041)11.7，eq o(y,sup6()eq f(1,6)(202434385064)38.3，eq o(,sup10(6),sdo10(i1)xiyi26201824133410384501641 910，eq o(,sup10(6),sdo10(i1)xeq oa

23、l(2,i)26218213210242(1)21 286，eq o(,sup10(6),sdo10(i1)yeq oal(2,i)20224234238250264210 172，由req f(o(,sup10(6),sdo10(i1)xiyi6avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(o(,sup10(6),sdo10(i1)xeq oal(2,i)no(x,sup6()2)r(o(,sup10(6),sdo10(i1)yeq oal(2,i)6o(y,sup6()2)，可得r0.98.由于|r|的值较接近1，所以x与y具有很强的线性相关关系能力提升

24、11为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如下表，则两个变量的线性相关程度()x510152025y103105110111114A.很强 B很弱 C无相关 D不确定解析eq o(,sup10(5),sdo10(i1)xi75，eq o(,sup10(5),sdo10(i1)y543，eq o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)1 375，eq o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi8 285，eq o(,sup10(5),sdo10(i1)yeq oal(2,i)59 051，eq o(x,sup6()15，eq o(y,sup6()108.6，req

25、 f(o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi5avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)5o(x,sup6()2)r(o(,sup10(5),sdo10(i1)yeq oal(2,i)5o(y,sup6()2)eq f(8 285515108.6,r(1 3755152)r(59 0515108.62)0.982 6，故相关程度很强答案A12下图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图注：年份代码17分别对应年份20122018.由折线图看出，y与t有线性相关关系