1工程试验设计讲稿第一章试验数据的误差分析OK

1、第一章试验数据的误差分析（讲稿） 第一章试验数据的误差分析（讲稿） 第一章试验数据的误差分析通过实验测量所得大批数据是实验的主要成果，但在实验中，由于测量仪表 和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，所以在整理这些数据时， 首先应对实验数据的可靠性进行客观的评定。误差分析的目的就是评定实验数据的精确性，通过误差分析，认清误差的 来源及其影响，并设法消除或减小误差，提高实验的精确性。对实验误差进行 分析和估算，在评判实验结果和设计方案方面具有重要的意义。第一节真值与平均值1 真值(true value)真值是指在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值。真值一般是未知的，而从相对意义上

2、来说，真值又是已知的。例如，平面 三角形三内角之和恒为180同一非零值自身之差为0，自身之比为1。2平均值（mean）科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差 分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统 误差情况下，可能获得极近于真值的数值。故真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的公认值”。然而，对于工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求 出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。一般我们称该最佳值为平均值。在科学试验中，虽然误差无可避免，但是平均值可以综合反映试验值在一 定条件下的一般水平

3、。所以，在科学试验中，经常将多次试验值的平均值作为 真值的近似值。平均值的种类有很多，常用的平均值有以下几种。2.1 算术平均值（arithmetic mean）设X1、X2、Xn代表各次的测量值，n代表测量次数，则算术平均值为 TOC o 1-5 h z n,十.送Xi二 X,+X2 十Xn 7(1-1)X =nn算术平均值是最常用的一种平均值。凡测量值的分布服从正态分布时，用 最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最 可信赖值。2.2 加权平均值(weighted mear)设某组试验数据采用不同方法去测定， 或由不同人员测定，则这组数据中不 同值的精度或可靠性

4、不一致。为了突出可靠性高的数据，计算平均值时常采用 加权平均值。n送WX W1X1 + W2X2 + WnX n匸XW =式中,X1、X2 Xn各次观测值;(1-2)WnW W2 + +W1、W-Wn 各测量值的对应权重。注意：权重不是任意给定的，除了根据经验之外，还应按照如下方法确定权重：（1）当试验次数很多时，可以将权重理解为试验值Xi在总数据中出现的频 率 ni/n；（2）如果试验值是在同一条件下获得的，但是来源于不同的组，这时加权平均值的计算公式中的x代表各组的平均值，而 Wi代表每组试验次数，如例题 1-1.若认为各组试验值的可靠度与其出现的次数成正比，则加权平均值即为总算术平均值。

5、1-2所示。（3）根据权重与绝对误差的平方成反比来确定权重，如例题例题1-1实验室中称量某样品，不同的人得到 4组称量结果，如表1-1所示。 如果认为各测量结果得可靠度仅与测量次数成正比，试求其加权平均值。表1-1例题1-1数据表组序测量值加权平均值1100.357，100.343，100.351100.3502100.360，100.348100.3543100.350，100.344，100.336，100.340，100.345100.3434100.339，100.350，100.340100.343解：由于各测量结果得可靠度仅与测量次数成正比，故每组试验平均值的 权重即为对应的试验次

6、数。即 W1=3，W2=2，W3=5，W4=3。则加权平均值为:一 W1Xi + W2X2 + W3X3 + W4X4Xw =Wi + W2 + W3 + W4100.350 3+100.354 ”2 +100.343 5+100.343 3=100.3463+2+5+3例题1-2在测定溶液 PH值时，得到两组试验数据，其平均值分别为:X, =8.5 0.1;；2 =8.53 0.02，试求它们的平均值。解：根据两组数据的绝对误差计算权重：1 1w1 = =100， W2 = = 2500，即0.120.022W1： W2=1: 25第一章试验数据的误差分析（讲稿） 第一章试验数据的误差分析(

7、讲稿) 1+25所以，PH = w必+ w2X2= 85上8空空=8.53 w, +W2对数平均值(logarithmic mean)如果试验数据的分布曲线具有对数特性，可使用对数平均值。 设有两个正数X1和X2,则其对数平均值为X L =in 人-ln X2.X1in X2X X2X X2 X X1 ( 1-3)X2in丄X1几何平均值(geometric mean设n个都为正数的试验值XI、X2、Xn,其几何平均值为1/n设有n个试验数据Xi、X2、Xn，则其调和平均值为H =11丄+丄+X,X2+丄Xn亠(1-6)送Xii=l11+ +1 _ X1X2Hn十丄Xnn 1Z -旦互(1-7

