《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学（苏教版）选修2-1【配套备课资源】第3章323

1、3.2.3空间的角的计算一、基础过关1 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150，则直线l与平面所成的角等于_2 若两个平面，的法向量分别是n(1,0,1)，(1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_3 已知A，P，eq o(PA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，r(2)，平面的一个法向量neq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，r(2)，则直线PA与平面所成的角为_4 在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABeq r(2)BB1，则AB1与C1B所成角的大小为_5 如图，在正四面体ABCD中，点E为BC

2、中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为_6 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN的大小是_二、能力提升7 二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2eq r(17)，则该二面角的大小为_8 设ABCD、ABEF都是边长为1的正方形，FA平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角为_9 正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点求异面直线AE与CF所成角的余弦值10如图，已知点P在正方体A

3、BCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小11如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC2，BDeq r(2).CF与平面ABCD垂直，CF2.求二面角BAFD的大小三、探究与拓展12如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC的中点(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面EDB；(3)求二面角BDEC的大小答案1602603604905eq f(2,3) 690760860 9解不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直

4、线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)，由eq o(AE,sup6()(1,0,2)，eq o(CF,sup6()(1，1,2)，得|eq o(AE,sup6()|eq r(5)，|eq o(CF,sup6()|eq r(6).eq o(AE,sup6()eq o(CF,sup6()1043.又eq o(AE,sup6()eq o(CF,sup6()|eq o(AE,sup6()|eq o(CF,sup6()|coseq o(AE,sup6()，eq o(CF,sup6()eq r(30)coseq o(AE,s

5、up6()，eq o(CF,sup6()，coseq o(AE,sup6()，eq o(CF,sup6()eq f(r(30),10)，异面直线AE与CF所成角的余弦值为eq f(r(30),10).10解(1)如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz.则eq o(DA,sup6()(1,0,0)，eq o(CC,sup6()(0,0,1)连结BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设eq o(DH,sup6()(m，m,1) (m0)，由已知eq o(DH,sup6()，eq o(DA,sup6()60，由eq o(DA,sup6()eq o(DH,sup6()|e

6、q o(DA,sup6()|eq o(DH,sup6()|coseq o(DH,sup6()，eq o(DA,sup6()，可得2meq r(2m21).解得meq f(r(2),2)，所以eq o(DH,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1).因为coseq o(DH,sup6()，eq o(CC,sup6()eq f(f(r(2),2)0f(r(2),2)011,1r(2)eq f(r(2),2)，所以eq o(DH,sup6()，eq o(CC,sup6()45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是eq

7、o(DC,sup6()(0,1,0)因为coseq o(DH,sup6()，eq o(DC,sup6()eq f(f(r(2),2)0f(r(2),2)110,1r(2)eq f(1,2)，所以eq o(DH,sup6()，eq o(DC,sup6()60.可得DP与平面AADD所成的角为30.11解过点A作AE平面ABCD.以A为坐标原点，eq o(BD,sup6()、eq o(AC,sup6()、eq o(AE,sup6()方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)于是Beq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，1，0)，Deq blc(rc)(avs

8、4alco1(f(r(2),2)，1，0)，F(0,2,2)设平面ABF的法向量n1(x，y，z)，则由eq blcrc (avs4alco1(n1o(AB,sup6()0，,n1o(AF,sup6()0，)得eq blcrc (avs4alco1(f(r(2),2)xy0，,2y2z0.)令z1，得eq blcrc (avs4alco1(xr(2)，,y1.)所以n1(eq r(2)，1,1)同理，可求得平面ADF的法向量n2(eq r(2)，1,1)由n1n20知，平面ABF与平面ADF垂直，所以二面角BAFD的大小等于eq f(,2).12(1)证明四边形ABCD为正方形，ABBC.又E

9、FAB，EFBC.又EFFB，EF平面BFC.EFFH，ABFH.又BFFC，H为BC的中点，FHBC.FH平面ABC.以H为坐标原点，eq o(HB,sup6()为x轴正方向，eq o(HF,sup6()为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设BH1，则A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)设AC与BD的交点为G，连结GE，GH，则G(0，1,0)，eq o(GE,sup6()(0,0,1)又eq o(HF,sup6()(0,0,1)，eq o(HF,sup6()eq o(GE,sup6().又GE平面EDB，HF平面EDB，FH平面EBD.(2)证明eq o(AC,sup6()(2,2,0)，eq o(GE,sup6()(0,0,1)，eq o(AC,sup6()eq o(GE,sup6()0，ACGE.又ACBD，EGBDG，AC平面EDB.(3)解eq o(BE,sup6()(1，1,1)，eq o(BD,sup6()(2，2,0)设平面BDE的法向量为n1(1，y1，z1)，则eq o(BE,sup6()n11y1z10，eq o(BD,sup6()n122y10，y11，z10，即n1(1，1,0)eq o(CD,sup6()(0，2,0)，eq o(CE,sup6()(1，1,1)设平