2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率

1、2015年高校旨主招生考试数学真题分类解析专题之5、概率一、选择题。（2009年华中科技大学）从0,1,2,.,9这十个数码中不放回地随机取n（2n0,v0,w0,u+2v+w=1)且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个.求子一代的三种基因型式的比例;子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗?并说明理由.(2011年清华大学等七校联考)将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以错误！未找到引用源。表示未出现连续三次正面的概率.求错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。;探究数列错误！未找到引用源。的递推公式,并给出证明讨论数列错

2、误！未找到引用源。的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义.(2012年清华大学等七校联考)系统内有2k-l(kUN*)个元件，每个元件正常工作的概率为p(0vpv1),各个元件独立工作若系统有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.求该系统正常工作的概率错误！未找到引用源。;试讨论错误！未找到引用源。的单调性，并讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性.【解析其通项为P计鮎-：-川用芒宀=垃7一-工壬=圧圣为非雾常数.故选A.2.0【解析】因为先抽取的人不知是否抽到奖票:所以每个人能否抽到奖票的机会均等拥二选C.A【解析】分裂情况如下所示:第一次分裂后(a

3、-z逢霊S忙事件观吋心第一次分裂r-2w:第一次不能分裂；2:第一次不能分裂；记为事件E，则P；Bj=7-書霊S忖事存存=记为事件D.则P:DJ=7.当事件AriQAD:BCBriD中任何一个发生时:没有细胞存活:记两次分裂后没有细胞存活为事件E则P(E)=P(AnC)-P(AriD)-PiBriC)-P(3nD)=ix_-_XL_x_-LX：2222222：因此两次分裂后还有细胞存活的概率为1-P(E)=错误！未找到引用源。.D【解析】首先,一个正整数的3次方的个位数是1,则这个正整数的个位数也必须是1.其次可试得1100中只有71符合要求,而且末两位是71的均符合要求故选D.错误！未找到引

4、用源。.【解析】错误！未找到引用源。2错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=57x错误!未找到引用源。或错误！未找到引用源。+7x7x错误！未找到引用源。，P=错误！未找到引用源。.(1)错误！未找到引用源。.(2)6【解析】(1)任意选取2人的选法为错误！未找到引用源。,其中2人都不是来自教育界的选法为错误！未找到引用源。，因此所求概率为p=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.(2)设男候选人为x(x18)人,则女候选人为36-x人,选出两人都是男性的概率为p1=错误！未找到引用源。，选出两人都是女性的概率为p2=错误!未找到引用源。,错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。

5、=错误！未找到引用源o,.x236x+35x9=0,.*.x=21(x18),男女相差6人.7.(1)错误！未找到引用源。(2)P(Xn+1=a+k)=Pk错误！未找到引用源。+pk错误！未找到引用源。(k1).第n次白球个数的数学期望为EXn，由于白球和黑球的总个数为a+b,则将第n+1次白球个数的数学期望分为两类:第n+1次取出来的是白球，这种情况发生的概率是错误！未找到引用源。，此时白球的个数为EXn；第n+1次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是错误！未找到引用源。，此时白球的个数是EXn+1,【解析】n=l时:袋中的白球的个数可能为孔即取出的是白球)概率为丄也可能为已-11即取出的是

6、黑球概率为上:故EX=a-b当血1时:第n-1次取出来有a-Fk个白球的可能性有两种：第山尖袋中有已-k个白球:显然每次取球后:球的总数保持不变:即已故此时黑球有b-k个:第n-1次取出来的也是白球:这种情况发生的概率为pt三一=.-b第山欠袋中有a-k-1个白球:第n-l次取出来的是黑球:由于球的总数为m-b：故此时黑球的个数为b-k-l;这种情况发生的擬率为PlL-s-Jl).:,-b故?(Xq-：=a-k)=pt-pt-：-L-s-L(k1).=.-b=.-b(第详欠白球个数的数学期望为丘短：由于白球和黑球的总个数为旷b贝I将第n-l次白球个数的数学期望分为两类:第n+1次取出来的是白球

