人教B版2019必修1 专题强化练 3 利用均值不等式求最值

1、人教B版2019必修1 专题强化练 3 利用均值不等式求最值若 a，b，c 均大于 0，且 2a+b+c=6，则 aa+b+c+bc 的最大值为 A 34 B 3 C 32 D 2 若 abc0，则 2a2+1ab+1aab10ac+25c2 的最小值是 A 2 B 4 C 25 D 5 若正实数 x，y 满足 x+3y=5xy，当 3x+4y 取得最小值时，x+2y 的值为 A 245 B 2 C 285 D 5 若 x，y 均为正实数，且 2x+8yxy=0，则 x+y 的取值范围是 若正实数 x，y 满足 2x+y+6=xy，则 2x+y 的最小值是 若正实数 a，b 满足 ab=a+b

2、+3，则 ab 的最小值为 已知 a2+b2+c2=1，x2+y2+z2=9，则 ax+by+cz 的最大值为 设 0 x1，求 2x+1x1 的最小值；(2) 已知 xy0，求 x2+4yxy 的最小值某商品进货价为每件 50 元据市场调查，当销售单价为 x（500，y0，且 2x2+y23=8，求 x6+2y2 的最大值答案1. 【答案】C【解析】因为 a，b，c 均大于 0，所以 aa+b+c+bc=a2+ab+ac+bc=a2+ac+ab+bc=aa+c+ba+c=a+ba+ca+b+a+c22=2a+b+c22=622=32, 当且仅当 a+b=a+c=62 时，等号成立，所以 aa

3、+b+c+bc 的最大值为 32【知识点】均值不等式的应用2. 【答案】B【解析】因为 abc0，所以 原式=a2+1ab+1aab10ac+25c2+a2=a2ab+1aab+ab+1ab+a5c22a2ab1aab+2ab1ab+0=2+2+0=4. 当且仅当 aab=1，ab=1，a5c=0，即 a=2，b=22，c=25 时取等号，所以所求代数式的最小值是 4【知识点】均值不等式的应用3. 【答案】B【解析】因为 x+3y=5xy，x0，y0，所以 15y+35x=1，所以 3x+4y=3x+4y15y+35x=135+3x5y+4y5x3135+23x5y12y5x=5, 当且仅当

4、3x5y=12y5x，即 x=2y=1 时等号成立，此时 x+2y=2故选B【知识点】均值不等式的应用4. 【答案】 18,+) 【解析】由原方程可得 yx8=2x，所以 y=2xx8，因为 x0，y0，所以 x80，所以 x+y=x+2xx8=x8+16x8+102x816x8+10=18，当且仅当 x8=16x8，即 x=12 时，等号成立故 x+y 的取值范围为 18,+【知识点】均值不等式的应用5. 【答案】 12 【解析】解法一：因为 x0，y0，所以 xy=122xy122x+y22，所以 2x+y+6=2x+y+6=xy182x+y2，所以 2x+y282x+y480，令 2x+

5、y=t，则 t0，且 t28t480，所以 t12t+40，所以 t12，即 2x+y12，当且仅当 2x=y，即 x=3，y=6 时取等号所以 2x+y 的最小值是 12解法二：由 x0，y0，2x+y+6=xy，得 xy22xy+6（当且仅当 2x=y 时取等号），即 xy222xy60，所以 xy32xy+20，又因为 xy0，所以 xy32，即 xy18（当且仅当 x=3，y=6 时取等号），所以 xy 的最小值是 18，因为 2x+y=xy6，所以 2x+y 的最小值是 12【知识点】均值不等式的应用6. 【答案】 9 【解析】因为 ab=a+b+3，所以 a1b=a+3，因为 a0

6、，b0，所以 a10，即 a1，所以 b=a+3a1 所以 ab=aa+3a1=a2+3aa1=a12+5a1+4a1=a1+4a1+5. 因为 a10，所以 a1+4a12a14a1=4，当且仅当 a1=4a1，即 a=3 时取等号，此时 b=3，所以 ab9，即 ab 的最小值为 9【知识点】均值不等式的应用7. 【答案】 3 【解析】因为 9a2+x26ax，9b2+y26by，9c2+z26cz，所以 6ax+by+cz9a2+b2+c2+x2+y2+z2=18（当且仅当 x=3a，y=3b 且 z=3c 时，等号成立），所以 ax+by+cz3【知识点】均值不等式的应用8. 【答案】

7、因为 0 x2，所以 03x20，所以 y=3x83x3x+83x2=82=4，当且仅当 3x=83x，即 x=43 时取等号所以当 x=43 时，y=3x83x 有最大值 4【知识点】函数的最大（小）值、均值不等式的应用9. 【答案】(1) 因为 x1，所以 x10，所以 2x+1x1=2x1+1x1+222x11x1+2=2+22, 当且仅当 2x1=1x1x1，即 x=1+22 时，等号成立，故 2x+1x1 的最小值为 2+22(2) 因为 xy0，所以 xy0，所以 0y0, 即 x=2,y=1 时，等号成立，故 x2+4yxy 的最小值为 8【知识点】均值不等式的应用10. 【答案】设每天获得的利润为 y 元，则 y=x50P=105x50 x402令 x50=t，则 0t30，x=50+t，则 y=105tt+102=105tt2+20t+100=105t+100t+201052t100t+20=10520+20=2500, 当且仅当 t=100t，即 t=10，x=60 时，等号成立，此时 y 取得最大值 2500故销售价格每件定为 60 元【知识点】均值不等式的实际应用问题11. 【答案】因为 x6+2y22=x26