2023届高三数学单元卷七《立体几何与空间向量》能力提升卷（及答案）

1、单元卷七立体几何与空间向量(能力提升卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2022北京西城区一模已知、是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是()A.若，则B.若a，b，则abC.若a，b，则abD.若a，a，则2.2021上海徐汇区一模如图，PA平面ABCD，ABCD为矩形，连接AC，BD，PB，PC，PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是()A.eq o(PC,sup6()与eq o(BD,sup6() B.eq o(PB,sup6()与eq o(DA,s

2、up6()C.eq o(PD,sup6()与eq o(AB,sup6() D.eq o(PA,sup6()与eq o(CD,sup6()3.2021安徽五校联考在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别为A1B，B1D1，A1D，CD1的中点，则异面直线EF与PQ所成角的大小是()A.eq f(,4) B.eq f(,6) C.eq f(,3) D.eq f(,2)4.2021广东中山一模算数书是我国现存最早的数学著作，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式Veq f(1,36)L2h，

3、用该术可求得圆周率的近似值.现用该术求得的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，则该圆锥体积的近似值为()A.eq r(3) B.2eq r(3) C.3eq r(3) D.35.2021上海格致中学高三三模如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别是面对角线AD1与BD上的动点，且APDQ，给出下列两个判断：(1)PQ和A1C1始终是异面直线；(2)PQ长的最小值是eq f(2r(3),3)；则下列说法正确的是()A.(1)正确，(2)错误 B.(1)错误，(2)正确C.(1)正确，(2)正确 D.(1)错误，(2)错误6.2021福建厦门市高

4、三三模如图在四棱锥PABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，三角形ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，HDCFAB90，则四棱锥PABCD外接球的球心到面PBC的距离为()A.eq f(r(30),5) B.eq f(r(30),6) C.eq f(r(5),5) D.eq f(r(5),6)7.2022哈尔滨师大附中一模过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作平面，使平面A1B1CD，A1D1和D1C1的中点分别为E和F，则直线EF与平面所成角的正弦值为()A.eq f(1,2) B.eq f(r(3),2) C.eq f(r(2),3) D.eq f(r(3),3)8

5、.2021河南郑州一模如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，点F，G分别是PB，PD的中点，点E在线段PC上，且CE3EP，则()A.PDEFB.直线PA与直线GF相交C.PAEGD.PA平面EFG二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2021合肥六中期末如图所示的几何体是一个正方体挖掉一个圆锥(圆锥的底面圆与正方体的上底面正方形各边相切，顶点在下底面上)，用一个垂直于正方体某个面的平面截该几何体，下列图形中可能是其截面图的是()10.2021江苏苏锡常镇四市一模

6、一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体，对于该新几何体，有()A.AFCDB.AFDEC.新几何体有7个面D.新几何体的六个顶点不能在同一个球面上11.2022济宁模拟如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法，其中正确的是()A.该八面体的体积为eq f(8,3)B.该八面体的外接球的表面积为8C.点E到平面ADF的距离为eq r(3)D.EC与BF所成的角为6012.2021山东菏泽期末沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部

7、容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的eq f(2,3)(细管长度忽略不计)，假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论错误的是()A.沙漏的侧面积是16eq r(5) cm2B.沙漏中细沙的体积为1 024 cm3C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为1.2 cmD.该沙漏的一个沙时大约是1 985秒(3.14)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2021河北张家口质量

8、检测莱昂哈德欧拉是科学史上一位杰出的数学家，他的研究论著几乎涉及所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总满足数量关系VFE2，此式称为欧拉定理.已知某凸八面体，4个面是三角形，3个面是四边形，1个面是六边形，则该八面体的棱数为_，顶点的个数为_.14.2022淮北模拟如图，在梯形ABCD中，ABBC，ADBC，AB1，BC1，AD2.取AD的中点E，将ABE沿BE折起，使二面角ABEC为120，则四棱锥ABCDE的体积为_.15.2021兰州一模如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上

9、，且A1M2MD1，过点M的平面与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为_.16.2022河北石家庄期末我国古代九章算术中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童ABCDEFGH有外接球，AB2eq r(6)，AD2eq r(2)，EHeq r(15)，EFeq r(5)，平面EFGH与平面ABCD的距离为1，则该刍童外接球的体积为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)2021江西南昌一模如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，ABC60，对角面AA1C1C是矩形，且平

