2010概率论与数理统计习题解答1

1、概率论与数理统计习题解答一教材第一章1.1写出下列随机试验的样本空间：某篮球运动员投篮时，连续5次都命中，观察其投篮次数。以该运动员直至连续5次投篮命中时的投篮次数为样本点，Q=5,6,7,-o掷一颗匀称的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和。以两次出现的点数之和为样本点，0=2,3,12,也可以前后两次出现点数的排列为样本点，则Qr=(a,b):a,b=l,2,-.,6o观察某医院一天内前来就诊的人数。以该医院一天内来就诊的人数为样本点，Q=0,1,2,。从编号为1,2,3,4,5的五件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品。以抽出的两件产品的编号形成的组合(不计抽中的次序)为样本点，Q1=

2、(a,b):lab5,a,b=l,2,-,5；若两个产品是依次抽取的，它们的编号按抽中的顺序形成一个排列，以此排列作为样本点，则Q2=(a,b):a,b=l,2,3,4,5o检查两件产品是否合格。一件产品合格记为G,不合格记为B。以两件产品各自的合格与否的状况形成的排列作为样本点，则Q=(GG),(GB),(BG),(BB)o观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T，最高气温不高于E)。以该地一天内的最低气温与最高气温形成的排列作为样本点，则Q=(x,y):xyI；oC7)在单位圆内任取两点，观察这两点间的距离。以两点间的距离作为样本点，则0=0,2)。若以两点的坐标形成的排列

3、作为样本点，则。2=(兀，)，(，丫2)：+父Vl,i=l,2。(8)在长为1的线段上任取一点，该点将线段分成两段，观察两线段的长度。若以两线段的长度形成的排列作为样本点，则霸=(11，1-1)：011。若以该点的坐标作为样本点，则G?=O,1。1.2设AB,C为三事件，用AB,C的运算关系表示下列各事件：A与B都发生，但C不发生。ABCA发生，且B与C至少有一个发生。A(BUC)AE,C中至少有一个发生。AUBUCAE,C中恰有一个发生。(ABC)U(ABC)U(ABC)AE,C中至少有两个发生。(AB)U(AC)U(EC)AE,C中至多有一个发生。(AB)U(AC)U(BC)=(B)n(A

4、C)n(BC)=(AB)U(AC)U(BC)C7)AE,C中至多有两个发生。ABC(8)AE,C中恰有两个发生。(ABC)U(ABC)U(BC)1.3设样本空间Q=x|0 x2,事件A=x|0.5xl,B=x|0.8x1.6,具体写出下列各事件：ABA-BABAUBAB=(0.8,1A-B=0.5,0.8A-B=0,0.5)U(0.8,2AUB=0,0.5)U(1-6,21.7若W表示昆虫出现残翅，E表示有退化性眼睛，且P(W)=0.125,P(E)=0.075,P(WE)=0.025。求卜冽事件的概率：昆虫出现残翅或退化性眼睛；P(W|JE)=P(W)+P(E)-P(WE)=0.125+0.

5、075-0.025=0.175.昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛：P(WE)=P(W)-P(WE)=0.125-0.025=0.1.昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛。P(WE)=P(WUE)=1-P(WIJE)=1-0.175=0.825。1.8设A和B是两个事件，P(冯=0.6,P(B)=0.8。试问：在什么条件下P(AB)取到最人值，最大值是多少？在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：因为ABuAABuB,故P(AB)niinP(,P(B),P(AB)的最大值为06。当AB=A即AuE时可达到此最人值。因为P(AB)=P(+P(B)-P(AUB),故当P(AIJB)达到最大值时P