8、)nXG 斗/Xi X2 XsXn =(XX2Xn)n ( 1-4)对上式两边同时取对数，得n_ 送 igxilgXG= (1-5)n可见，当一组试验数据取对数后得到数据的分布曲线更加对称时，宜采用 几何平均值。一组试验数据的几何平均值常小于其算术平均值。5调和平均值(harmonic mean)总之，不同的平均值都有不同的应用场合，至于选择哪种平均值，主要取 决于试验数据本身的特点，如分布类型、可靠度等。第二节误差的基本概念误差是实验测量值（包括间接测量值）与真值（客观存在的准确值）的差 别。注意误差与偏差的区别：偏差是指实验测量值与平均值之差。1 绝对误差（absolute error）通

9、常所属的误差即为绝对误差。绝对误差是试验值与真值之间的差值，即x=x-xt （ 1-8）式中，x绝对误差；x试验值；xt真值。绝对误差反映了试验值偏离真值的大小，其大小可正可负，所以有由此可得X|纲兰 Xt 兰 x+lx （1-11）一般，真值是未知的，故无法准确计算绝对误差，但是可估计其大小。设max绝对误差的最大值为Axmax（或称为试验值x的绝对误差上界），则有XXt 兰纲max （ 1-12）由式（1-12），可得x-xmax 人 X+AXmax（ 1-13）在试验中，如果对某物力量只进行一次测量，常常依据测量仪器上注明的 精度等级，或仪器最小刻度作为单词测量误差的计算依据。一般可取最

10、小刻度 值作为最大绝对误差，而取其最小刻度的一半作为绝对误差的计算值。例如， 某压力表注明的精度为1.5级，则表明该压力表的绝对误差为最大量程的1.5%;若最大量程为0.4MPa，则该压力表的绝对误差为 0.4X1.5%=0.006Mpa。2 相对误差（relative error）虽然在一定条件下绝对误差能反映试验值的准确程度， 但是不全面。例如, 两城市之间的距离为200450m,若测量的绝对误差为2m,则准确度很高。但是 2m的绝对误差对于人的身高而言是不允许的。 所以，为了判断试验值的准确性， 还必须考虑试验值本身的大小。绝对误差与真值之比称为相对误差(relative error),

11、即Er =兰（ 1-14）XtXt与绝对误差相同，相对误差Er也不能准确求出，但可估计其大小，即ErAx n送 X2 （送 X）2 =Y 严（1-18）在实际科学实验中，试验次数都是有限的，于是标准误差又称为样本标准 差，即卩Is (x 寸(Z Xi2丄( Xi)2 “匕亠一(1-19) n_11n_l标准差不但与一组数据中每一个数据有关，而且对其中较大或较小的误差 很敏感，能明显反映出较大的个别误差。它常用于表示试验值的精密度，标准差越小，说明试验数据精度越高。第三节误差的分类根据其性质或产生的原因，误差可分为随机误差(ran dom/cha nee error)、 系统误差(systema

12、tic erro)和过失误差(mistake error)1随机误差随机误差是指在一定试验条件下，以不可预知的规律变化的误差，即多次 试验值的绝对误差时正时负，绝对误差的绝对值时大时小。随机误差的出现一般具有统计规律，大多服从正态分布，即绝对值小的误 差比绝对值大的误差出现的机会多，而且绝对值相等的正、负误差出现的次数 近似相等。因此，当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零。所以可通过 增加试验次数减小随机误差。随机误差是由于试验过程中的一系列偶然因素造成的， 如仪器的轻微振动、 电压的微小波动等。这些因素无法严格控制，因此随机误差不可完全避免。2系统误差系统误差是指在一定试验条件下，由某些

13、因素按照某一确定规律起作用而 形成的误差。系统误差的大小和符号在同一试验中是恒定的，或在试验条件改变时按照 某一规律变化。一旦试验条件确定，客观上系统误差就是一个恒定值，它不能 通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值得平均值而减小。产生系统误差的原因有：1)仪器刻度不准，砝码未经校正等；2)试剂不纯, 质量不符合要求；3)周围环境的改变如外界温度、压力、湿度的变化等；4)个人的习惯与偏向如读取数据常偏高或偏低，记录某一信号的时间总是滞后， 判定滴定终点的颜色程度各人不同等等因素所引起的误差。可以用准确度一词 来表征系统误差的大小，系统误差越小，准确度越高，反之亦然。3过失误差又称粗大误差，