10、面AA1C1C平面ABCD.(1)证明：四棱柱ABCDA1B1C1D1是直四棱柱；(2)设ACBDO，若ABAA1，求二面角DOB1C1的余弦值.18.(12分)2022山西太原一模如图，在三棱锥PABC中，PAPBeq r(2)，ACBCPCeq r(5)，AB2，点E为PC的中点.(1)证明：平面PAB平面ABC；(2)设点F在线段BC上，且eq o(BF,sup6()eq o(FC,sup6()，若二面角CAEF的大小为45，求实数的值.19.(12分)2022四川成都二模如图，在等腰三角形PBC中，PBPC3eq r(5)，BC6，D，E满足eq o(BD,sup6()2eq o(DP

11、,sup6()，eq o(CE,sup6()2eq o(EP,sup6().将PDE沿直线DE折起到ADE的位置，连接AB，AC，得到如图所示的四棱锥ABCED，点F满足eq o(BF,sup6()2eq o(FA,sup6().(1)证明：DF平面ACE；(2)当ABeq r(29)时，求平面ACE与平面DEF所成锐二面角的余弦值.20.(12分)2021湖南五市联考如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，侧面PAD底面ABCD，ADBC，ABBC，ABeq r(3)AD，ACB30.(1)证明：PA平面ABCD.(2)当直线PC与平面PBD所成的角最大时，求二面角PBDC的余弦

12、值.21.(12分)2021福州一中期末木工技艺是我国传统文化瑰宝之一，体现了劳动人民的无穷智慧.很多古代建筑和家具保存到现代依然牢固，这其中，有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用.如图，楔子状五面体EFABCD的底面ABCD为一个矩形，AB8，AD6，EF平面ABCD，棱EAEDFBFC5，设M，N分别是AD，BC的中点.(1)证明：E，F，M，N四点共面，且平面EFNM平面ABCD；(2)若二面角FBCA的大小为eq f(,3)，求直线BF与平面EFCD所成角的正弦值.22.(12分)2021江苏南京高三三模如图，在直三棱柱中ABCA1B1C1，ABAC，AB3，AC4，B1CAC1.(

13、1)求AA1的长；(2)试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角BA1CA的大小相等，并说明理由.单元卷七立体几何与空间向量(能力提升卷)1.BA中，若，可能相交也可能平行，A错误；B中，a，b，根据线面垂直的性质可判断ab，B正确；C中，a，b，则a，b的位置不定，C错误；D中，a，a，则，可能相交也可能平行，D错误.故选B.2.A由PA平面ABCD，ABCD为矩形，A：BD平面ABCD，则PABD，而AC与BD不一定垂直，不一定有BD平面PAC，故BD不一定与PC垂直，所以eq o(PC,sup6()与eq o(BD,sup6()数量积不一定为0，符合

14、题意；B：由A知PAAD，又DAAB且ABPAA，AB，PA平面PAB，则DA平面PAB，又PB平面PAB，所以PBDA，即eq o(PB,sup6()与eq o(DA,sup6()数量积为0，不合题意；C：由上易知PAAB，又DAAB且DAPAA，DA，PA平面PAD，则AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD，即eq o(PD,sup6()与eq o(AB,sup6()数量积为0，不合题意；D：由上知PAAB，而ABCD，所以PACD，即eq o(PA,sup6()与eq o(CD,sup6()数量积为0，不合题意；故选A.3.C法一如图，连接A1C1，BC1，则F是A1C1的中点，

15、因为E为A1B的中点，所以EFBC1.连接DC1，则Q是DC1的中点，又P为A1D的中点，所以PQA1C1，于是A1C1B或其补角是异面直线EF与PQ所成的角.易知A1C1B是正三角形，所以A1C1Beq f(,3)，所以异面直线EF与PQ所成角的大小是eq f(,3)，故选C.法二以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(1，0，1)，Q(0，1，1)，E(2，1，1)，F(1，1，2)，则eq o(PQ,sup6()(1，1，0)，eq o(EF,sup6()(1，0，1).设异面直线EF与PQ所成的角为eq blc

