2009机械振动习题集(同济大学)

1、机械振动习题集同济大学机械设计研究所2009.21.23.4.5.6.7.8.9.1.93.4.5.6.7.8.9.1-1概念机械振动系统由哪几部分组成？其典型元件有哪些？构造振动系统力学模型的元件，其典型元件有惯性元件、弹性元件、阻尼元件机械振动研究哪三类基本问题？振动分析：已知激励和系统求响应；系统识别：已知激励和响应求系统；我荷识别或环境预测：已知系统和响应求激励。对机械振动进行分析的一般步骤是什么？第一步：把工程实际问题简化为振动分析的力学模型；第二部：根据力学模型，运用力学原理导出数学模型（即系统的运动微分方程）；第三步：求解系统微分方程，得到系统响应；第四步：对求解的结呆进行讨论分

2、析，从中获得解决工程实际问题的有用信息；第五步：实验验证上述理论分析结果。在振动分析中，什么叫力学模型，什么叫数学模型？力学模型：对实际问题的近似，使用简化的、理想的元件和输入、输出元素构造的假象模型；数学模型：在力学模型的基础上建立的能够完全确定系统运动规律的数学方程式。惯性元件、弹性元件、阻尼元件的基本特性各是什么？惯性元件的基本特性：在运动时将产生与加速度呈线性关系的惯性力（矩）：弹性元件的基本特性：在变形时将产生与变形相关、抵抗变形的弹性恢复力（矩）：阻尼元件的基本特性：在变形时将产生与变形速度相关、阻碍变性变化的阻尼力（矩）。什么叫离散元件或集中参数元件？只考虑惯性、弹性、阻尼中一种

3、因素的元件。什么叫连续体或分布参数元件？同时考虑物理构件惯性、弹性和阻尼作用的模型元件。建立机械振动系统力学模型的基本原则有哪些？1、等效性；2、简易性；3、逐步逼近。建立机械振动系统力学模型需要考虑的基本问题？并分析建立下图中的系统的力学模型。一台机器（看为一个整体）平置于一块板上，板通过两个垂直的支撑块放置在地面上，试建立其力学模型。建立机械振动系统力学模型需要考虑的基本问题：预测振动的基本形态，了解分析的目的和要求;振动时构件的主要变形；储存振动动能的主要惯性；振动的主要激励：振动的主要阻尼：如果一个振动系统是线性的，它必须满足什么条件？构造系统的惯性元件、弹性元件、阻尼元件、以及连接元

4、件都是线性元件如呆一个振动系统的运动微分方程是常系数的，它必须满足什么条件？构造系统的惯性元件、弹性元件、阻尼元件、以及连接元件的参数都是固定的试讨论：若从车内乘客的舒适度考虑，该如何建立小轿车的振动模型？1-2简谐运动及其运算1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅x=2sin(af+?)(2)x=4cos(10fit+)(3)x=3cos(2t+45)答案：(1)Xs=侖_1丿,乙+=*，Xb_=+兀=2运+2妬七=返+血,皿=返-如Y_3&3&.“_3&3血.“_3&3&.(,)=+=2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和，并用“振动计算实用工具対(2)(3)进行校核(1)X=2s

5、in(dt+亍)Inx2=3sin(at+)(2)X=5sinl0Mx2=4cos(10M+f)(3)X=4sin(2加+30。)x2=5sin(2f+60)x3=3cos(2加+45)x4=7cos(2加+38)x5=2cos(2加+72)答案:x12=4.359cos(at+6.6)x13=3.566cos(10M-47.52)x12345=14.776cos(2+9.22)3试计算题1中x(t)的一阶导数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程4设x(0、/(f)为同频简谐函数，并且满足ax+bx+cx=f(t).试计算下列问题已知。=1.50=6,(?=25用()=108111(1

