常微分方程作业题参考答案

1、常微分方程P142-练1.解微分方程 xy y 2： y 2( x arctanx ) C ）xy （dyxdyxdx ，两边积分 dx ,x 12x 1解：可分离变量为2yyy 2(x arctanx ) C .解得t 2xt t 2 1 2tdt=2 t 2 1 dt=2 t- arctan t C=2(（其中 x 1 dxx arctanx ) C令 x t2.解微分方程( y2 y cos x)dx (2xy sin x)dy 0 解： P(x) y2 y cos x,Q( x) 2xy sin x ，P(x)yQ( x)x 2 y cos x 由于在全平面上恒成立，故微分方程为全微分

2、方程.原方程整理得 y2dx 2xydy y cos xdx sin xdy 0 ，即(y2dx xdy2 ) (yd sin x+sin xdy) 0 ，即 d (xy2 ) d ( y sin x) 0 d (xy2 y sin x) 0 xy2 y sin x C .故方程的通解为xy2 y sin x CP144-练习 21.微分方程 y 2 y y 0 的通解为 y 解： y 2 y y 0 的特征方程为 r 2 2r 1 0 r 1,1,2故微分方程 y 2 y y 0 的通解为y ex (C C x)122.微分方程 y y y y 0 的通解为 y 解： y y y y 0 的

3、特征方程为 r3 r2 r 1 0 r 1,r i ，12,337故微分方程 y y y y 0 的通解为y C ex C cos x C sin x 123P146-练习 32 y xex 的一个特解 y* 1.微分方程解： y 2 y y 0 的特征方程为 r 2 2r 1 0 r 11,2由于 1 是特征重根，故可设原方程的一个特解为 y* x2 (ax b)ex ，代入原方程解得a 1 ,b 0 ，故特解为 y* 1 x3ex .662.用待定系数法确定 y y x sin x 的特解形式为 y* 解： y y 0 的特征方程为 r 2 1 0 r 1,r 1,12由于 0 不是方程

4、y y x 的特征根，故可设方程 y y x 的特解为y * ax b ，1由于 i 不是方程 y y sin x 特征根，故可设方程 y y sin x 的特解为y2 c sin x d cos x ，*则原方程的一个特解形式为y* y * y * ax b c sin x d cos x .12P147-练习 4(sin x)为某二阶常系数1.设 y = eC cos x + Cx线性方程的通解，则该方程为12【解题思路】 本题已知方程的通解，反求微分方程一般根据通解性质得出特征方程的根，从而得出特征方程，由此微分方程解： r1,2 = 1 i 是二阶常系数线性方程的特征方程的特征根，即有

5、(r -1)2 = -1r 2 - 2r + 2 = 0 y- 2 y+ 2 y = 0 为所求二阶常系数线性方程.P148-练习 53811.解微分方程 2( yy x) (x2 y2 )2 （： x2 y2 ）x C解：令 x2 y2 u 2x 2 yy u ，代入原方程得u u2 1 du dx 1 x C ，则u 1,2x Cuu1即方程的通解为 x2 y2 x Cy2y12.解微分方程 y tan2x2 yxy2解：令 u yxu 2 yy u xu ，代入原方程得2 xxu tan u cos udu 1dx ln sin u ln x ln C ln Cx ，sin uxy2则s

6、in u Cx sin Cx ，xy2方程的通解为 sin Cx .xP149-练习 61.解微分方程 x2 y xy y 1解：换元 x et ，则t ln x ， dt 1 ，dxxdydy dt1 dy因为，dxdt dxx dtd 2 yddyd1 dy1 dy1 ddy() () ()所以dx2dx dxdx x dt2x dtx dx dt1 dy 1 d 2 y dt1d 2 y dy dtxdt 2 dxx2 ( dt 2) ，dtx2dy2 d 2 yd 2 ydydy即有 x， xdxdt 2 dtdx2dtd 2 y代入原方程可化为： y 1 ，dt 2通解为y C1 s

7、in t C2 cos t 1即y C1 sin ln x C2 cos ln x 139P151-练习 721.解微分方程 2xy y3 y 0 （解：令 y p ，则 y p，原方程可化为： y C x 1 C ）12C12xp p3 p 0 ，为一阶可分离变量方程.，两边积分分离变量得，解方程得ln p 1 ln(1 p2 ) 1 ln x ln C ，2211化简得 p ， 其中C .C x 11C 2112即 y y C x 1 C . 其中C , C 为任意常数.1212C x 1C11P155-练习 81. 设函数 f (x) 有连续的导函数， f (0) 2 ，又对半平面 x 0 内任意简单闭曲线 L ，均成立 2xyf (x2 )dx f (x2 ) x4 dy 0 ，试求 f (x) LPQ解：由已知条件知，其中 P(x)=2xyf (x ),Q(x)=f (x ) x224yx即2xf (x2 ) f (即 f (x) f (x) 2x ，3 ，通解为f (x) Cex 2(x 1) 再由 f (0) 2 得C 4 ，故 f (x) 4ex 2(x 1) 2u2u12.设函数u f (r)， r lnx y 满足方程 x2 y2(22f (r) ，求x2 y2 )3u解： f (r) x,，xx2 y24022ux2y2 x2x f (r) f(r) (