6、(AB)达到最小值。P(AUB)最大值为1,所以PfAB)的最小值为04。当AUB=Q时可达到。19设P(Q=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.5,P(AB)=0,P(AC)=0.1,P(BC)=0.2,求事件AB,C中至少有一个发生的概率。解：因为ABCuAB,所以0P(ABC)P(AB)=0。因此，P(AUEUC)=P(Q+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(_ABC)=0.2+03+0.5-0-0.1-0.2+0=0.7.1.10计算下列各题：设P(丹=0.5,P(B)=0.3,P(AljB)=0.6,求P(AB):设P(丹=0.8,P(A-B)=0.4,求

7、P(忑)：设P(AB)=P(AB),P(舛=0.3,求P(B)o解：(1)P(AB)=P(-P(AB)=P(刃-P(舛+P(E)-P(AUE)=0.6-0.3=0.3P(B)=1-P(AB)=1-P(-P(A-B)=1-0.4=0.6.因为P(_AB)=P(丽)=1P(A|JB)=1-P(刃+P(E)P(_AB),所以P(B)=1-P(=0.7o1.12掷一颗匀称的骰子两次，求前后两次出现的点数之和为3,4,5的概率各是多少？解：以两次掷得的点数的排列作为样本点，则样本空间为G=(bb):a,b=l,2，,6,其中共包拾36个样本点。根据经验假定各基本事件发生的概率相等。记A为“两次掷得的点数

8、之和为1”。因为A=(1,2),(2,1),故P(A)=W=J3oloTOC o 1-5 h z31因为爲=(1,3),(2,2),(3,1),故P(A)=-361241因为A=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故P(A)=o369习题集第一章3.一个工人生产了n个零件，以事件A表示“他生产的第1个零件是正品”(lGSn)。用A表示卞列事件：(1)没有一个零件是次品；C)至少有一个零件是次品；riA=UAi=li=l(3)仅仅有一个零件是次品；UAna1=1(4)至少有两个零件不是次品。U(A令)5.设P(丹=a,P(B)=b,P(AUB)=Co求P(_AB),P(AB),P(丽

9、)。解：P(AB)=P(丹+P(E)-P(A|JB)=a+b-c;P(AB)=P(刃-P(AB)=a-(a+b-c)=c-b;(=P(AUB)-P(B)P(AB)=1-P(A|JB)=l-c.8.对任意事件A,B,证明：P(B)P(AUB)P(P(B)o证明：记a=P(AB)o因为P(AB)P(AUB)-P(A)P(B)=aP(AB)+P(BA)+a-P(AB)+a玖BA)+a=-P(A)P(eA)0,P(AB)P(AUB)-P(P(B)或者=aP(+P(B)-a-P(P(B)=-P(-aP(B)-a|/Nn。24.上题中这些号码按上升次序（不一定严格）排列的概率。解：以摸出的n个球的编号的排

10、列作为样本点，则样本空间包含N个样本点。假定每个基本事件的发生概率相等。记A为“摸出的n个号码按升序排列”，记兀为编号为i的球被抽中的次数，i则A中的样本点数与方程+Xg+=n兀=0丄N+n-l的整数解个数一样多，也与21题（2）中的样本空间中的样本点数一样多，为。I11丿N+11-1、因此，P（刃=_-ONn28.某班有N个士兵，每人只有一支枪，这些枪外形完全一样。在一次夜间紧急集合中，若每人随机地取走一支枪，问至少有一人拿到自己的枪的概率。解：假如将枪编上1N的号码，那么N个士兵随机拿枪的过程可视为他们每人依次不放回地从1N个号码中随机抽取一个号码。第1个士兵有N种抽法，第2个有N1种抽法

11、，所有人共有N!种拿法。假定每种拿法等概率。记A为事件“第】个士兵拿到了自己的枪S,N。则P(A)=(N-l)!_1N!一Np（AA）=(N-2)!N!j,N;P（4令4）=（N_；）!,i,j,k互不相同;因此,p（UIiA）p-Sp（AA）+（-i）gp（ft】A）2!3!i=llijNN（N-l）!（N-2）!+.+（_）nt厂N、1Na丿N!N!&丿N!+（-1）2今（-1严i=!i!甲有n+1个硬币，乙有n个硬币，双方投掷之后进行比较。求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率。解：一枚硬币掷得正面记为H,掷得反面记为To将甲乙两人的硬币编上1n+1,n+22n+l的号码，以12n+l