6、2加+370),求/(F)已知=30=7工=30,/()=25山1(7加+64),求X。)答案：f(t85190.82cos(l27it+126.45)x(t)=0.018sm(77it-109.81)5简述同向同频简谐振动在不同幅值下合成的特点6简述同向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下合成的特点如果频率比值为无理数，则没有共同周期，叠加后为非周期振动。如果频率比值为有理数，叠加后的振动周期为他们周期的最小公共周期，如果比值接近1,将出现“拍”现象，如果相差较大，出现“调制”现象。在“拍”和“调制”的情况下，幅值相差很人时，合成图形依然趋于止弦图形。7简述垂直方向同频简谐振动在不同幅值下合成

7、的特点答：垂直方向同频简谐振动在1.同相时：不同幅值下为一条直线，直线的斜率等于y方向上振动的幅值比x方向上振动的幅值。H.不同相时：为一椭圆，椭圆形状随相位和幅值的变化而变化。8简述垂直方向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下合成的特点？答：垂直方向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下的合成运动，一般是复杂的运动，轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。但是，当两个互相垂直的振动频率成整数比时，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。9利用“振动计算实用工具”，通过输入具体参数，观察1-5题到1-8题振动合成的图形及其特点答案：(1)同向同频幅值由两者的

8、幅值和相位决定，频率不变。相位相同时，合成后的幅值为两者之和，相位相反时，合成后的幅值为两者之差。其它相位情况介于两者之间。图1x/z),X2(r)（2）同向异频同幅值12/=0&z0-8-12（4）垂直方向异频简谐振动合成振动的图形呈现李普里曲线的形式10用一加速度计测得某结构按频率25Hz作简谐振动时的最大加速度为5g(g=9.8m/?),求此结构的振幅，最大速度和周期答案:7严_gT_1500兀2511设有两个简谐振动，分别以30汕)和5*5写表示，试用旋转矢量合成，并写出在实轴和虚轴上的投影12有两个垂直方向振动，x=ocos应=bcos+0,证明它们的合成运动是一个椭圆答案:Fhx=

9、(7cosat.y=bcos(ai+0)消去t得到2-2xcos9x-x+=(sin(9)2ablr根据椭圆在标准位置旋转一角度后的表达式可以判断该曲线即为椭圆13如图2-1所示，一小车（重P）自高力处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数上，斜面倾角为小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小车的振动周期和振幅。D质量不计。受力情况如图所示。A4(a)(b)答案：(a)(c)第二章单自由度系统的振动理论2一2单自由度系统振动1求图示系统的固有频率。其中(a)(b)图中，不计杆的质量m和抗弯刚度El；(c)(d)图中，简支梁的抗弯刚度为EI,2求图示系统固有频率。图为一单摆，

10、摆球质量m,摆长L。图中两个弹簧在距单摆固定端a处连接。(C)图为一倒立摆，两弹簧在距底端8处连接。ak/2k/2aQmk/2k/2Om(b)(c=39600Ns/mk=320000N/m计算出：=0707m=2450kg,c=28000Ns/mk=320000N/m计算出：=05m=2450kg,c=l6800Ns/mk=320000N/m计算出：=03m=2450kg,c=44800Ns/mk=320000N/m计算出J=08单自由度系统的频响待性为H(効=可以：为参数来研究H()的变化特性。：=c2/mk已知Hl,C,k的情况下，计算出：，即可判定频响特性曲线的人致形状改用系统固有参数表

11、示的频响特性为H()=匸_才)+2/其幅值hn=-=1kJ(l，F+(2?)2相位角=-tg-114.03.53.02.52.01.51.00.51.02.03.00.04.00.0幅频特性(纵坐标为/?=kliu,横坐标为=)图中从下往上依次表示了的取值为1,0.7,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,0经过简要推导可知当/丰时，存在峰值，出现在2=J1-2孑处当：半时，曲线单调递减相频特性这里久总是小于零的一个值，因此稳态振动的相位总是迟后于激励的相位，并且激励频率越高迟后越人；当激励频率等于系统固有频率时，响应与激励的相位差0=-,与阻尼比2J无关2.4非简谐激励下的强迫振动1、f(

