2021届陕西省西安市长安区高考一模数学(理)试题

1、理科数学试题第 页共11页长安区2021年高三年级第一次模拟试题理科数学本试卷分为选择题和非选择题两部分，总分150分.考试时间120分钟.注意事项：.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、 准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位贪上.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题 答案用0.5毫米的黑色中性（答字）笔或碳素笔,书写，字体工整、笔迹清荒.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.保持答题卡清洁，不折叠、不破损.若做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上

2、把所选题目对应的题号涂黑. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.若Z = 2 + i,则（）A.、面B. 2C. V26D. 3.设集合4 =卜卜2-x6o, 8 = k|2x+a。,且人口8 =卜|一24工2,则=（）A. 2B. -2C. -4D. 4.设抛物线C：V=2px的焦点为产，准线为/.2是抛物线C上异于。的一点，过P作PQ_L/于Q，则线段八2的垂直平分线（）A.经过点尸B.经过点。C.平行于直线OPD.垂直于直线OP.（x 2y）（x+y）6的展开式中dy1的系数为（）A. 25B. -25C. 15D. -

3、15.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数 据：单价（元）456789销量（件）908483807568由表中数据,求得线性回归方程9 = -4x + a,若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线右上方的 概率为（）2D.-3.“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球 面射电望远镜（如图）.其反射而的形状为球冠（球冠是球而被平而所截 后剩下的曲而，截得的圆为底，垂直于圆而的直径被截得的部分为高， 球冠而积S = 2成，其中R为球的半径，力为球冠的高），设球冠底的 半径为L周长为C,球冠的面积为S,则当。=2zS = 16%

4、时，4 =A V2V257+2A 而厂 V2V257-2A. 江C TOC o 1-5 h z 168167.将函数八x） = sinox （其中s0）的图像向右平移土个单位长度，所得图像关于直线1=万对4称，则0的最小值是（）52A. -B. 2C. -D.一333.已知直线/是曲线f（x） = x4- 2/在点（1, 7（1）处的切线，点P（m,）是直线/上位于第一象限的一点，则7+ 2的最小值为（） m nA. 4B. 9C. 25D. 16. 一个动圆与定圆尸：（工一3）2 +），2=4相外切,且与直线/:工=-1相切,则动圆圆心的轨迹方程为（）A. ）=6xB.y2 =4x C. y

5、2 = 8xD. y2 = 2x10.己知AABC的内角A.8.C的对边分别为a/,c且asinAsin8 = 2 cos4425 + c = 10,A48C的面积为匚二，则。=（）4A. 2旧B. 8C. 5D. 2x/2.已知a = log23, /7 = 21og52, c = 0.75,则的大小关系为（） 2A. bac B. abc C. bca D. cab.设点P在A48C内且为A48C的外心，N8AC=30,如图.若APBC，APCA PA8的而积分别为，则的最大值是（） 21 c后 122二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知a e （，4）,2sin 2a =

6、 cos2a-l,贝ij tan。=.2y 11,.若x, 满足约束条件y2.点P在双曲线C：二二=1（。0/0）的右支上，其左、右焦点分别为，居,直线尸匕与以 lr坐标原点O为圆心、。为半径的圆相切于点A,线段PF1的垂直平分线恰好过点后,则该双曲线的离 心率为.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸” “包米”“简粽” 等,早在春秋时期就已出现,到了晋代成为了端午在庆食物.将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来,可以 得到粽子形状的六面体,则该六而体的体积为;若该六面体内有一球，当该球体积最大时,球的表面积是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

7、. 题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：每小题12分，共60分.第1721题为必考题，每个试.如图，四棱锥尸一ABC。中，P4_L平而ABC。，ABLAD AB/CD, PD = AB = 2AD = 2CD = 2, E 为勿上一点，且 3PE = 2PA.理科数学试题第 页共II页（1）证明：平面上3。_1_平而上4。；（2）求直线08与平面8EC所成角的正弦值.已知等差数列q中，公差d。，Sn=77,且%，4 1，町成等比数列.（1）求数列q的通项公式：（2）若7；为数列一的前项和，且存在 eN*,使得（-&/川之。成立，求实数/I的取值范围.202

8、0年疫情期间，某公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决 定在全公司范闱内举行一次乙肝普查.为此需要抽验480人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部 门制定了下列两种可供选择的方案.方案：将每个人的血分别化验，这时需要验480次.方案：按个人一组进行随机分组，把从每组女个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人 的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这人个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验!次）：否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组k个人的血总共需 要化验A+ 1次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应

9、相互独立.（1）设方案中，某组k个人中每个人的血化验次数为X ,求X的分布列：（2）设 =01.试比较方案中，我分别取2, 3, 4时，各需化验的平均总次数：并指出在这三种 分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五人保留整数）.已知点尸到M（5/5,0）的距离与它到直线/: x = 竺的距离之比为.3（1）求点户的轨迹E的方程：（2）若A是轨迹E与工轴负半轴的交点，过点0（-3,8）的直线/与轨迹E交于8,C两点，求证：直线A3、AC的斜率之和为定值.已知函数/= e+g2-3x）.（1）若函数y = /（x）（其中广（x）是/（x）的导函数）在。，）上单调递增，

