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1、第十章 微分方程 第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程第1页，共19页。如果二阶线性微分方程为y + py + qy = f(x) ，其中 p、 q 均为常数， 则称该方程为二阶常系数线性微分方程. f (x) 称为自由项，当 f (x) 不恒等于0 时，称为二阶常系数线性非齐次微分方程， 当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程.第2页，共19页。定理 如果函数 y* 是常系数线性非齐次方程 y + p y + q y = f (x)的一个特解，y = Y + y*，是常系数线性非齐次方程的通解. Y 是该方程所对应的常系数线性齐次方程的通解，则 前面我们介绍了下面的定理面：第

2、3页，共19页。因此求二阶常系数线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1) 求常系数线性齐次方程 y + p y + q y = 0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2，得该方程的通解 (2) 求常系数线性非齐次方程 y + p y + q y = f (x) 的一个特解 y*.那么，方程的通解为 y = Y + y*. Y=C1 y1 + C2 y2.下面只介绍当非齐次项f(x)取以下两种特殊的函数形式时，如何求特解：第4页，共19页。二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构其中难点：如何求特解？方法：待定系数法.一、 型第5页，共19页。设非齐方程特解为代入原方程第6页，共19页。综上讨

3、论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.第7页，共19页。特别地第8页，共19页。例 1求方程 y + y + y = 2e2x 的一个特解.解a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0，则代入方程，得故原方程的特解为所以，设特解为.B72=第9页，共19页。提示 因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0 xb1 把它代入所给方程 得 例2 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 b0 xb12b0 xb13b0 xb13b0 x2b

4、03b1 2b03b0 x3b1 3b0 x2b03b13x1 提示3b03 2b03b11 特解形式第10页，共19页。解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程, 得原方程通解为例3第11页，共19页。利用欧拉公式第12页，共19页。注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.第13页，共19页。解对应齐方通解作辅助方程代入上式所求非齐方程特解为原方程通解为（取虚部）例4第14页，共19页。解对应齐方通解作辅助方程代入辅助方程例5第15页，共19页。所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意第16页，共19页。三、小结(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.第17页，共19页。思考题写出

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