数学物理方法5-3

1、5.3 方程的分类 定解问题的适定性一、静电场电场强度无旋场 （1）介质：介电常数 ，电荷分布满足有源场 （2）引入电势推导电势满足的方程：对于任意的标量函数有即：可用电势来描述静电场。无电荷分布： ，则 代入(2)式：二、稳定温度场 温度场：温度在空间的分布构成一个标量场。规律： 稳定状态：温度u 不随时间变化，则（泊松方程）无热源：f=0 ，则（拉普拉斯方程）三、稳定浓度场：方法同稳定温度场四、稳定场方程的定解条件不含初始条件，只含边界条件或其他条件。边界条件（三类：第一、二、三类边界条件。）衔接条件、有限性条件、周期性条件： 在均匀外电场 中置入半径为 的导体球，若导体 球接有电池，使球

2、与地保持电势差 。试写出电势 满足的泛定方程与定解条件。设导体置入前球心位置 的电势 。 解：选z轴沿均匀外电场 的方向，见图1 。 .0z(a) 0Z(b)（图 1） 设球内外电势分别用 表示。（1）泛定方程。因为除球面上 有自由电荷 分布外，球内外的 ，故（2）定解条件 因为导体表面有限的电荷分布对无穷远处电势的 贡献可以忽略不计，故无穷远处的电势与导体置入前 相同。当导体球不存在时，由矢量分析可知 现在计算上式从 到 的积分。由于在静电场中，上式的积分与积分的路线无关，故可取积分路线为直线，如图(1)所示。将 作为常数提出积分号外，并将 代入，便有球面上电势连续，即因为本题比较简单，有些

3、条件(如周期性条件等)不需要列出也可以求出结果，就不用列出了。五、方程的分类小结三种类型的数学物理方程和相应的定解条件含有对时间和空间坐标的二阶偏导数，且对时间的导数项和对空间坐标的导数项符号相反。输运方程（包括热传导方程和扩散方程）：波动方程：含有对时间的一阶偏导数和对坐标的二阶偏导数项，而且两者符号相反。只含有对坐标的二阶偏导数项，而且各项符号相同。稳定场方程：类比二次曲线的方程：双曲线方程抛物线方程椭圆方程波动方程热传导方程稳定场方程物理上，这三类方程反映三种本质上不同的物理过程，波动方程对应时间可逆的过程；输运方程对应时间不可逆的过程；稳定场方程对应与时间无关的过程。除了以上三类典型的

4、数学物理方程之外，还有各种各样的方程。例如：现代光学中描述光学孤子的非线性薛定谔方程：（为常数）量子力学中微观粒子波函数所满足的薛定谔方程：为了确定一个微分方程的解，需要有定解条件，包括边界条件和初始条件。六、定解条件不同类型的方程对初始条件的要求，由方程所含对的偏导数的阶数决定。波动方程含有对时间的二阶偏导数，故要求给出两个初始条件，即要给出 和 的值。输运方程仅含对 的一阶偏导数，故只要给出 的值。稳定场方程与时间无关，不需要初始条件。第一、二、三类边界条件可以统一地：其中是边界上的变点; 表示物理量沿边界外法线方向的方向导数；为常数，它们不同时为零。除了这三类常见的边界条件之外，还有其它

5、边界条件。如有界条件，周期性条件和衔接条件，我们将在必要时叙述。在某些情况下（例如无界弦），边界的影响可以忽略，此时会遇到只有初始条件而没有边界条件的问题，这类问题称这初值问题（或柯西问题）。在另外一些情况下（例如阻尼振动问题，热传导问题），初始条件的影响会逐渐消失，经过长时间以后，可以不考虑初始条件的影响，这类问题称为无初值问题。七、定解问题的适定性求一个微分方程满足定解条件的解称为定解问题。在通常意义下，微分方程的解是指某个函数，它具有方程中所出现的各阶连续导数，且将函数代入方程后，在所考虑的区域中方程成为恒等式。这样的解称为方程在该区域中的正规解，如果这个解满足定解条件，则称之为所给定解问题的解。定解问题是否符合实际，在数学理论上可以从以下两个方面进行研究。1.存在性和唯一性。2.稳定性。如果一个定解问题存在唯一且稳定的解，则称此问题是适定的。但是单单寻求正规解还不足以解决许多实际问题。因此引入广义解的