12、号硬币掷得的结果对应的长度为2n+l的由H、T两个字母组成的有序字串作为样本点，则样本空间共含24个样本点。假定每个基本事件发生的概率相等。记A为事件“甲掷出的正面数大于乙”，B为事件“甲掷出的反面数大于乙”。设6WGA,若将血中的每个H换成T、每个T换成H,得CO,则显然厉WB；反之亦然。所以P(=P(B)o再考虑A：“甲掷出的正面数小于等于乙”，这等价于甲掷出的反面数大于乙”，即B。所以P(=P(B)O因此，1=P(刃+P(可=2P(B)=P(=P(B)=l/2o假设甲、乙两人轮流掷硬币，先掷出正面者胜。让甲先掷。试求出甲、乙获胜的概率。解：假定甲乙掷的是同一枚硬币，一次掷得正面的概率为p

13、,掷得反面的概率为q，p+q=lo假定每次掷硬币都是独立进行的。记H,为“第1次掷得正面”，记W为事件“恰好在掷第1次硬币后分出胜负”，i=1,2,。则由独立性假定知，P0Y)=P(H1.Hi_1H1)=q11p,i=1,2,因此，8COp1P仲胜)=P(工)=工PP+q2p+q4p+-=-t=-、苗苗1-T2-pP(乙胜)=1-宀尹._q_2-p一个II袋里有3个白球5个黑球，甲、乙两人依次取出一球，记录下颜色后放回。规定谁先取得白球谁获胜。甲先取。问甲、乙获胜的概率各为多大？解：上题中取p=3/8=0.375,q=5/8=0.625,即可算得P（甲胜2吉=品吕P（乙胜）4吉洛34.从110

14、0共100个正整数中任取一数，在已知该数为3的整数倍的条件下，试求该数能被5整除的概率。解：以取出的数为样本点，样本空间为1100中的100个正整数组成的集合。假定每个基本事件发生的概率相等。记A为取出的数为i的倍数，i=3,5。由古典概型的概率计算方法知：Pg*着p（AA）=侖，所以p(AIA)=P(AA)一6_2P(4)331135设P(0o证明P(B|1-P(B)/P(o证明：P(B|=1-P(B|=1-1-P(B)/P(37.设事件A,B,C满足P(ABC)H0,P(C|AB)=P(C|B)0证明P(A|BC)=P(A|B)o证明:P(C|AB)=P(C|B)=P(ABC)P(AB)P

15、(BC)P(B)P(ABC)P(BC)P(AB)P(B)=P(A|BC)=P(A|B).38.证明：若事件A,B,C相互独立，贝ijAB,AIJB,A-B与事件C相互独立。证明：由A,B,C相互独立可知，P(ABC)=P(P(B)P(C),P(AB)=P(P(B),因此P(ABC)=P(AB)P(C),即得AB与C相互独立。P(AUB)C)=P(AC)U(BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(刃P(C)+P(B)P(C)-P(AB)P(C)=P(AUE)P(C),因此，AIJB与C相互独立。P(A-B)C)=P(ACB)=P(AC-B)=P(AC)-P(ACB)=P(P(C)-P(

16、AB)P(C)=P(A-B)P(C),因此，A-B与C相互独立。40设A,B,C相互独立，且P(AB)H0,证明P(C|AB)=P(C)。证明：由38题知，P(ABC)=P(AB)P(C),再由条件概率的定义即得本题结论。41.若0VP(冯VI,且P(B|=P(B|A|，证明事件A和事件B相互独立。解：由条件概率的定义可知P(AB)_P(AB)_P(B)-P(AB)P(A)P(A)l-P(刃=P(AB)-P(AB)玖舛=P(P(B)-P(AB)=P(AB)=P(P(B)因此，由独立性定义知，A与B相互独立。43.统能正常工作的概率，并判断哪一个系统为优。解：假定各元件是否正常工作相互独立。用A