7、，这种情况发生的概率是错误！未找到引用源。，此时白球的个数为EXn；第n+1次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是错误！未找到引用源。，此时白球的个数是EXn+1,故EXn+1=错误！未找到引用源。EXn+错误！未找到引用源。(EXn+l)=错误！未找到引用源。+(1错误！未找到引用源。)(EXn+1)=错误！未找到引用源。+EXn错误！未找到引用源。+1错误！未找到引用源。=(1错误！未找到引用源。)EXn+1.(1错误！未找到引用源。(2)错误！未找到引用源。(3)错误！未找到引用源。【解析】(1)P1=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。；(2)P2=错误！未找到引用源。=错误！未

8、找到引用源。；P3=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.(1)错误！未找到引用源。(2)错误！未找到引用源。.【解析】当个位数字为0时，有9x10=90个符合题意的三位数;当个位数字为5时，有9x10=90个符合题意的三位数，故M含因子5的概率为错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.(2)当M中含有数字0,且0是重复数码时，有9个符合题意的三位数；当M中含有数字0,且0不是重复数码时，有9x错误！未找到引用源。=18个符合题意的三位数；当M中不含数字0时，有9x8x3=216个符合题意的三位数，故M中恰有两位数码相同的概率为错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.10.12个

9、人同时猜对的概率一定不大于单独一个人猜对的概率，即错误！未找到引用源。.【解析】首先将问题数学化，将红、黄、蓝、绿四种颜色分别用数字0、1、2、3代表.策略是每个人将其余11人的帽子的颜色所对应的数字求和，记为S,S除以4的余数设为d,(4-d)对应的颜色即为他所猜的颜色.例如，若12个人都戴黄帽子，每个人看到其余11个人的帽子颜色对应数字和均为11，11除以4余3，4-3=1对应黄色，全都猜对.这样的策略使得同时猜对头上帽子颜色的概率为错误！未找到引用源。.当且仅当12个人的帽子颜色所对应数字之和为4的倍数时，12个人能够同时猜对.不然，12个人会同时猜错.这12个人或者同时猜对，或者同时猜

10、错，同时猜对的概率与一个人随机猜测正确的概率相等,为错误！未找到引用源。.而多个人猜测时,由于不能由他人的帽子颜色推断出有关自己帽子颜色的信息,因此12个人同时猜对的概率一定不大于单独一个人猜对的概率,即错误！未找到引用源。.因此上述方案是最优的.ll.(l)AA,Aa,aa的比例为p2:2pq:q2.相同可知子二代的基因型式AA,Aa,aa的比例为a2：2a卩：卩2,其中a=p2+pq,B=pq+q2.由p+q=1，可得a=p,P=q.故子二代的三种基因型式AA,Aa,aa的比例为p2：2pq:q2，与子一代的三种基因型式的比例相同.【解析】(1)参与交配的两个亲本(一个称为父本，一个称为母

11、本)的基因型式的情况，及相应情况发生的概率和相应情况下子一代的基因型式为AA.Aa.aa的概率如下表：父本、母本的基因型式相应情况出现的槪率子一代皋因犁式为AA的槪率子一代皋因型式为Aa的概率子一代皋因型式为aa的枫率父AA母AAU2100父AA母憑2uv0父AA母aaUW010父&母AA2uv10父Aa母Aa11一父沁母aa01父愛母AAuw010父aa母Aa0父阳母aa001子一代的基因型式为AA的概率为p1=u2x1+2uvx错误！未找到引用源。+2uvx错误！未找到引用源。+4v2x错误！未找到引用源。=(u+v)2.由对称性知子一代的基因型式为aa的概率为p3=(v+w)2.子一代的

12、基因型式为Aa的概率为p2=2uvx错误！未找到引用源。+uwxl+2uvx错误！未找到引用源。+4v2x错误！未找到引用源。+2vwx错误！未找到引用源。+uwx1+2vwx错误！未找到引用源。=2(uv+uw+v2+vw)=2(u+v)(v+w).若记p=u+v,q=v+w，则p0,q0,p+q=1,子一代的三种基因型式AA,Aa,aa的比例为p2：2pq:q2.由(1)可知子二代的基因型式AA,Aa,aa的比例为a2：2a卩：卩2,其中a=F:-pq：IBq-rq2.由p-q=1：可得口=p：|3=q.故子二代的三种基因型式AA丹陶的比例为p：2pq：疋与子一代的三种基因型式的比例相同.