16、(rc)(avs4alco1(blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)，则cos eq f(|o(EF,sup6()o(PQ,sup6()|,|o(EF,sup6()|o(PQ,sup6()|)eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,r(2)r(2)eq f(1,2)，所以eq f(,3)，故选C.4.A设该圆锥底面圆的半径为r，高为h，则底面周长L2r，则圆锥的体积Veq f(1,36)(2r)2heq f(1,3)r2h，解得3，又底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，所以3r223r29，解得r1，则heq r(3)，所以该圆锥的体积为eq f(1,3)312

17、eq r(3)eq r(3)，故选A.5.B(1)如图所示，建立空间直角坐标系.设APDQeq r(2)a，则P(2a，0，a)，Q(a，a，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，(0a2).所以eq o(A1C1,sup6()(2，2，0)，eq o(A1P,sup6()(a，0，a2)，eq o(A1Q,sup6()(a2，a，2).设平面A1C1P的法向量为n1(x1，y1，z1)，所以eq blc(avs4alco1(o(A1C1,sup6()n12x12y10，,o(A1P,sup6()n1ax1（a2）z10，)n(a2，a2，a).设平面A1C1Q的法向量为n2(x2，y

18、2，z2)，所以eq blc(avs4alco1(o(A1C1,sup6()n22x22y20，,o(A1Q,sup6()n2（a2）x2ay22z20，)n2(1，1，a1).如果PQ和A1C1共面，则平面A1C1P和平面A1C1Q重合，所以eq f(a2,1)eq f(a2,1)eq f(a,a1)，所以a24a20，a2eq r(2)0，2.所以PQ和A1C1始终是异面直线错误；(2)由题得|PQ|eq r(（2a2）2a2a2)eq r(6a28a4)，因为0a2，所以aeq f(2,3)时，PQ长的最小值是eq f(2r(3),3).所以(1)错误，(2)正确.故选B.6.C该几何体

19、的直观图如图所示，分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO1，OM2，PMeq r(PB2BM2)eq r(61)eq r(5)，OP2OM2PM2，OPOM，又POAD，OMADO，OM，AD平面ABCD，由线面垂直的判定定理得出PO平面ABCD.以点O为坐标原点，eq o(OA,sup6()，eq o(OM,sup6()，eq o(OP,sup6()的正方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(1，2，0)，P(0，0，1)，设四棱锥PABCD外接球的球心N(0，1，a)，eq o(PN,sup6()(0，1，a1)，eq o(NA,s

20、up6()(1，1，a)，|eq o(PN,sup6()|eq o(NA,sup6()|，1(1a)211a2，解得a0.设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，eq o(PB,sup6()(1，2，1)，eq o(PC,sup6()(1，2，1)，eq o(NP,sup6()(0，1，1).则eq blc(avs4alco1(o(PB,sup6()n0，,o(PC,sup6()n0，)即eq blc(avs4alco1(x2yz0，,x2yz0，)取z2，则n(0，1，2).四棱锥PABCD外接球的球心到平面PBC的距离为d|eq o(NP,sup6()|cosn，eq o(NP,sup6(

21、)|eq o(NP,sup6()|eq blc|rc|(avs4alco1(f(no(NP,sup6(),|n|o(NP,sup6()|)eq f(1,r(5)eq f(r(5),5)，故选C.7.A在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为平面平面A1B1CD，所以EF与平面所成角的正弦值和EF与平面A1B1CD所成角的正弦值相等.如图，连接BC1，A1C，取AB的中点G，连接FG，显然FG与A1C相交，设交点为O，则点O即正方体的中心.由A1B1BC1，B1CBC1，A1B1B1CB1，A1B1，B1C平面A1B1CD，得C1B平面A1B1CD.由F，G分别为D1C1，AB的中点，可得FGC

22、1B，所以FG平面A1B1CD.作FE的延长线交B1A1的延长线于点F，显然FEEF，连接FO，则FO为线段FF在平面A1B1CD上的投影，FFO即直线EF与平面A1B1CD所成的角.设正方体的棱长为a，则FOeq f(1,2)FGeq f(r(2),2)a，FF2EF2eq f(r(2),2)aeq r(2)a，所以sinFFOeq f(f(r(2),2)a,r(2)a)eq f(1,2)，即直线EF与平面所成角的正弦值为eq f(1,2)，故选A.8.D如图， 在CD上取一点H，使得CH3DH，连接EH，HF，又CE3EP，所以PDEH，则直线PD不与EF平行.连接AC，BD，交于点O，由

