数学分析第2章(2.2)

1、数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云第二章 极限与连续第一节 数列极限和无穷大量第二节 函数极限第三节 连续函数第四节 无穷小量与无穷大量的阶第二节 函数极限二、 x 趋向有限值时函数的极限一、x趋向无穷大时函数的极限三、 函数极限的性质与运算四、函数值趋于无穷大的情形一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.一、自变量趋向无穷

2、大时函数的极限 通过上面的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.定义1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在着正数 ,使得对于适合不等式 的一切 , 所对应的函数值 都满足不等式,那末常数 就叫函数 当 时的极限,记作2.另两种情形: 3.几何解释:例1证例2 证明证故不妨设|x|1，而当|x|1时二、自变量趋向有限值时函数的极限定义2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式 的一切 ,对应的函数值 都满足不等式,那末常数 就叫函数 当 时的极限,记作2.几何解释:注意：函数极限的演示dd目的：对任意的e0, 要找d0，使得0|x-x0

3、|d 时，有|f(x)-A|e.即 A-e f(x) A+e.哈哈, d找到了!dd这样的d 也能用,看来有一个d 符合要求,就会有无穷多个d 符合要求!证例3例4证例5证例6证函数在点x=2处没有定义.3.单侧极限:例如,左极限 右极限左右极限存在但不相等,例7证定理 如果当xx0时f(x)的极限存, 那么这极限是唯一的 证明， x x f B A 时的极限 当 都是 设 0 , , ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 e d d e - - $ A x f x x 时有 当 则 , ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d - - $ B x f x x 时有 当 故有 同时成立 时

4、 则当 取 ， x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1 d d d d - = . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( e $ = = . 1 ) ( 1 ) ( + - A x f A x f . ) ; ( ) ( 0 内有界 在 即 d x U x f o 3. 局部保号性定理证明 设A0,对任何0,使得对一切这就证得结论.对于A 0的情形可类似地证明.推论定理 (函数极限的局部保号性) 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么对任何正数rA (或 r 0 (或f(x) -r $ - = 使得 则 取 设 . ) ( r A x f

5、 = - e 有 . 0 的情形类似可证 对于 r 推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0) 3. 局部保号性定理 (函数极限的保不等式性) 证明). ( lim ) ( lim ), ( ) ( ) ; ( ) ( ), ( 0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 则 内有 极限都存在且在 时 如果 d o , ) ( lim , ) ( lim 0 0 B x g A x f x x x x = = 设 ) 1 ( ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A

6、x x - - $ e d d e 时有 当 则 ) 2 ( . ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d + - $ B x g x x 时有 当 于是有 同时成立 与 不等式 时 则当 令 ， x g x f x x ) 2 ( ), 1 ( ) ( ) ( , 0 , , , min 0 2 1 - = d d d d d , ) ( ) ( e e + - B x g x f A . , 2 B A B A + 的任意性知 由 从而 e e 4 保不等式推论定理 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(

7、x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A 证明), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x g A x x ， - - $ e d d e 时有 当 按假设 . ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d + - $ A x h x x 时有 当 故有 同时成立 时上两不等式与 则当 令 , ) ( ) ( ) ( 0 , , min 0 2 1 x h x f x g x x - = d d d d , ) ( ) ( ) ( e e + - A x h x f x g A . ) ( lim ) ( 0 A x f ， A x f x x = - 即 由此得 e 5 迫敛性说

8、明: 利用性质6，可数列极限来判断函数极限不存在，其方法是：6 .Heine定理的不同数列法1 找一个数列且使法2 找两个趋于及使不存在 .例8证二者不相等,定理 设 , 则 1）2）3）7、 函数极限的运算法则定理之3）的证明 只要证， 令，由 ，使得当 时，有 ， 即 , 仍然由 ，.，使得当 时，有 . 取 ，则当 时，有 即 推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2注：1.定理的条件：存在商的情形还须加上分母的极限不为02.定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商3.定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立四、函数值趋于无穷大的情形特殊情形：正无穷大，负无穷大注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.不是无穷大无界，证例12.为非负常数 )五、两个常用不等式和重要极限扇形OAB的面积即OAB的面积OAC的面积例13据二项式定理例14 (e2.71828).x与n同时趋向+例15例16例17.例18.其它几个重要极限:函数极限的统一定义(见下表)小结过 程时 刻从此时刻以后 过 程时 刻从此时刻以后 思考题思考题解答无穷远点与有限点的关系这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当x沿直线趋于负无穷大时，圆周上对应的点按