弹性力学第四章

1、第四章应力分析4-14-24-34-44-54-6外力和应力矢量应力张量平衡方程和运动方程主应力最大剪应力球应力张量和偏应力张量第四章应力分析本章将从静力学（或动力学）的观点出发，分析物体内任意一点处的内力，研究内力和外力所应满足的条件，即建立平衡方程（或运动方程）。由于假定位移是很小的，所以在分析中将忽略物体的变形，这种近似只会引起高阶小量的误差。另外在分析中不涉及材料性质，故所得结论也适用于其它小变形连续介质力学问题。4-1外力和应力矢量1. 外力作用在物体上的力f lim F作用在物体点上的外力，def体力V如重力、旋转机械的离心力等V 0体力的量纲：力长度-3T lim Fdef是外部

2、介质或物体通过接触作用在物体表面上的力。面力SS0面力的量纲：力长度-2 弹性体内体积上所受的外力(1)体力zFVFf lim(4.1)ZV 0f Xi Yj Zk XieiYVXk： N/m3kN/m3X、Y、Z 为体力矢量在坐标轴上的投影ixjOy是坐标的连续分布函数；的加载方式是任意的 (如：重力，惯性力等)(1)说明：(2)(3)ffX、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。(2) 作用于物体表面面力面积上的外力T lim F(4.2)SS0zFT Xi Yj Zk Xi eiZXYZ为面力矢量在坐标轴上的投影SY： 1N/m2 =1Pa (帕)1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (

3、兆帕)XkixjOy(1)T 是坐标的连续分布函数；的加载方式是任意的;说明： (2)T(3)X YZ 的正负号由坐标方向确定。在本书中，总是假定体力是已知的；而作用在物体表面上的面力也许是已知的，也许是未知的。(1) 一点应力的概念物体用力;由于外分子或原子间的相互作(不考虑)作用引起的相互作用力.内力P点的内力面分布集度-P点的应力应力矢量.F的极限方向FFT lim Sn(法线)S 0PS应力的法向分量 正应力应力分量 剪应力应力的切向分量:MPa (兆帕) (x, y, z) (x, y, z)与面力相同应力关于坐标连续分布的由外因引起的在 P点的某一面上内力分布集度因2. 应力T T

4、 (r, n) lim FS(4.3)S 0T (r, n) T (r, n)(4.4)TT Tiei T n Tini(4.5)T3nnnT2 n n(4.6)PT1 T 22n(4.7)一点的全应力可沿过该点的某一微分面的法向和切向分解，也可将其沿直角坐标系的3个坐标轴方向分解，即有为P点处外法线方向为n的微分面上的应力矢量或应力。并有FP inPSniSF(a)(b)4-2应力张量x面的应力y面的应力z面的应力 z 33zy1323zx 32e3e3e312 22yxyz xy 31xzy1121yyxeeeyzx222e1e1zx , y , yx , yz ,e1zyxxyxzzzx

5、zyz通过物体内同一点可以作无数个不同外法向的微分面。显然不同微分面上的应力矢量是不一定相同的。把物体内同一点处所有微分面上的应力情况称为该点的应力状态。问题提出：过一点的任意微分面上的应力是否可由过该点的有限个不同微分面上的应力矢量表征出来？如果能通过一点处的有限个指定微分面上的应力来表征过该点的任意微分面上的应力，则一点的应力描述就能够得以全面。回答是肯定的。如 x xy xz 用矩阵表示： zyz yxyzy zx zy zzxzyxyz y其中，只有6个量独立。 yxz xy yx xyyxyzxzx剪应力互等定理yzzyzy zx xz zOy应力符号的意义：x第1个下标 x 表示所

6、在面的法线方向；第2个下标 y 表示的真实方向.xy应力正负号的规定：正应力 拉为正，压为负。剪应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标上，与坐标正向相反时为正。矢量分别是别用T1、T2和T3表.3所示），得Ti ij e j(4.8)1112 223213 x xy y zy xz ij 21 23 yx yz zx z 3133 (4.9) ij e j ij (e j ) T (ei ) T (ei ) TiTi(4.10)根据式（4.4），外法向矢量为ei的微分面上的应力矢量为ij的意义：11是T1在e1方向的分量，与其作用面垂直，是正应力；12和13分别是T1在e2和e3方向的分

7、量，与作用面相切，是剪应力分量，其它类似。结论：取三个微分面，如 “正面”，它们的外法向基矢量e1、e2、e3。这三个微分面上的应力矢量分示。把这三个应力矢量沿基矢量方向分解（如图4：倘若为任意方位点取一个小e3cnPe2bae1矢量n可表示成JGJGJJGJJGn niei ab ac / ab ac (dx2e2 dx1)(dxdx) /(2dS )dSdx dx e ) /(2dS ) i(dx dxdx dxe123idS前面已定义了平行于（给定）坐标面的微分面上的应力。现在过域内一点的六个微分面上的应力均为已知，求过该点的法向的相应微分面上的应力。为此，设P是物体中的任一点，过该四面