23、四边形ABCD是平行四边形得O为AC，BD的中点.因为F，G分别为PB，PD的中点，所以GFBD，连接PO，交GF于点M，于是PMMO，在线段EC上取点Q，使得CQ2QE，连接OQ，因为PEeq f(1,3)ECeq f(1,3)3EQEQ，所以E为PQ的中点，又PMMO，连接ME，则MEOQ.因为PQQC，AOOC，所以PAOQ，于是PAME，因此直线PA与GF异面，不与直线EG平行，PA平面EFG，故选D.9.ACD用过圆锥的轴且与上底面一组对棱垂直的平面截该几何体可得A图，用平行于圆锥底面的平面截该几何体可得C图，用垂直于圆锥底面且不过圆锥的轴的平面截该几何体可得D图，而B图用垂直于正方

24、体的任何面的平面截都无法得到.故选ACD.10.ABD由题意，正四面体和正四棱锥的所有棱长都相等，设G，H分别为BC，ED的中点，连接FG，AH，AG，GH，则FGBC，AGBC，GHBC，BC平面AFG，BC平面AGH，A，F，G，H四点共面，四边形AFGH为平行四边形，AFGHCD，AFDE，故A，B正确.AFCD，A，F，C，D四点共面，即新几何体为斜三棱柱，有5个面且无外接球，C错误，D正确.故选ABD.11.BDA.由题易得，该八面体的体积为2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)22r(2)eq f(8r(2),3)，A错误；B.该八面体的外接球的球心为正方形ABC

25、D对角线的交点，易得外接球的半径为eq r(2)，则表面积为8，B正确；C.取AD的中点G，连接EG，FG，EF，易得EGFGeq r(3).过点E作EHFG，交FG的延长线于点H.由题可得ADEG，ADGF，则AD平面EFH，所以EHAD，又ADFGG，所以EH平面ADF.令FEG，则HEGeq f(,2)2.由题可得sin eq f(r(3),3)，cos eq f(r(6),3)，所以sin 22sin cos eq f(2r(2),3)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2)sin 2eq f(2r(2),3)，所以在RtEHG中，eq f(EH,EG)eq

26、 f(2r(2),3)，即eq f(EH,r(3)eq f(2r(2),3)，解得EHeq f(2r(6),3)，所以点E到平面ADF的距离为eq f(2r(6),3)，C错误；D.因为EDBF，所以EC与BF所成的角即为EC与ED所成的角，为60.12.ABC一个圆锥的母线长为eq r(82blc(rc)(avs4alco1(f(8,2)sup12(2)4eq r(5) cm，侧面积为eq f(1,2)4eq r(5)816eq r(5) cm2，所以沙漏的侧面积为216eq r(5)32eq r(5) cm2，故A错误；细沙在上部时，由题意知细沙成底面直径和高均为8eq f(2,3)eq

27、f(16,3) cm的圆锥，因此体积为eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,3)eq sup12(2)eq f(16,3)eq f(1 024,81) cm3，故B错误；细沙全部漏入下部后，沙堆的高度为eq f(3f(1 024,81) ,16 )eq f(64,27)2.37 cm，故C错误；该沙漏的一个沙时大约是eq f(1 024,81)0.021 985秒，故D正确.故选ABC.13.159因为某凸八面体的4个面是三角形，3个面是四边形，1个面是六边形，所以该八面体的棱数Eeq f(43346,2)15.设顶点的个数为x，因为顶点数V、棱数E、面数F之间总

28、满足数量关系VFE2，所以x8152，解得x9.14.eq f(r(6),12)梯形ABCD的面积Seq f(（12）1,2)eq f(3,2)，SABEeq f(1,2)11eq f(1,2)，SBCDEeq f(3,2)eq f(1,2)1.如图，取BE中点H，连接AH，CH，AHBE，CHBE，AHC为二面角ABEC的平面角，AHC120.过点A作CH的垂线，交CH的延长线于点K，则AHeq f(r(2),2)，AKAHsin 60eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)eq f(r(6),4)，所以VABCDEeq f(1,3)AKSBCDEeq f(1,3)eq f(r(6)