14、与实际明显不符的误差，主要是由于实验人员粗心大意所致， 如读错，测错，记错等都会带来过失误差。含有粗大误差的测量值称为坏值， 应在整理数据时依据常用的准则加以剔除。综上所述，我们可以认为系统误差和过失误差总是可以设法避免的，而偶然 误差是不可避免的，因此最好的实验结果应该只含有偶然误差。第四节 试验数据的精度误差的大小可反映试验结果的好坏，但其可能是由于随机误差或系统误差 单独造成的，也可能是两种误差叠加造成的。为了说明这一问题，引入了精密 度、正确度和准确度三个术语。1 精密度(Precision)1.1定义精密度反映了随机误差大小的程度，是指在一定试验条件下，多次试验值 的彼此符合程度或一

15、致程度。精密度与重复试验时单次试验值的变动性有关，如果试验数据分散程度较 小，则说明精密度较高。例如，甲乙两人对同一个量进行测量，得到两组试验数据：甲为1.45、1.46、 1.45、1.44,乙为1.39、1.45、1.48、1.50。显然，甲数据的彼此符合程度要高于 乙，因此甲数据的精密度较高。1.2精密度的判断参数（1）极差（range）极差是指一组试验值中最大值与最小值的差值。即R = Xmax xmin(1-20)虽然极差反映随机误差的精度不高，但是因为计算方便，所以应用广泛。（2）标准差若随机误差服从正态分布，则可用标准差来反映随机误差的大小。标准差 分别用公式（1-18）和（1-

16、19）来计算。由公式可知，标准差的大小反映了实验数据的分散程度，C或s越小，则数据的分散性越低，精密度越高，随机误差越小，正态分布曲线也越尖。（3）方差（varianee）方差即为标准差的平方，可用总体方差2或样本方差s2表示。2 正确度（truenesS2.1正确度定义正确度是指大量测试结果的（算术）平均值与真值或参照值之间的一致程 度。它反映了系统误差的大小，是指在一定试验条件下，所有系统误差的综合。第一章试验数据的误差分析（讲稿） 第一章试验数据的误差分析（讲稿） 2.2正确度与精密度的关系由于随机误差和系统误差是两种不同性质的误差，因此对于某一组试验数 据而言，精密度高并不意味着正确度

17、也高；精密度不好，经过多次试验，也可 得到较好的正确度。如图1-1所示。3 准确度（accuracy）准确度反映了系统误差和随机误差的综合，表示试验结果与真值或标准值 的一致程度。A、B、C的正如图1-2所示，假设A、B、C三个试验都无系统误差，试验数据服从正态 分布，而且对应着同一个真值，则 A、B、C的精密度依次降低；由于无系统误 差，三组数据的极限平均值（试验次数无穷多时的算术平均值）均接近真值， 即它们的正确度是一样的；如果将精密度和正确度综合起来，则 确度依次降低。如图1-3所示，假设A、B、C三个试验都有系统误差，试验数据服从正 态分布，而且对应着同一个真值，则 A、B、C的精密度

18、依次降低；由于有系 统误差，三组试验数据的极限平均值与真值不符，所以它们是不准确的。但是， 如果考虑精密度因素，则图1-3中A的大部分试验值可能比图1-2中的B和C 的试验值要准确。第五节误差的统计检验1随机误差的检验随机误差的大小可通过精密度来反映， 精密度的好坏又可通过方差来衡量, 所以，通过方差检验可判断各试验方法或试验结果的随机误差之间的关系。1.1检验厂检验（卡方检验）适用于一个总体方差的检验，即在试验数据的总体方 差已知的情况下，对试验数据的随机误差或精密度进行检验。有一组试验数据X1、X2、 、Xn服从正态分布，则统计量(a=0.01 或服从自由度为df =n1的72分布，对于给