12、t3t2+l为周期为？兀的周期函数，将它展开成傅里叶级数答案：f(t沪+1+12工Icos加n=l力2、设x(t)如图所示，试求其傅里叶级数展开。答案：x(t)=Ysin5fJt=l,3,5七龙3.设x答案:x(t)=Vsin(5+5.71)+21,3,5,.k兀4.求下列周期为2才的函数的Fourier级数展开。(1)/(x)=-一-(0 x2)281答案：另一sinnx/(x)=x2,xg0,2TOC o 1-5 h z4?g答案：一厂+4另3n=l(1ncosnxsinnxn/(x)=x00X7T答案:n2昌cos(2十+l)x4+72(2七+1)2n=ln(4)co2COS/1Xx00

13、X7T答案:5、f(x)是周期为2龙的周期函数，将它在上的表达式为f(x)=X,-x(1COS(Jut)2亦3浙/(r)sin(/r)dr1匸)sinr)drFo=(1cos血)一导K0丄sin讪5当tto时，人于to的部分积分为零，所以仇ponkvflJoFo17)sina)n(r)dr*o)sina)ntsin(vn(t/()coscont3()杞8.物体振动时受到与运动方向相反的动摩擦力作用，动摩擦系数u=0.3,物体的质量可集中在一点m=2kg,振幅xH=20cm,弹簧系数lc=6N/cm,求等效粘性阻尼。解:4x2x9.8x033.14x)6x100V2=2.162x0.2结构阻尼是

14、材料本身的内摩擦阻尼，其耗散的能量与振幅平方成止比，求结构阻尼常数=0.0155,质量m=2弦,弹簧系数k=6N/cm时的等效粘性阻尼。解：a兀co0.0155=0.00028已知一个非线性阻尼振动系统，系统受到150N的干摩擦力，系统稳态响应为x(t)=0.007sin(5t+60),求系统的等效阻尼。答：C“=5456Nslm第三章：单自由度振动理论的应用L如图3-1所示的模型，质量受到正弦激励，f(t)=38111()=170千克,k=7000N/m,c=1700Ns/m,作质量位移的频响曲线m图3-1答案：盼)=(1_儿2敏Hv()=聲下图为计算工具中本模型的一族幅频曲线(仅形状一致，

15、横纵坐标需乘相应系数)系统参数m,c,k决定阻尼比J当駅半时，存在峰值，出现在2=圧有处当了半时，曲线单调递减本题J=0.779,形状应介于上图最下方两条曲线之间。下图为计算工具中本模型的一族相频曲线(仅形状一致，横坐标需乘相应系数)这里久总是小于零的一个值，因此稳态振动的相位总是迟后于激励的相位，并且激励频率越高迟后越大；当激励频率等于系统固有频率时，响应与激励的相位差=牛与阻尼比：无关图3-2所示为简化车辆在路面上通行的振动模型,y(t)=asin(at),m=1000kg,k=350kN/m,c=18700Ns/m,求质量位移的频响曲线图3-2答案:H(e)=(l+j2例(1_才)+j2

16、*下图为计算工具中本模型的一族幅频特性曲线本题阻尼比=0.5,因此曲线同上图中下起第三条曲线下图为相频曲线1.已知频响函数曲线H=,当=0.1,03,0.5,0.7时，分别画出幅（1-才）+2荻丿频曲线级相频曲线的大致形状。答：幅频弘相频02.巳知频响函数曲线H=竺，当？=0.2,0.5丄时，分别画出幅频曲线（1-，）+2如及相频曲线的大致形状。答：幅频弘相频0巳知频响函数曲线H=-1心幻，当0,0.105时，分别画出幅频曲（1-，）+2阿线及相频曲线的大致形状。答：幅频弘相频01.在如图所示系统中，已知m=2kg,C=256N*s/cm,K=20N/cm,激励力为F=16sin60t（式中t