17、，耳表示相应的元件正常工作。那么，第(1)有两个系统的电路，其中元件A，B，i=l，2，的可靠性都为r，0r1求这两个系(1)个系统能正常工作的概率为p1=p(A-A)U(B1.-Bn)=p(A-Al)+P(Bi-Bn)-P(A-AlB1-Bn)=flP(A)riPCBi)-HP(A)flP(Bx)i=li=li=li=l=2rn-r2n=rn(2-rn).第(2)个系统能正常工作的概率为P2=p(a(AUBj)=fjp(AUBji=li=l=Hp(A)+p(b1)-p(ab1)i=l=(2r-r2)n=rn(2-r)n.VOr1,Vn,有Pil时，p】p?。44.有四个II袋，内装白球和黑球

18、，数目以“(白球数，黑球数)”记之，分别为：(1,2),(2,1),(2,2),(3,1)。今从每个口袋中各取一球，求恰取得2个白球的概率。解：整个随机试验可视为由从第1,2,3,4个【I袋中依次摸取一球四个步骤组成，各步骤之间相互独立。记W为事件“从第1个II袋中取出白球”，A为事件“恰好取得2个白球”。显然a=假定试验的各个步骤均是从对应门袋的所有球中等町能地随机取出一球。因此,P0Y)=l/3,P他)=2/3,P()=1/2,卩他)=3/4。再由试验各步骤的独立性假定知，P(WW)=POY)P(Wj)P()P()=2/72,=P回)P()PQP他)=6/72.所以,p(刃=poyww)+

19、TOC o 1-5 h z2134126287=11F11=.727272727272721845.从0X2,9中随机地取出两个数字,求其和大于10的概率。解：假定两个数字是不放回抽取的。记A为事件“两数之和人于10”，记斗为事件“第一次取得数字i：i=9。则由全概率公式知1234456+99999993216904591P(Q二工P(A|EJP(BJ=牯i=047.装有mQ3)个白球和n个黑球的罐子中失去一球，但不知其颜色。今随机地再从罐中取出两个球。如果这两个都是白球，问失去的球是白球的概率。解：假定是不放回地抽取两个球的。记A为“失去的是一个白球SB为“抽出的两个是白球”。则m-l)(1

20、1?212mnP(B|=/7P(B|A)=P(=，P(A)=，m-1+nni-1+n)m+nm+n因此由Bayes公式知,P(A|B)=P(B|刃P(m_m-2P(B|刃P(刃+P(E|可P(可一m+n-248.在生产螺丝钉的工厂里，机器甲、乙、丙各生产总量的25%,35%,40%,并且在各自的产品里,废品各占5%,4%,2%。随机地从全部产品中任取一只，发现恰好是废品。问此废品为机器甲、乙、丙生产的概率各是多少？解：记A,B,C分别为“抽得的产品是机器甲生产的”，“是乙生产的”，“是丙生产的”。记F为“抽得的产品是废品”。由题目条件知1,P(刃=25%,玖E)=35%,P(C)=40%,P(F|Q=5%,P(F|B)=4%,P(F|C)=2%.再由Bayes公式知,P(A|F)=P(F|刃P(A)P(F|A)P(C)+P(FfB)P(B)+P(F|C)P(C)0.25x0.05=0.3623,0.25x0.05+0.35x0.04+0.40 x0.0269P(B|F)=0.4058,69P(CIF)=-=0.2319.49.一学生参加选择题的测验。每一题有5个答案，其中只有一个答案是正确的。如果此学生明白如何解题，则他必选择正确答案，否则的话他随机地在5个选项中任选1个。假定该学生能