13、12.(1)兰(2)如果第n次出现反面:那么前!1次不出现连续三次正面和前n-1次不出现连续三次正面是相同的:所以这个时候不出现连续三次正面的擬率是叶.，1)如果第n次出现正面:第n-1次出现反面:那么前n；尖不出现连续三次正面和前n-次不出现连续三次正面是相同的:所以这个时候不出现连续三次正面的概率是二gJ如果第n次出现正面:第n-1次出现正面:第n-2次出现反面:那么前n次不出现连续三次正面和前n-S次不出现连续三次正面是相同的:所以.这个时候不出现连续三次正面的概率是尹pz综上4=仝应_仝险丈曲4,24Sp-=p-=lp:=-.从而P1-:=1-xP(,n5)7242错误！未找到引用源。

14、x有pn=pn-1错误！未找到引用源。pn-4(n5).(3)n4时,pn单调递减又p1=p2p3p4,-n2时，数列pn单调递减，且有下界0.pn的极限存在记为a,对pn=pn-1错误！未找到引用源。pn-4两边同时取极限可得a=a错误！未找到引用源。a,a=0,故错误！未找到引用源。pn=0.其概率意义:当投掷的次数足够多时,不出现连续三次正面的概率非常小.【解析】显然p=p2=l,p3=l错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。；又投掷四次出现连续三次正面的情况只有:正正正正或正正正反或反正正正，故p4=1错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.(2)共分三种情况:1)如果第n次出

15、现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n-1次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是错误！未找到引用源。2)如果第n次出现正面，第n-1次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n-2次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是错误！未找到引用源。叫-23如果第n次出现正面:第n-1次出现正面:第n-2次出现反面:那么前n次不出现连续三次正面和前n-S次不出现连续三次正面是相同的:所以.这个时候不出现连续三次正面的概率是综上4=二伽-：-阻-：-比-或陀4、242p-=p-=l;p:=-242_J:有p?=pr.-:_p；-.-n5).2

16、二E3左4时搔pt单调递减又p:=p:p；p.n2时:数列阻单调递减:且有下界0-的极限存在记为1对W=Pi_两边同时取极限可得a=a_二日卫司：故.“pr=0.辽:其概率意义:当投掷的次数足够多时:不出现连续三次正面的概率非常小一:pV-p)2-.1=k2)当P*时増加两个元件不改变系统的可室性;当口中工二时JV.卫二函数玉单调递减:增加两个元件时，系统可靠性降低;当p错误！未找到引用源。时,Pk+1Pk，函数Pk单调递增,增加两个元件时,系统可靠性提高.【解析】当系统有2k-l(kUN*)个元件时，恰有k个元件正常工作的概率为错误！未找到引用源。pk(1-p)k-恰有k+1个元件正常工作的概率为错误！未找到引用源。宦+1(1-卩片2,.,恰有2k-1个元件正常工作的概率为错误！未找到引用源。p2k-1(1-p)0,Pk=错误！未找到引用源。宦(1-p)k*错误！未找到引用源。pk+i(1-p)k-2+.+错误！未找到引用源。p2k-1(1-p)0=2k-LnV1pFAITI.CL-.当有2k-l个元件时:若前2k-l个元件中有k-1个正常工作:则它的概率Ck-pl-p：厶eC此时后两个元件必须都正常工作:它的枫率为匚土一若前比-1个元件中有k个x.K-正常工作:则它的枫率为匚Q