29、,4)1eq f(r(6),12).15.3eq r(2)如图，在线段D1C1上取点N，使C1N2ND1，连接MN，则MNA1C1.在CC1上取点P，使C1P2PC，连接NP，则NPA1B.在BC上取点Q，使BQ2QC.连接PQ，则PQBC1.在AB上取点E，使BE2EA，连接EQ，则EQA1C1.在AA1上取点F，使A1F2FA，连接EF，则EFA1B.连接MF，则平面MNPQEF平面A1BC1，即平面MNPQEF为平面，所以六边形MNPQEF为满足条件的截面多边形.因为MNEFPQeq f(1,3)A1C1eq f(r(2),3)，FMQENPeq f(2,3)A1Beq f(2r(2),

30、3)，所以截面六边形MNPQEF的周长为MNNPPQQEEFFM3eq f(r(2),3)3eq f(2r(2),3)3eq r(2).16.36设O为刍童外接球的球心，O1，O2分别为矩形EFGH，ABCD的中心，由球的几何性质可知：O，O1，O2三点共线，连接OO1，O1G，OG，O2B，OB，如图所示：由题知：OO2平面ABCD，OO1平面EFGH，所以O1O21.因为O1Geq f(1,2)eq r(EF2FG2)eq f(1,2)eq r(155)eq r(5)，设OO2m，在RtOGO1中，OGeq r(OOeq oal(2,1)O1G2)eq r(（m1）25)，因为O2Beq

31、f(1,2)eq r(AD2AB2)eq f(1,2)eq r(824)2eq r(2)，在RtOBO2中，OBeq r(OOeq oal(2,2)O2B2)eq r(m28)，设外接球的半径为R，则ROGOB，所以eq r(（m1）25)eq r(m28)，解得m1，所以Req r(（11）25)3，Veq f(4,3)R336.17.(1)证明如图，平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，因为对角面AA1C1C是矩形，所以AA1AC，AA1平面AA1C1C，由面面垂直的性质定理得AA1平面ABCD，故四棱柱ABCDA1B1C1D1是直四棱柱.(2)解因为四边形AB

32、CD是菱形，所以ACBD.连接B1D1，设A1C1B1D1O1，连接OO1，则O1O底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直.以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.不妨设AB2t，因为CBA60，所以OBeq r(3)t，OCt，又ABAA1，所以B1(eq r(3)t，0，2t)，C1(0，t，2t).易知，n1(0，1，0)是平面BDD1B1的一个法向量.设n2(x，y，z)是平面OB1C1的法向量，则eq blc(avs4alco1(n2o(OB1,sup6()0，,n2o(OC1,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(

33、r(3)x2z0，,y2z0，)取zeq r(3)，则x2，y2eq r(3)，所以n2(2，2eq r(3)，eq r(3).设二面角DOB1C1的平面角为，由图判断知是锐角，于是cos |cosn1，n2|eq blc|rc|(avs4alco1(f(n1n2,|n1|n2|)eq f(2r(3),r(19)eq f(2r(57),19).故二面角DOB1C1的余弦值为eq f(2r(57),19).18.(1)证明取AB的中点为D，连接CD，PD，如图，PAPBeq r(2)，AB2，PDAB，PD1，同理可得CDAB，CD2，PC2PD2CD25，PDCD.ABCDD，AB，CD平面A

34、BC，PD平面ABC.PD平面PAB，平面PAB平面ABC.(2)解以D为坐标原点，向量eq o(DB,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(DP,sup6()的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，由题意得A(1，0，0)，C(0，2，0)，B(1，0，0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,2)，eq o(AC,sup6()(1，2，0).eq o(BF,sup6()eq o(FC,sup6()，eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,1)，f(2,1)，0).设m(x1，y1，z1)是平面ACE的法向量，则eq blc(avs4alco1(mo(AE,sup6()0，,mo(AC,sup6()0，)eq blc(avs4alco1(x1y1f(1,2)z10，,x12y10，)令y11，则eq blc(avs4alco1(x12，,z12，)m(2，1，2)，设n(x2，y2，z2)是平面AEF的法向量，则eq blc(avs4alco1(n o(AE,s