线性代数与空间解析几何总结

1、线性代数和空间解析几何是非数学专业的一门基础课程，可以看做是高等代数和 解析几何的简化版。其内容大概分为八章，以线性代数内容为主，穿插少量解析几何知识。 全书逻辑严谨，内容关联性强，但是缺乏直观性，对于没有基础的大一新生，不免显得生硬。第一章主要讲述行列式相关内容，直接给出了行列式的定义。这一章的 重点内容是根据行列式的定义推出一些性质，利用定义推导出行列式运算的一些性质，并且 根据这些性质灵活的化简计算具体的行列式。其实行列式的计算相当繁琐，我们只需要掌握 最基本的一些方法，如构造三角行列式（这种方法很重要，矩阵初等变换也要用）、加边法、 递推法等等，还有一个重要的范德蒙行列式需要掌握。在章

2、末，给出了克莱姆法则及其在解 方程组时的应用，这本来是线性方程组理论内容，为了强化行列式的应用，放在了第一章介 绍。第二章讲述矩阵的基本内容，这是全书的核心，而矩阵理论也是整个线性 代数体系的核心内容之一。这一章内容很多，而且联系复杂，但以矩阵的逆和秩为中心内容。 首先，介绍的是矩阵的基本概念，基本分类和基本运算，对于矩阵的运算，比较重要的是矩 阵与矩阵之间的乘法，这是个新运算，要多加练习，在此基础上，还引出了方阵的幂的概念。 然后就开始通过单位矩阵和1的类比，引出矩阵的逆的概念，给出了矩阵逆的性质，给出了 判别矩阵是否可逆的充要条件（以后还有很多补充）和求逆矩阵的伴随矩阵法。接着通过解 线性

3、方程组的一般解法，引出矩阵的初等变换，给出了行阶梯型矩阵、行最简型矩阵和标准 型矩阵的概念。给出了矩阵秩的定义（显然，一个方阵是否可逆与其是否满秩是等价的）， 指出初等行变换不会改变矩阵的秩，并给出了求矩阵秩的方法一一化矩阵为行阶梯型矩阵。 接着，又给出了初等矩阵的定义，并且将矩阵初等变换和矩阵与一个初等矩阵相乘建立起一 一对应的关系，用初等变换将矩阵化为标准型，显然，根据初等变换不该变矩阵的秩，则初 等变换不改变矩阵可逆性，由于我们可以很容易地观察出标准型矩阵的秩和行列式，所以若 一个方阵可逆，它的标准型必然是一个单位阵。于是，每个可逆矩阵都可以写成N个初等矩 阵的乘积，且初等矩阵都是可逆的

4、，并且都有其明确的变换意义，我们便利用这个结论给出 了求可逆矩阵的一般方法一一初等变换法（很重要）。最后一部分介绍的是关于分块矩阵的 一些知识，其实这些内容是矩阵内容的推广，把矩阵中的元素由数换成了矩阵，内容可以类 比于矩阵进行学习，但要注意由于矩阵并不是数，所以比如说行列式运算与一般矩阵的运算 法则不同，这种问题最好还是化为一般矩阵处理，以免超范围使用性质，造成不必要的错误。 值得一提的是，分块矩阵的秩的性质很重要，在书的后续内容中有着广泛的应用。第三章是空间向量，属于向量理论范畴，这是线性代数体系的另一个核心 内容，它与线性方程组理论和解析几何有着紧密的联系。本章主要介绍基本的空间几何即三

5、 维向量知识，为学习更深一层向量理论给出一个直观印象，这是本书中空间解析几何部分的 内容。首先给出三维向量的直观概念，空间中既有大小又有方向的量，然后给出了一些性质； 建立坐标系，向量线性运算转化为坐标运算，这些都可以类比于平面向量学习。下面介绍空 间中的平面和直线的知识，这是本章的重点。给出了平面在空间直角坐标系中的方程，利用 两个平面的交线是直线这一结论给出直线方程的一般形式，根据方程解的情况讨论空间平面 和直线的位置关系。空间中主要解决距离和角度两个问题，通过引入的向量积和平面法向量， 给出了一系列相关求解公式，当然，理解这些公式的推导是更重要的，这能大大简化问题的 求解。最后，书中还给