19、定的显著性水平0.05）,由厂分布表查得临界值/（df），将计算出的 厂与/2（df）进行比较，就 可判断两平方差之间有无显著差异。双侧（尾）检验时，若，可判断该组数据的方差与原总体0号）2方差无显著差异；反之，则有显著差异。单侧（尾）检验时，若/,（df），/2 df，则可判断该组数据的方差与原总体方差无显著增大，0詈）反之则有显著增大，此为右侧（尾）检验。如图1-4为双侧检验和单侧检验的关系。例题1-5用某分光光度计测定某样品中 AI3+的浓度，正常情况下的测定方差为壬0.152。分光光度计检修后，用它测定同样的样品，测得AI3+的浓度分别为:0.142，0.156, 0.145, 0.1

20、76, 0.159, 0.165。试问仪器检修后的稳定性是否有了显著变化？ （ a= 0.05）解：这里的 稳定性”实际反映的是随机误差的大小，检修后试验结果的样本方差比正常情况下的方差显著变大或变小，都认为仪器稳定性有了显著变化， 可用72双侧检验。根据已知条件，s2=0.000135220.1522=(2 =(7-I!00135 =0.036c由n=7, df=6, a=0.05,查表得/雋厶=1.237，/爲厶=14.449，可见/2 落在（1.237, 14.449）区域之外，所以仪器检修后稳定性有显著变化。1.2 F检验X1n和X21、X22、X2m，其都服从正态分布,F检验（F-t

21、est）适用于两组具有正态分布的试验数据之间的精密度的比较。 设有两组数据：X11、X12、样本方差分别为S12和S22，则2=S (1-28)S2服从第一自由度df1 = n-1,第二自由度df2 =m-1的F分布（F-distribution）（附表2）,对于给定的显著性水平，将所计算的F值与临界值F（df1, df2）比较，即可检验结论。双侧检验时，若F ot（df1,df2Fx（df1，df2），则判断该组数据的方差与（ T-）22原总体方差无显著差异，否则有显著差异。单侧检验时，若FV1，且F F（iq（dfi，df2），贝U判断方差1比方差2无显著减小，否则有显著减小，此为左侧检验

22、；若F1，且F c Fa（dfi，df2），则判断方差1比方差2无显著增大，否则有显著增大，此为右侧检验。例题1-7用原子吸收光谱法（新法）和 EDTA （旧法）测定某废水中AI3+的含 量（%），测定结果如下：新法：0.163、0.175、0.159、0.168、0.169、0.161、0.166、0.179、0.174、 0.173;旧法：0.153、0.181、0.165、0.155、0.156、0.161、0.176、0.174、0.164、0.183、0.179。试问：两种方法的精密度是否有显著差异？新法是否比旧法的精 密度有显著提高？ （=05）解：依据题意，采用F双侧检验。根据试

23、验值计算两种方法的方差及F值:S12=3.86 X05，S22=1.11 W4F 4=3=0.348 s|1.11X104根据显著性水平 =0.05，dfi = n-1=10-1=9，df2 =m-1 =11-1 = 10，查F 分布表得爭(df1,df2)= F0.975(9,10)=0.252 ,甩供? ) = F0.25(9,10) = 3.779。因为Fo.975（9,1O2）Fo.95（9,1O），所以新法相对旧法的精密度没有显著提高。2系统误差的检验我们知道，相同条件下的重复试验并不能发现系统误差。试验结果有无系 统误差，必须进行检验，以便及时减小或消除系统误差，提高试验的正确度。

24、若试验数据的平均值与真值的差异较大，就认为试验数据的正确度不高， 试验数据和试验方法的系统误差较大，所以对试验数据的平均值进行检验，实 际上就是对系统误差的检验。2.1 t检验法 2.1.1平均值与给定值比较设一组试验数据服从正态分布，要检验其是否与给定值有显著差异，则检验统计量服从自由度df=n-1的t分布（t-distribution）（附录3），式中，x 试验数据的算术平均值;sn（ n30）个试验数据的样本标准差；e给定值（可以为真值、期望值或标准值）根据给定的显著性水平a,将计算得到的t值与临界值to比较，即可得到检 验结论。双侧检验时，若t 切2，则判断该组数据的平均值与给定值无显

25、著差异,否则有显著差异。单侧检验时，若t0,且tvtu，则判断该组数据的平均值与给定值无显著增大，否则有显著增大，此为右侧检验。例题1-8为了判断某种新型快速水分测定仪的可靠性，测试了某湿基含水率为7.5%的标准样品，5次测量结果（）分别为：7.6、7.8、8.5、8.3、8.7。对于给定的显著性水平a=0.05,试检验：该仪器的测量结果是否存在显著的系统误 差？该仪器的测量结果较标准值是否明显偏大？解：第一问题属于双侧检验，第二问题属于单侧检验。依据题意，X =8.2 , s=0.47,则，注亦=伫空朋=3.3S0.47根据显著性水平a=0.05, df=5-1=4,由t分布单侧分位数表得t