17、以s计，F以N计）。以质量m的位移作为输出。1）试求系统的稳态响应。2）试确定系统的输入，输出方程3）求出系统的频响表达式并画出频响图。1)x=0.00104sin(60t-7i/2)(cm)2)输入：p(tF=16sin60t输出：v(g(t)3)H.=05998.6-/+127917何2.空桶重39.2kN,浮在水面上，而水面的高度按y=(4/9)sin(3t/2)的规律上下浮动。桶的水平截面积均为5m?。如初始位移和初速度为零，水的阻尼力与相对速度成止比，阻尼系数C=16kNs/m,求桶作强迫振动的稳态响应。答：1)x=000095sin(32-30)cm2)输入：p(ty=(4/9)s

18、in(3t/2)输出：v(tx(t)3.确定图3-18所示系统的稳态响应。假定T(t)=Tsino在如图所示系统中已知m=2kg,K=20N/cm,激励力为F=16sin60t（式中t以s计，F以N计），C=256Ns/cmo试求系统的稳态响应。答：x=000104（60t+7i/2）（cm）求下图中系统右支撑端有简谐运动x=asm妙时的振动微分方程。1）试求系统的稳态响应。2）试确定系统的输入，输出方程3）求出系统的频响表达式并画出频响图。叭=Q)f答案：1）振动方程：mx+Cx+Kx=Kasincd稳态响应：x=Esin（血-0）其中I:妇如(产令J(l-，)+(2洌2)输入：p(t)=K

19、x2=Kasina输出：v(t)=x(t)()=a7n(1-才)+0.0L02.0304.0求如下图所示系统在两端都有支撑运动时的稳态响应。图中X1=asiiiajt,鶴=3asinIcot,答案：x=sinat-sin2at5如下图所示的弹簧质屋系统，在质量块上作用有简谐力F=500sinkg,同时在弹2簧固定端有支撑运动x=0.3sillcm,试写出此系统的稳态响应。已知，m=100馆Icm,K=9Z6kg!cm.7t7t答案.x=0.32sin/+0.677sin/2主动隔振的力学模型如图所示，其中m=1000kg,k=4000N/m,C=800Ns/m,力,0=2000sin(电)N,

20、以作用在m上的力为激励时(1)输出为基础上产生的力时，求稳态响应函数，并写出其频响函数绘出曲线；（2）当输出为m的位移时，求稳态响应函数写出频响函数并绘出曲线。kl:JL丁f/_(l+08j)3+0.8j(l)u(O=2000sin(4r)Nv(0=824.92sin(4f-126);Hny(c=(2)u(t)=feq(t)=2000sin(40-14000(3+0.8j)v(0=x(t)=0.16sin(4f-165);=9如图所示为一个惯性力激励系统，巾=4弦，偏心距e=0.04m,以co=5radIs的角速度运动，总质量m=100kg,弹簧刚度k=400N/m,并绘出系统的频率响应曲线。

21、m-me阻尼c=50Ns/m,求物块m的位移响应,答案：u(t)=4sin5扌XA、Izlzv(0=0.01sin(5f-39.8)H；25100(-5.25+1.5625/)0-45-90-135-180010203040506070809010.一机器重4410N,支承在弹簧隔振器上，弹簧的静变形为0.5cm。机器有一偏心重，产2生偏心激励力F=2.54N,为激励频率，g为重力加速度，不计阻尼，机器转速为g1200r/min时求：a）传入地基的力：b）机器的振幅。答案：a）F喚=5147N;b)0.0584働3二自由度系统振动31如图，SUni2=2mi=m,k3=2ki=2k2=2k,x

22、io=1.2,X20=x10=0,试用振动计算实用工具”计算系统的固有频率，主振型以及相应图31答案：固有频率：tUii=3.162277rad/s,如=5rad/s主振型：系统相应:X=0.4cos31622777t+0.8cos5fx0=0.4cos3.1622777t一0.4cos5f93-2已知巾=11kl=110-50-5090率a=3rad/s,试用“振动计算实用工具”计算系统的稳态响应。33如图所示，已知质量比/Z=0.1,固有频率比/=0.909,放人系数r=1.55,=0.1846,ml=ll,kl=100,根据程序求动力吸振器弹簧的刚度及其质量答案:图3-2m2=1.1kl