6、出了平面束和投影的概念，求解直线在某一平面上的投影方程的方法 要掌握。第四章主要内容是N维向量，这是第三章在维数上的延伸。给出向量的一般定义，它不再局限于直观几何，而是抽象化了。线性相关线性无关线性表示的概念要了解， 重点是要掌握判别向量组是否线性无关的矩阵判别法。给出线性极大无关组的概念，将其与 矩阵的秩联系起来。然后，给出向量空间以及其维数和基的概念，在定义内积之后，又给出 了欧式空间概念，并研究了内积的一些重要性质。最后，为了简化内积的运算，我们要进行 坐标变换，给出了基变换公式，坐标变换公式和将一般基底规范正交化的方法一一施密特正 交化方法（很重要）。在此基础上，引入正交矩阵这一概念，

7、并给出了正交矩阵与规范正交 基的内在联系。第五章讲述线性方程组理论，这是线性代数中发展最完善的理论，也是整个 线性代数体系的直观基础。首先介绍线性方程组的一系列概念，通过线性方程组一般解法，给出了线性方程组有解的充要条件。利用齐次线性方程组 和非齐次线性方程组解的关系，将线性方程组都转化成齐次线性方程组来解决，然后，利用 矩阵这一数学工具，说明线性方程组的解的结构是一个向量空间，其维数与系数矩阵的秩有 关，而向量空间只需用一个极大无关组表示，并且这个极大无关组就是维数个线性无关的方 程组的解向量构成的向量组。这样，有关线性方程组的问题就得到了完美的解决。第六章的主要内容是特征值和特征向量，这是

8、前几章内容的一个应用，也是 第八章二次型理论中的一个工具。首先给出特征值和特征向量的定义，然后将其转化为一个 线性方程组的求解问题。根据线性方程组解的结构，若要其特征向量存在，则特征方程的系 数矩阵必不满秩，即其行列式为0，可根据此求向量的特征值，并通过求解线性方程组求出 特征向量及其张成的向量空间。接着，给出特征值的一些性质，显然对角矩阵的特征值极易 求出。结合相似矩阵的概念，引出了将方阵相似对角化的概念，然后用矩阵理论给出了方阵 能否相似对角化的判别条件和相似对角化的方法。本章还着重研究了实对称矩阵的一些特殊 性质，又根据正交矩阵特点，结合实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交的特点，说明

9、 了实对称矩阵可以正交相似对角化，这是研究二次曲面时坐标变换的基础。章末还介绍了一 些特征值理论的应用，包括求多阶线性递推数列的通项公式等。第七章在第四章的基础上，给出了定义了八条线性运算下的线性空间概念，这 一部分老师不讲，也不作为考试内容，不过线性空间是线性代数的主要研究对象的几何描述， 对于线性代数理论的完善和空间图形性质的研究也有很大帮助。（详情可见对线性代数体 系及矩阵的直观性理解一文）第八章的主要内容是二次型理论和空间中的二次曲面，介绍了二次型的概念以 及相关定义后，主要讲解了如何将二次型化为标准型，一共三种方法，不过正交变换法最重 要，因为在研究二次曲面时只能用这种方法。通过将一

10、般二次型化为标准型，可以研究二次 型的一般性质，包括正负惯性定律和正定矩阵的概念和判定。本章后半部分内容主要是二次 曲面，这是本书中最重要的几何内容。从最基本的球讲起，柱面，旋转曲面，锥面，椭球面， 双曲面，抛物面，几种最基本最重要的二次曲面分类介绍其图形、标准方程和性质（利用截 痕法）。然后研究一般的一个三元二次方程到底代表什么曲面，这里用到了二次型理论，对 二次型进行正交坐标变换，根据笛卡尔的坐标理论（不同直角坐标系中图形的性质不变）， 将其化为几种基本的二次曲面，最后通过讨论系数总结出空间中共17中二次曲面，而最特 殊最有意义就是一开始介绍的那九种。全书最后还附有多项式和Jordan标准型等高等代数中的内容，这是对课