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文档简介

5.3 实对称矩阵的对角化性质1实对称矩阵的特征值为实数.一、实对称矩阵的性质说明:本节所提到的对称矩阵,除非特别说明,均指实对称矩阵性质1的意义性质2证明于是证明它们的重数依次为根据性质1(对称矩阵的特征值为实数)和性质2可得:设 的互不相等的特征值为由性质3知对应于不同特征值的特征向量正交,这样的特征向量共可得 个.故这 个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵 ,则根据上述结论,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵,其具体步骤为:二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化(如果有重根的话);3.将特征向量单位化.4.2.1.解例1 对下列各实对称矩阵,分别求出正交矩阵 ,使 为对角阵.(1)第一步 求 的特征值解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系第三步 将特征向量正交化第四步 将特征向量单位化于是得正交阵1.对称矩阵的性质:三、小结 (1)特征值为实数; (2)属于不同特征值的特征向量正交; (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等; (4)必存在正交矩阵,将其化为对角矩阵,且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤: (1)求特征值;(2

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