23、=8.262813-4求图示系统运动微分方程F(t)图3-336质量为M的水平台用长为厶的绳子悬挂起来，半径为厂的小球，质量为加，沿水平台作无滑动的滚动，试求系统运动微分方程图3-537在风洞实验中，可以将机翼翼段简化为图示两种模型，机翼作为刚体重心G处，质量为m,对重心的转动惯量为几。模型1由弹簧上和扭簧处支撑机翼。模型2由两根弹簧冏，伦支撑机翼。试导出两种模型的运动微分方程3-8一辆汽车重17640N,拉着一个重15092N的拖车。若挂钩的弹簧常数为171500N/m。试确定系统的固有频率和模态向量。答案:=1；碣寸-08563-9一个电动机带动一台油泵。电动机转子的转动惯量为厶，油泵的转

24、动惯量为厶，它们通过两个轴的端部连接起来。试确定系统的运动微分方程、频率方程.固有频率和模态向量。J2答案：臨1=0;G冗（人+上）32丿勺2+力2勺1）3-10试确定图3-9所示皮带传动系统的固有频率和特征向量。两皮带轮的转动惯量分别为人和厶，直径分别为d和心。k图3-9答案：=，&1=1J2T刚体运动；叫2=”饥十+亍人砂=1d2JY/dxJ2Y3-11写出图3-10的运动方程及频率方程，设静止时，钢绳为水平，起重臂与铅垂线成Q角，机体可视为刚体。答案:叫卩0kyl2cos260+k42sin2%一灯sin%-lc2lsiii600上20nt);加l+？2G心心mv,1、答案：X=(tsi

25、na)nt),耳+加2r60n%(?+)3-18机器重坷=900N,如机器转速1800转/分，有偏心质量巾=05弦,偏心距e=lcm,减振器重%=22.5N，试求：减振器弹簧刚度仁多大，机器振幅为零？此时减振器振幅多大？如要使减振器振幅不超过2mm,应如何改变减振器参数？厂X/!/s/klL/2kl=0IKtIKt5-5下图所示船用动力装置，它由两个同样的发动机组成，它们的回转部分对于转轴的转动惯量分别是4跟妇。发动机的转速相同，带动转动惯屋为厶的螺旋推进器旋转。设转速比为“=导，系统的轴的刚度分别为&跟瓦，且减速器的齿轮的转动惯量略去不计。试建立系统的口由振动微分方程答案:A0斗/X1010

26、0-1+K0010-10001-1、T-1-1-110丿X55-13一轴盘扭振系统如图所示，求自由振动的微分方程式。厂1o答案：I01000、0!q0.+KX%1-10第五章（二）5-1如图所示弹簧质量系统，m1=m2=m3=mKx=K2=K3=K，求各阶固有圆频率及主振型。Pi,P3=1.8025二对指定的广义坐标q,q,求图示三级摆,5耳sinat仇=0_5k4mg答案:0.445-1.24711.802/=0.802-0.555,/=-2.2471.0001.000丿1.000答案:当第一、二两质量上作用有简谐激振力时的2稳态响应，其中坨是常数，”=算。频率血=18求各质量的稳态响应。&

27、r53图示一无质量均质简支梁，弯曲刚性常数为EJ,上有集中质Mmi=m2=m3=m,在第一个质量上作用有激振力Pcos血。假设各阶主阵型阻尼比5=0.010=1,2,3）。己知激振5-4在图示系统中，各质量只能沿铅垂方向运动。在质量4m上作用有铅垂激振力呂COS血,求系统的无阻尼强迫振动的稳态响应。又若考虑到各弹性元件中的阻尼，假设振型阻尼比=0.020=1,2,3),692=1.25,求系统的稳态响应。m5-5如图所示的汽车在Ic=mab的情形下的固有频率，设a=2.3m,b=0.94m,加=54xl03覘，加=加=650悠，K、=K=35KNIm,前后轮的轮胎刚度均为恳=nOOKNAn.答案：厂=2978圧，p?=46