中考备考中的二次函数问题（李柏生）

1、PAGE PAGE 8中考备考中的二次函数问题 抛物线上求点的坐标的技巧与方法归纳武汉市汉铁初中 李柏生二次函数问题，一直是中考中的一个难点问题，近年来，二次函数问题经常被很多省市作为中考的压轴题，它是几何问题与函数问题的综合题，几乎涵盖所有的几何考点和函数考点，加之对代数中等式的变形，方程的思想等都有较高的要求。这个问题一直是教师在指导复习备考中的重点内容，也是学生感到困难的问题，而很多二次函数问题都涉及到抛物线上点的坐标的求法，对于这类问题的求解技巧与方法笔者作了以下的归类和总结：一、当直线与抛物线相交时，可以采用直线的解析式与抛物线的解析式联立的方法求解。例1：已知抛物线交轴于A、B两点

2、（A点在B点的左边），且AB2，交y轴于点C。（1）求这个抛物的解析式；（2）抛物线上是否存在点M，使得锐角MCA的正切值大于3？若存在，求出点M横坐标的取值范围；若不存在，说明理由。分析：本题第（2）题主要求出M横坐标的最大值和最小值的零界值，由画图象可知：当时，有最大值，当MC与AC垂直时，有最小值，而求解方法可以利用，所在的直线的解析式与抛物线的解析式联立，求出的坐标。简解：当时，过A作ACAK交的延长线于K。Rt中，过K作KD轴，垂足为D。1+290，2+390，13又KDAAOC90，KDAAOC，DA3CO9，DK3AO9KC：，（舍） 过C作ACM2C交抛物线于M2过M2作M2E

3、y轴，垂足为E，易得M2CE为等腰Rt, （舍） 成立，不成立M的横坐标的范围为例2：如图，抛物线经过，两点，与轴交于另外一点B。（1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连结BD，点P为抛物线上的一点，且DBP45，求点P的坐标。分析：由（1）（2）可知：，本题求解方法众多，其中一种方法利用BP直线的解析式与抛物线的解析式联立求得。简解：过D作DKBD交BP的延长线于K。过D作DFx轴，垂足为F，过K作KEDF，垂足为E，由DKB为等腰Rt, 可得DKEBDFBFDE1，KEDF4，K（1，3）KB：，解得（舍） 当时

4、，二、可以利用几何手段求出抛物线上点的横、纵坐标的数量关系，用同一字母表示点的坐标代入抛物线的解析式求得。求抛物线上的点的坐标，可由该点向轴，轴引垂线，可以考虑相似、全等、勾股定理、面积、特殊图形的性质等找出该点到轴，轴垂线段的长度的数量关系，从而用同一字母表示点的坐标，然后代入抛物线的解析式，即可解得。例3：已知抛物线与轴交于点，与y轴交于点。（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P为抛物线上的点，且在第二象限，若POA的面积等于POB的面积的2倍，求点P的坐标。分析：由（1）可得过P分别作轴的垂线，垂足分别为F、E点，实际上是POB与POA的高之比。利用面积比和底之比从而求出高之比。简解：如

5、图，当，即AO3又，AOPF，OBPE2，设PF3m，PE2m，将其代入解析式，中解得，（舍）例4：抛物线经过点交轴于A，B（A在B的左侧）两点，且OC3OA。（1）求抛物线的解析式；（2）点P为轴上方抛物线上的一点，若PCB与AOC相似，求P点坐标。分析：由PCB与AOC相似，可能是PCBAOC，也可能是CPBAOC。由（1）可得若CPBAOC，如图1过P分别作轴的垂线，垂足分别为E、F，由CPBAOC，可得AOCCPB90，从而PCFPBE，若PCBAOC，如图2，由PCBAOC，AOCPCB90，过P作PGy轴。得PGCCOB，从而可求P。简解：若CPBAOC，如图1，AOCCPB90，

6、1+290，2+390，23.又PFCPEB90PFCPEB，设PE=m，PE3m，将其代入解析式中，解得（舍）若PCBAOC如图2，BOC为等腰RtBCO45，又PCB90，PCG45又PGC90，PCG为等腰Rt，设，代入解析式中，（舍），三、设抛物线上的点为，用解方程组的方法求出的值，从而求得P的坐标。法抛物线上的点向轴分别作了垂线之后，无法通过几何手段找出点的横、纵坐标的数量关系时，可以用两个字母设抛物线上的点的坐标，但需要两个等式联立成方程组来求。抛物线的解析式可作为一个等式，另一个等式可以通过几何手段，比如利用相似、勾股定理、面积、全等等找到等量。例5：在平面直角坐标系中，抛物线与

7、轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且OBOC3OA。（1）求抛物线的解析式；（2）若CH/轴交扫物线的对称轴于H，在抛物线上是否存在点M，使MHDM？求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由。分析：由本题（1）可知：C（0，3），A（1，0），B（3，0）第（2）问中，H（2，3）若过M作轴与轴的垂线，找不到M到轴的垂线段的长，而且利用好条件MHDM，我们可以设，一方面有，另一方面有可得，从而通过联立解方程组求得。简解：当M在抛物线的对称轴右侧时，过M作MG对称轴，垂足为G，设RtHMD中，由MGHD，又，解得（舍），当M在抛物线的对称轴的左侧时，由与

8、M关于对称轴对称，例6：如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与轴交于C点，D为抛物线的项点，A（1，0），连结DA，DB，有DADB，且ABD的面积为1.（1）求这个抛物线的解析式；（2）连结CD，在抛物线上是否存在点M，使得CDM为以CD为底的等腰三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。分析：由画图可知，存在、分别在对称轴的两侧，由题可知垂直平分CD，但不能用的高中的知识求解。在求M1时，过M1分别作轴的垂线，但无法找到两垂线段之间的数量关系，而且还没有用好这个条件。过作y轴的平行线，分别过C，D作这条平行线的垂线，垂足分别为E，F，可设，在RtM1CE中和RtM1DF中，由勾股定

9、理得 ，又，所以有与联立可求得简解：当M在抛物线对称轴右侧时，解得（舍），四、当要求抛物线上两个点的坐标时，两个点的横、纵坐标都有关系，用两个字母表示这两个点的坐标，同时代入抛物线的解析式中，联立成为方程组而求解。例7：抛物线经过A（1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与轴交于另一点B。（1）求抛物线的解析式；（2）如图，过点E（1，1）作EFx轴于点F，将AEF绕平面内的某点旋转180后得MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F点对应），使点M、N在抛物线上，求点M、N的坐标。分析：由中心对称的知识可知：MNAE，NQEF，MQAF，画出图形MNQ，如图所示。MQAF2，EFNQ1，可

10、设同时代入解析式中，联立即可得到。简解：联立得方程组为用加减消元法即可很快可得：，例8：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的项点A在轴上，与y轴交于点B（0，1），且。（1）求抛物线的解析式；（2）将直线AB平移至EF，使EF2AB，E、F正好落在抛物线上，求E、F的坐标。分析：过点E作轴的平行线，过点F作y轴的平行线，两线交于H点。得FHEBOA，可设，代入解析式联可求得简解：由加减消元法可得以上通过实例介绍了求抛物线上点的坐标的技巧和方法，即：一、利用直线和抛物线的解析式联立求；二、用同一字母表示点的坐标代入解析式中；三、用两个字母表示点的坐标，再找两个等式联立成为方程组的方法求，其中一个方程由抛物线的解析式转化得到，另一个通过几何手段得到