人教版2614二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质精编版课件

1、二次函数y=ax2+bx+c图象和性质xyo第1页，共50页。 一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的 相同， 不同22知识回顾：形状位置 y=ax2y=a(x-h) +k2上加下减左加右减第2页，共50页。知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:1.当a0时，开口 ， 当a0时，开口 ，向上向下 2.对称轴是 ；3.顶点坐标是 。直线X=h(h,k)第3页，共50页。二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2y = 4(x-3)2 +7y = -5(2-x)2 - 6直线x=3直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向下向下（3

2、，5）（1，2）（3，7 ）（2，6） 你能说出二次函数y=x 6x21图像的特征吗？212第4页，共50页。探究:如何画出 的图象呢? 我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 也能化成这样的形式吗?第5页，共50页。配方 y= (x6) +3212你知道是怎样配方的吗？第6页，共50页。怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h）2+k的形式?函数y=ax+bx+c的图象 配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方化简:去整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项掉中括号老师提示:配方后的表达式通常称为配方

3、式或顶点式第7页，共50页。归纳二次函数 y= x 6x +21图象的画法：(1)“化” ：化成顶点式 ；(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；(3)“画”：列表、描点、连线。212第8页，共50页。函数y=3x2-6x+5的图象特征2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.a=30,开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).第9页，共50页。510510Oxyx7.553.533.557.56543789函数y=3x2-6x+5的图象特征第10页，共50页。求次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标 函数y=ax+bx+c的顶点是配方:提取二次项系数配方

4、:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项这种形式的式子通常被称为抛物线的顶点式.第11页，共50页。 函数y=ax+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？ 1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：第12页，共50页。 （3）开口方向：当 a0时，抛物线开口向上；当 a0时，抛物线开口向下。4二次函数的性质：（1）顶点坐标（2）对称轴是直线第13页，共50页。如果a0，当时，函数有最小值，如果a0，当时，函数有最大值，（4）最值：第14页，共50页。若a0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。若a0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随

5、x的增大而增大。（5）增减性：第15页，共50页。 与y轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线与坐标轴的交点抛物线抛物线与x轴的交点坐标为，其中为方程的两实数根第16页，共50页。所以当x2时， 。解法一（配方法）：例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？第17页，共50页。因为所以当x2时， 。因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；(2)用公式法解法二（公式法）：第18页，共50页。又例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。解法一： ， 抛物线开口向下， 对称轴是直线x3，当 x3时

6、，y随x的增大而减小。 第19页，共50页。解法二：，抛物线开口向下， 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。第20页，共50页。例7 已知二次函数的最大值是0，求此函数的解析式第21页，共50页。解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0所以应满足以下的条件组由解方程得所求函数解析式为。第22页，共50页。3图象的画法 步骤：1利用配方法或公式法把化为的形式。2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。第23页，共50页。 的图像，利用函数图像回答：例3 画出(1)x取什么值时，y0？(2)x取什么值时，y0？x取什么值时y0？(3

7、)x取什么值时值或最小值？第24页，共50页。（2,2）x=2（0,6）（1,0）（3,0）（4,6）由图像知：当x1或x3时， y0；(2)当1x3时， y0；(3)当x1或x3时， y0；(4)当x2时， y有最大值2。xy第25页，共50页。 与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程(7)抛物线的根的判别式判定： 0有两个交点抛物线与x轴相交； 0有一个交点抛物线与x轴相切； 0没有交点抛物线与x轴相离。第26页，共50页。例 已知抛物线k取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在y轴上；k取何值时，抛物线顶点在x轴上；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。第27页，共50页。 ，所以

8、k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上。 ，所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点；抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：抛物线经过原点，则当x0时，y0，所以第28页，共50页。 ，所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上。抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即，整理得，解得：由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上。第29页，共50页。抛物线位置与系数a，b，c的关系：a决定抛物线的开口方向： a0 开口向上a0 开口向下 a，b决定抛物线对称轴的位置: (对称轴是直线x = ) a，b同号 对称轴在y轴左侧； b=0 对称轴是y轴

9、； a，b异号 对称轴在y轴右侧 2ab【左同右异】第30页，共50页。抛物线yax2bxc中a，b，c的作用。(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c)， c0抛物线经过原点；c0与y轴交于正半轴；图象与y轴交点在x轴上方； c0与y轴交于负半轴。图象与y轴交点在x轴下方。第31页，共50页。例3：指出抛物线:的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。 对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交

10、点时），这样就可以画出它的大致图象。a=-10, 开口向下，顶点坐标（2.5，9/4），与y轴交点坐标为（0，- 4），与x轴交点为（1,0)、(4,0），第32页，共50页。y=2x2-5x+3y=(x-3)(x+2)求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴请画出草图:小试牛刀396第33页，共50页。-1 例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根 据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？ y 1.x13第34页，共50页。3. 已知如图是二次函数yax2bxc的图象，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b

11、24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc第35页，共50页。分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用第36页，共50页。解：(1)因为抛物线开口向下，所以a0；判断a的符号第37页，共50页。(2)因为对称轴在y轴右侧，所以，而a0，故b0；判断b的符号第38页，共50页。(3)因为x0时，yc，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c0；判断c的符号第39页，共50页。(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标 ，且a0，所以，故。判断b24ac的符号第40页，共50页。 ，且a0，所以b2a，故2ab0；(5)因

12、为顶点横坐标小于1，即判断2ab的符号第41页，共50页。(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a12b1c0，故abc0；判断abc的符号第42页，共50页。(7)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故abc0判断abc的符号第43页，共50页。1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a0)的顶点都在 （ ） A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1

13、的最小值是2,则a的值是 （ ） A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1CBA第44页，共50页。4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是 （ ） A.b2-4ac0 B. 01xyo-15.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ ） A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18 B B-2ab4a4ac-b2第45页，共50页。6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 ( )7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC第46页，共50页。二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质.顶点坐标与对称轴.位置与开口方向.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)y=a