26、o.o25（4）=2.776, to.o5 =2.132。因为t t0.05（4）=2.132，所以测量结果有显著的系统误差因为t t0.025（4）=2.776,所以新仪器的测量结果较标准值有明显偏大。2.1.2两个平均值的比较设有两组数据：X11、X12、X1n和X21、X22、X2m，其都服从正态分布， 其方差分别为S12和S22。根据两组数据的方差是否存在显著差异，分别以下面 两种情况进行分析。（1）两组数据的方差无显著差异统计量服从自由度df=n+m-2的t分布，t=4严(1-30)S V n + m式中，S两组数据的合并标准差,sVWmh(1-31)（2）两组数据的方差有显著差异统

27、计量服从自由度为df的t分布,t_ X1 -X22宜+鱼Y n m22(宜+鱼)2nm(1-32)df =（S2/n）2 亠（s；/m）n+1m + 1根据给定的显著性水平a,将计算得到的t值与临界值t比较。双侧检验时，若|t|tg，可判断两平均值无显著差异；反之则有显著差异。22 (1-33)左侧检验时，若t0，且t 0,且tvta，判断Xi较X2无显著增大；反之有显著增大。例题1-9用烘箱法和一种快速水分测定仪测定某样品的含水量，测量结果（%）如下：烘箱法：12.2，14.7，18.3，14.6，18.6快速水分测定仪：17.3，17.9，16.3, 17.4，17.6, 16.9，17.

28、3对于给定的显著性水平a=0.05,试问这两种方法是否存在系统误差？解：首先判断两组数据的方差是否存在显著差异。根据计算 Q Q人=15.7 , si=7.41 ； X2 =17.2 , 82 =0.266。故卩?益=27.8根据自由度 df1=5-1=4, df2=7-1=6,=0.05,查 F 分布表得 甘 ）=4.533F, 故两平均值之间存在显著差异。进行t检验X X22m2 2(2)2n mdf 2222(S2/n)2 十(sf/m)2n+1m+1(7.41/5 + 0.266/7)2.E 242 _ (7.41/5)2 十(0.266/7)5+17 + 1查t分布表的t0.025=

29、2.776,故t to.o25（4），即两平均值之间无显著差异。所以两种测定方法不存在系统误差。2.1.3成对数据的比较在这种检验中，实验数据都是成对出现的，除了被比较的因素之外，其它 条件相同。成对数据的比较，是将成对数据之差的总体平均值，与某指定值进行比较。 采用统计量为t=宁妬（1-34）式中，do可取零或给定值;d 成对测定值之差的算术平均值，即nn_ S (Xi X) z did=(1-35)nnSd是n对试验值之差值的样本标准差，即nI n彳 n(di -d)2Z di2丄任 di)2Sd (1-36)t nH n1上述t服从自由度为df=n-1的t分布。对于给定的显著性水平0（,

30、如果twQ 则成对数据之间不存在显著的系统误差；否则，两组数据之间存在显著地系统 误差。需要指出的是，成对试验的自由度为n-1时，而分组试验时的自由度为n1+n2-1,后者自由度较大，所以统计检验的灵敏度较高。一般地，当所研究因 素的效应比其它因素的效应大得多时，或其它因素可严格控制时，采用分组试 验法比较合适；否则，可采用成对试验法。例题1-10用两种方法测定某水剂型铝粉膏的发气率，测得4分钟发气率（%）的数据如下：方法 1： 44, 45, 50, 55, 48, 49, 53, 42方法 2： 48, 51, 53, 57, 56, 41, 47, 50 试冋两种方法之间是否存在系统误差

31、（ct=0.05）?-2，-8, 8, 6, -8,故解：按成对数据进行检验，则di分别为-4, -6, -3,d =2.125，Sd =6.058。若两种方法之间无系统误差，则可设do=o,故，匕乔屈一 0.992sd6.058to.o25(7)=2.365,所以,当df=8-1=7时，对于给定的a=0.05,查t分布表得 t t空。2故两种方法的正确度是一样的。2.2秩和检验法（Rank sum tes）但在实际工作中,前面介绍的检验方法往往要求试验数据具有正态分布，有时对试验数据的统计分布并不清楚。而秩和检验法对试验数据是否来自正态 总体并不作严格的规定，并且计算简单，即可用于定量指标的