8、体Pabc，如图4.4所示。和坐标轴任意倾斜的微分面上的应力dSi nidS于是，有(4.11)用u表示质点的位移，t表示时间，则加速度为d 2u u dt 2TdS TidSi ( f u )dV O微元体的动态平衡方程e3cTnT-2T Tini 1 ( f u )h OT-13Pe2baeT Tini ( ij e j )ni ( ljil e j )ni (niei lj el e j ) n T-31(4.12a)强调：上式中，（对于上述四面体）T表示法向为n的斜微分面abc上的应力矢量或全应力，而T1、T2、T3则分别为对应于法线为x、y、z轴的微分面上的应力矢量或全应力。固定P点

9、，保持n不变，令h趋于零，从上式得利用式（4.11）和 dV hdS /3 ，上式可化成作用在四面体上的体积力和惯性力之和为( f u )dV，其中是质量密度，dV为四面体的体积hdS/3。根据DAlembert原理，得其中 ei Ti ij ei也可以写成分量形式 T Tj e j ijni e j e j 是一个二阶张量，称为应力张量。上式Ti ji nj(4.12b)X n xl yxm zxn 11n1 21n2 31n3 T1即Y l m n n n n Tnxyyzy1212223232Z l m n n n n Tnxzyzz1312323333T T1e1 T2e3 T3e3

10、Ti ei而(4.5)说明：式（4.12b）表明，当域内某点处平行于坐标面的微分面上的应力描述为已知，且过该点指定斜微分面的法向方向也已知时，则可由式（4.12b）求得该斜微分面上的应力矢量 T向坐标轴方向的投影值Ti 。结论：式(4.12)表明，过一点任意微分面上的应力矢量可由三个相互垂直的微分面上的应力矢量表示出来，也即可由应力张量表示出来。故应力张量完全确定了一点的应力状态。T的正应力分量和剪应力分量为n T n Tini n n ij ninj(4.13)(4.14)2 T2n2n既然是张量，则在坐标变换时，其分量满足张量的变换规律，即ij ii jjij(4.15)的域内点P挪动到物

11、体的边界面静力（或应力）边界条件：当上述所上时，这时式（4.12）中的法向n则表示物体表面在P点的外法向矢量，而T则表示由于外部介质的作用所产生的对该物体表面上的作用力，即“面力 T ”。于是，式（4.12）又可表示物体表面上的外力与内力之间的关系，即物体表面上任意点的平衡条件，亦力的边界条件。通常写为Ti ji njX n xl yx m zxn 11n1 21n2 31n3 T1Y l m n n n 即n Tnxyyzy1212223232Z l m n n n n Tnxzyz3平衡方程和运动方程从物体中任意切出一块体积V，其表面为S，则作用在上的体积力、惯性

12、力和面力的合力必须为零，即 ( f u )dV TdS O(4.16)VS利用式（4.12）和奥高公式，上式中的第二项可化为TdS n dS dVSSV ( f u )dV OV故式（4.16）成为上一节研究的是一点的应力状态，本节要研究应力状态在物体中的变化问题。应力的变化并不是任意的，应力张量的变化必须满足平衡条件或动量定理和动量矩定理。 ( f u )dV OV u f(4.17a) ji, j fi u i其分量形式为(4.17b)上式亦为质点的运动方程；若 u i 0，则称其为域内任意点的平衡方程。 r ( f u )dV r TdS O(4.18)VS由式（2.74）可知 r Td

13、S r (n )dS xiei nk kj e jdS (xiei kj e j ),k dVVSSS (ek kj e j xiei kj ,k e j )dV ( kj ekjiei r )dVVV上式中的第二项为作用在V上的所有力的动量矩之和为零，即假定被积函数是连续的，又由于积分域V可任意选择，故要求被积函数满足故式（4.16）成为r ( f u ) kjekjiei dV OV kjekji eidV V动态平衡O（考虑体力）微元体的力平衡示意图e3e (e 33 33 dx3kjkjii2332x3 O(4.19a) 32 dx3x3 31dx331x3ijji 23 23 dx2

14、 11 12 21上式表明，应力张量是对称的，九个应力分量中只有六个是独立的。这一结论可由剪应力互等定理证之。剪应力互等定理可叙述为：过物体内任意一点的两个相互垂直的微分面上，与这两个微分面的交线垂直的两个剪应力相等。为了帮助读者理解运动方程和剪应力互等定理，下面用更直观的方法来推导它们。 22dx 22 dx1122212 dx x2121 21 dx2x1 13x211 11 dx1e23ax12 31 32a 33e1图4.5x2即 3213 13x12 由于V的任意性，则从上式由式（4.17）可知，上式变成故式(4.18)可化成12!f f ( x) f ( x ) f) )2，则00

