2.1注册电气公共基础 第8讲 高等数学(八)(XXXX新版)

1、.PAGE ：.；PAGE 6页四、微分及其运用一微分概念 1 微分的定义设函数 y = f ( x 在某区间 I 内有定义，。假设函数的增量其中 A 是不依赖的常数，那么称 y = f ( x 在点 x0可微分，叫做 y = f ( x 在点 x0相应于自变量增量的微分，记作 dy ，即函数 y = fx劝在点 x 的微分称为函数 y = f ( x 的微分，记作 dy 或 df ( x)。2 函数可微分的充分必要条件函数y = fx在点 x0 可微分的充分必要条件是 f ( x 在点 x0 可导，且当 f ( x ) 在点 xo可导时，其微分一定是函数的微分是通常把称为自变量的微分，记作

2、dx ，即于是函数的微分可写成而导数可写成即导数等于函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商。二根本微分公式与微分法那么1 根本微分公式2 函数和、差、积、商的微分法那么设函数 u = u ( x 、v v ( x 均可微，那么3 复合函数的微分法那么设 、均可微，那么 也可微，且三微分的运用由微分的定义可知，当且很小时，有于是可得几个工程上常用的近似公式假定比较小 :四例题 【 例 1-2 -29 】解【 例1-2-30 】解【 例1-2 -31 】计算sin3030的近似值。 【解 】 把sin3030化为弧度，得【 例 1-2 - 32 】 计算 的近似值。五、中值定理与导数的运用一

3、中值定理 1 假设函数 f ( x 在闭区间 a ，b上延续，在开区间 a , b 内可导，且 f ( a ) = f ( b ) ，那么至少有一点 a， b ) ，使得 f ( 0。2 拉格朗日中值定理假设函数 f ( x 在闭区间 a ，b上延续，在开区间 a , b 内可导，那么至少有一 点 a， b )，使得下式成立二求未定式的值的方法 罗必塔法那么1 未定式与的情形关于要的情形：设 1 )当 x a 或 x时， f x0 且 F ( x ) 0 ,( 2 ) 在点 a 的某去心邻域内或当X N 时 , f ( x 及 F ( x 都存在且F x0 ,那么 假设 仍属型 ，且 f (

4、x 、 F x满足上述三个条件，那么可继续运用罗必塔法那么，即对于型，也有相应的罗必塔法那么，这里不再赘述。2 其他方式的未定式的情形其他尚有 0 、-、 00 、 1、0 型的未定式，它们均可经过变形化成或的情形。如 0 型可变构成或，-型经过通分，00、1、0经过取对数变形。三函数性态的判别 1 函数单调性的断定利用一阶导数的符号断定，如表 1-2-1 所示。2 函数极值的断定利用一阶导数断定，如表 1-2-2 所示。利用二阶导数断定，如表1-2-3 所示。3 曲线凹、凸及其拐点的断定利用二阶导数的符号断定曲线的凹、凸，如表 1-2- 4 所示。延续曲线 y = f ( x 上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。假设 f x0=0,而 f ( x 在x0的左右两侧临近异号，那么点x0， f ( xo ) 就是一个拐点。4 曲线的渐近线假设 =y0，那么曲线 y = f ( x 有程度渐近线 y = y0 ; 假设 =,那么曲线 y f ( x ) 有铅直渐近线 x = x 0；四最大值最小值问题设 f ( x 在闭区间 a , b 上延续、除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零，求 f x在 a ，b上的最大值