32、检验，也可用于 定性指标的检验。如用来检验两组数据或两种试验方法之间是否存在系统误差、 第一章试验数据的误差分析(讲稿) 第一章试验数据的误差分析(讲稿) 两种方法是否等效等。设有两组数据：X1、X2、Xn1和X1、X2、Xn2，其中n1和门2 分别是两组数据的个数，且n1 T2或R1VT1，则认为两组数据有显著差异， 否则无显著差异。例题1-11设甲、乙两组测定值为：甲：8.6，10.0, 9.9, 8.8, 9.1, 9.1;乙：8.7, 8.4, 9.2, 8.9, 7.4, 8.0, 7.3, 8.1, 6.8。已知甲组数据无系统误差，试用秩和 检验法检验乙组数据是否有系统误差(a=0

33、.05)。解：先求出各数据的秩，如表1-2所示。表1-2例题1-11两组数据的秩对于a=0.05,查秩和临界值表，得 Ti=33, T2=63。故RiT2，所以两组数据有显著差异，乙组测定值有系统误差。注意：进行秩和检验时，如果几个数据相等，则它们的秩也应该相等，等 于相应几个秩的算术平均值。如两个 9.1的秩都是11.5。3异常值的检验在整理试验数据时，往往会遇到这样的情况，即在一组试验数据里，发现 少数几个偏差特别大的可疑数据，这类数据又称为离群值(outlier )或异常值(exceptional data，它们往往是由于过失误差引起的。对于偏差大的异常数据的取舍一定要慎重，一般处理原则

34、为：在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，分析原因，及时纠正(1)试验结束后，在分析试验结果时，若发现异常数据，应先找出产生误 并对其进行取舍。错误；(2)差的原因，(3)在分析试验结果时，如果不清楚产生异常值的确切原因，则应对数据 进行统计处理。常用统计方法有：拉伊达检验法、格拉布斯检验法、狄克逊检 验法等。如果数据较少，可重做一组数据。下面介绍三种可疑数据的统计方法。3.1拉伊达检验法如果可疑数据Xp与试验数据的算术平均值x的偏差的绝对值dp大于三倍或两倍的标准偏差，即dp=Xp - 3s或2s (1-37)则应将Xp从中剔除。至于选择3s还是2s与显著性水平有关。3s相当于显著性水平

35、a=0.01, 3s 相当于显著性水平a=0.05。例题 1-12 有一组试验数据：0.128, 0.129, 0.131, 0.133, 0.135, 0.138, 0.141, 0.142，0.145, 0.148, 0.167,问偏差较大的 0.167是否应被舍去？ ( a =0.01)解：(1)计算包括可疑数据0.167在内的平均值X及标准偏差sX =0.140, s=0.0112计算dp和3sdp=Xp -X =0.167-0.140 =0.02738=3X).0112=0.0336比较dp和3sdp G(a,n)s (1-38)应将Xp从试验数据中剔除。其中，G(a,n)S称为格拉

36、布斯检验临界值，如附录 5所示。例题1-13用容量法测定某样品中的锰，8次平行测定数据为：10.29、10.33、10.3 8、10.40、10.43、10.46、10.52、10.82，试问是否有异常数据应被剔除？ (0=0.05)解：该组数据的算术平均值为X =10.45，其中10.82偏大，故应首先检验该数值。检验 10.82计算包括可疑数据10.82在内的平均值X及标准偏差sX =10.45, s=0.16;查附录 5,得 G(0.05,8)=2.03,所以 G(a,n)s=2.03 .16=0.32dp=Xp -X= 10.82-10.網=0.37 0.32所以，10.82应被剔除。

37、(2)检验 10.45剔除10.82后，10.52偏差最大，故应检验之。重新计算平均值X及标准偏差sX =10.40，s=0.078;查附录 5,得 G(0.05,7)=1.94,所以 G(a,n)s=1.94 .078=0.15dp=Xp -X =10.52-10.40= 0.12*0.15故10.52不应被剔除。3.3狄克逊检验法3.3.1单侧情况基本步骤如下：将n个试验数据从小到大的顺序排列，得到X1 % Xn-1D1-a(n)，判断Xn为异常值；检验低端值时，当 DD1-o(n)，判断X1为异常值；否则，判断没有异常值。3.3.2双侧情况根据表1-3，计算D或D。对于给定的显著性水平