15、0 x x 1 2x dx2dxdxxxx xyxx xy!22正x1 2xy xydx xy2dxdxxy!2xx2x正根据DAlembert原理,所有作用在微元体上的力在e1方向的投影之和为零，即 11 21(dx )dx dx dxdx1112311 dx 0dx dxx3同理，可建立微元体上的力分别在e2、e3方向的投影之和为零的动态平衡方程。对这三个平衡方程，分别略去高阶小量，可获得简化后的形式，即由一元函数的Taylor展开式可知：11 21 31 f u x11312 22 32动态平衡微分方程（Navier）方程 f u 2 （4.17c）x23u 0（）i f u 13 23

16、 33 x333说明： 式（4.17）表示物体的平衡条件；描述物体内任意一点的应力分量与体力、惯性力之间的动平衡关系。再由作用在微元体上的所有力对aa轴（即与e1对应的轴）取矩之和为零，即得 dx1 dx1 dx dx dx2dx3dx2dx31212x1 222333f2dx1dx2dx3 dx3f3dx1dx2dx3 dx222u 2dx1dx2dx3 dx3 u 3dx1dx2dx3 dx2 022 23 32,13 31 , 21 12(4.19b)最后所以充其在一它条，独立的应力分量只有六个，而运动方程或平衡方程只有三个。般的情况下，弹性力学问题是超静定的，要确定应力分量必须补件。上

17、式两边同除以dx1dx2dx3 ，并略去高阶小量，化简后到下面的第一式。类似地到后面两式。即4-4主应力面垂直，即这一微分面上只法线方向称为应方向，方向，则称这一坐标系为主主坐标系。）法向矢力，于是主为 n nT n nT n(4.20)即 3 I1 2 I2 I3 0(4.21)I1 ii 1 2 3I( ) 222323112iijjijij112222333311122 (4.22) I3122331 det 1 23其中类似特征方程（2.46）的导出，应力张量的特征方程和三个不变量为把上式代入（4.12a），得用n表示主平面的量，以 表示主应平面上的应力矢量如果作用在某一微分面上的应力

18、矢量和这一微分有正应力而无剪应力，则这一微分面称为主平面，其其上的应力称为主应力。如果三个坐标轴方向都是主坐标系。（亦将直角坐标方向沿主应力方向放置，以4-5最大剪应力3 iei eii1(4.23)3T n inieii1由（4.12a）(4.24) n n T ij nin j n2(4.25)由（4.13）ii T T 由（4.14） n ) (n2n2n2222(4.26)iiii矢量为n的微分面上，有在法向分三种情况来求一点处的最大剪应力及其作用的微分面。为简单起见，取应力张量的三个相互垂直的特征矢量作为基矢量ei，则由谱定理可知（式2.49）利用nini=1，从式（4.26）剪应力

19、都为零。事实上，向都是主方向。n=0，即过该点的任何微分面上在证明谱定理时就知道，此时任何方则式（4.26）可化成 (n) n n ) (n2 nn2 22222222n1311233123(a) (1 n ) n ) (1 nn2 22122223331333 1 32进一步化简得n最大剪应力计算式这个最大剪应力可以发生在与一个圆锥面相切的任何微分面上，这个圆锥面与x3轴成角45，见图4.6。由 2 对n2的导数为零，。n3（2）三个主应力中有两个相等，不妨设1=2 3（1）三个主应力相等，即1=2= 3分三种情况来求一点处的最大剪应力及其作用的微分面。这个最大剪应力可以发生在与一个圆锥面相

20、切的任何微分面上，这个圆锥面与x3轴成角45，见图4.6。x3（3）三个主应力互不相等2nn是的函数，但三个不独立，满足约束条件iinx2(n) nini 1 0(b)2n使用日乘子法来求的极值，则x1 2 0n(c)njnj其中为拉氏乘子，而n ()2222 n 2 2n iinn 2jjnnnnjjj n 4 2 2n 2n ()（对j不求和）22jjjnjjjjn(n) (nini 1) 2njnjnjn j ( 2 ) 0于是式(c)化成2（对j不求和）jjn 2 ) 0n (2即111n 2 2 n ) 0n (2223(d)2 2 ) 0n (33n 2 0, 2 0, 2 0，故

21、1=32122231n2n3n n (1 2 )/ 2和 n ( 2 3 ) / 2从上面的前两式和后两式分别不可能的（违背了假设前提）。，这是3. 故三个ni中只能有一个为零，也必须有一个为零。2.若三个ni全不为零，则式（d）为1.设三个ni中有二个为零，如 n1 n2 0，则有 n3 1，此为主方向，必有 n 0，不是所要求的解。分析：由于n是矢量，故其三个ni不能同时为零。3. 故三个ni中只能有一个为零，也必须有一个为零。若n1=0,n20,n30，从（d）的后两式得 2 0, 2 02222n33n 2 3将上列两式相减，可求出n2 0 和n2 1，可解得n2把它代入(4.25)式，