10、求小的取值范围； （2）当? = 1时，若关于的不等式/（力之3）x + l在1,内）上恒成立，求实数。的取 值范I乱（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计 分.x = 2cosa, /.在平面直角坐标系X。卜中，曲线G的参数方程为、-.（。为参数）.以坐标原点为极y = 2 + 2sma点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线G的极坐标方程为夕= 4cos6.（1）写出曲线G的极坐标方程和0?的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为（4, 射线6 = a分别交C?于A, 8两点（异于极点），当ZAMB =工时，求tan a.4.已知函数/（幻=

11、124一41 + 11+ 11,工尺.（1）解不等式：fM5.112（2）记/。）的最小值为M，若实数a,满足c/+尻=M，试证明：-一 + -一-.+2 lr + 3长安区2021年高三年级第一次模拟试题理科数学参考答案选择题:题号123456789101112答案ACABCBDBDCAB填空题:三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.解：（1） .44，平面从3。,8。（1平面48。,24,8。;在直角梯形A8C。中，AB/CD,ABAD, AB = ZAD = CD = i

12、AC = BC = y/2AC2 + BC2 = AB2.：. AC Y BC又 A4cAC = A.8C_L平而PAC,/ BC u 平面 EBC ,（2）以A为坐标原点，人。,4及人尸分别为大轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）易知 8(0,2,。), C(l, 1,0), P(0,0,我,E(0,易则 BC = (1,-1,0), BE = (0,-2,4)，BP = (0,-2,5/3).设7 = (x, y, Z)是平面BCE的法向量.COS/拘=丽:巫 D怀网7理科数学试题第 页共11页直线尸8与平面8EC所成角的正弦值为手.12分18.解：（1）由题意可得0,所以a. =

13、 2,所以q = + L d = .=_l_ _ _J_0 q- (+1)(+2) +1 +2 1111 1 1 1 1 _ 2 3 3 4 n + + 22 n + 2 2(+ 2)存在 eN.,使得一41之。成立.存在“wN*,使得为一几（ + 2）之。成立.即存在 wN.，使得工成立.2（n + 2）一-一!?（当且仅当=2时取等号）.2（ + 2）一 2 + + 4 1 n ）/./5|2222化简整理可得三+二=1 ,所以点P的轨迹E的方程为三十二=1.94944分（2）由（1）可得，过点D的直线/斜率存在且不为0,故可设/的方程为=爪+7伙工0）, 5（玉,）,。（孙必），y =

14、kx + m由 0,即m2 v9父 +418kM玉+&二一由中2 =W-36k +k _ -1 为 _-(&+3) + 丁2(%+3)_(3+7)(%+3) + (京2+7)(%+3)X +3 x2+3 (Xj +3)(x, +3)(%1 +3)(x2 +3)9nr -36 / J 1 Skm ) 小， 2k x- + (3k + m) + o/z/o2回+(3A+?)(K+电)+ 6， _4 + 9K 4 + 9K J _8理科数学试题第io页共11页理科数学试题第 页共II页由于直线/过点。(一3,8),所以一3%+m=8, 所以+ kN = ?(即为定值) 12分21 .解：(1) 函数

15、 / (x) = + ?w(2x2 -3x)的导数 /(x) = ex+ m(4x-3), fnM = e + 4i.)，= /(工)在。,一)上单调递增/(x) = +4? 2。在(Ly)上恒成立/. ni-r e fjj 白勺乂:立11| J/j +oO人分L 4)(2)当7 = 1 时，f(x) = ex +2x2-3x关于a-的不等式/(x)之+ (a-3户+1在J,y)上恒成立，. 一 6、 X 1 a W , x 2 x设 g(x)则短3=由y = e、-x l的导数为）/ = /一1 ,可得x0时，y。，函数y = e”x l递增，x0，= g6 = e-1，当0时午应-9嘿止-

16、99则g（X）=色_ _，在1，）递增，可得g（4而 .X L .112分x = 2cosa22.解：(1) .八,(。为参数) y = 2 + 2sina，曲线C1的普通方程为V +（ V 2）2 = 4 ,即/ + y2 - 4）, = 0丁 x = pcosO , y = psinO p1 一4Psin 6 = 0，曲线G的极坐标方程为P = 4sin 0;曲线C2的极坐标方程为夕=4cose工曲线4的直角坐标方程为/ +）,2-4%=。（2）依题意设4（0”夕）,5（.8），0 = a得夕=4山。.由 p = 4sin80 = a ,得夕、=4cosa.P = 4cqs6 乃乃：a p2 ；= 41To回=2一P2 =4sina-48SaOM是圆C）的直径，NQ4M=三 -2，在直角 RtAOAM 中，=4cosa;在直角用ABM中，ZAMB = - 4)=,即 4sinc_4cose = 4cosa/. tana = 2.3x - 3, x 223.解：(1)易知/(x) = |2x -4| + |x +1 = 5 x,1 W x 23x + 3, x