38、S在狄克逊检验法双侧临界值表(附录 6) 中查出对应的n和a的双侧临界值D1(n)。(3)当 DD，DD1p(n)，判断 Xn 为异常值；当 DD，D Dj.n)，判 第一章试验数据的误差分析（讲稿） 第一章试验数据的误差分析（讲稿） 断X1为异常值；否则，判断没有异常值。例题1-14试验数据与例题1-12相同，试用狄克逊检验法判断 0.167是否被剔 除？（ a=0.05）解：n=11，从小到大的顺序分别为：0.141、0.142、0.145、0.148、0.167。0.1670.128、0.129、0.131、0.133、根据题意，0.135、0.138、（1）单侧检验D = x=0.16

39、7 _0.1：9 =0.579 D（1 如11）=0.576所以判断0.167应被剔除。（2）双侧检验0.167X3 Xid=0.579。二二13150查附录6的双侧临界值表，得D1-0.05（11） =0.619因为DD, DvD1.a（n），故判断0.167应保留。由例题1-14可知，应用不同的检验方法检验同样的数据时，对于相同的显 著性水平，可能的得到不同的结论。这种情况往往出现在那些处于临界剔除的 数据的检验中。4注意事项使用上述三种检验方法时，应注意以下几点：（1）单侧检验时，可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据。这是因 为不同数据的可疑程度是不一致的，应按照 X偏差的大小顺序来

40、检验。首先检 验偏差最大的数据，如果该数据不被剔除，则其它所有数据也不应被剔除。（2）单侧检验时，剔除一个数据后，如果还要检验下一个数据，则应注意 数据总数发生了变化。（3）用不同的方法检验同一组数据，在相同的显著性水平上，可能得到的 结论不一样。5三种检验方法的应用当试验数据较多时，使用拉伊达检验法最简单；但当试验数据较少时，不 能应用；格拉布斯检验法和狄克逊检验法都能适用于实验数据较少时的检验。但是 总的来数，试验数据越多，可疑数据被错误剔除的可能性越小，准确性越高。第六节有效数字和试验结果的表示1有效数字用实验仪器直接测量的数值都会有一定误差，因此，测量的数据都只是近 似数，由这些数据通

41、过计算所得的间接测量也是近似数。显然，几个近似数的 运算不可能使结果更为准确，而只会增大其误差，因此，近似数的表示和计算 都有一定规则，以便确切地表示记录和运算结果的近似性。能够代表一定物理量的数字称为有效数字（sig ni fica nee figure）。把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字 叫做存疑数字。把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效 数字。试验数据总是以一定位数的数字来表示，这些数字都是有效数字，其末位 数往往是估计出来的，具有一定的误差。比如，用天平测得某样品的质量是 1.5687g,共有4位有效数字，其中1.568g是通

42、过所加砝码标值直接读得的，她 们都是准确的，称为可靠数字；最后一位数字“7”是估计出来的，是存疑数字。有效数字的位数可反映试验的精度或表示所用试验仪器的精度，所以不能 随便多写或少写。多写一位有效数字，则该数据不真实，因而也不可靠；少写 一位有效数字，则损失了试验精度，实质上是对该数据所用高精度仪器的浪费。数据中小数点的位置不影响有效数字的位数。例如，50mm、0.050m、5.0X10Vm，这三位数据的准确度都是相同的，它们的有效数字都是 2位。所以 常用科学计数法表示较大或较小的数据，而不影响其有效数字的位数。数字“0”是否是有效数字，取决于它在数据中的位置。一般，第一个非0数前的数字都不是有效数字，而第一个非0数后的数字都是有效数字。例如，数据29mm和29.00mm并不等价，前者有效数字是2位，后者有效数字是4位。 又如，如某物重0.802000千克，第一个零不是有效数字，同数中后面四个“0”都是有效数字。在计算有效数字位数时，如果第一位数字等于或大于8，则可多计一位。例如，9.99实际只有3位有效数字，但可认为其有4位有效数字。2有效数字的运算（1）加减运算在加减运算中，加减结果的位数应与其中小数点后位数最少的相同。例如，25.42+31.454+16.5,计算方法如下：25.