2022年《综合法与分析法》参考教案

1、学习好资料 欢迎下载综合法与分析法教学目的：1把握综合法、分析法证明不等式；2娴熟把握已学的重要不等式；3增强同学的规律推理才能 教学重点： 综合法、分析法 教学难点： 不等式性质的综合运用一、复习引入：1重要不等式：假如a,bR,那么a2b22 ab 当且仅当ab时取a号号.2定理 ：假如 a,b 是正数,那么a2bab 当且仅当b 时取3 公式的等价变形 ：aba22b2,ab（a2b）24ba2（ab0）,当且仅当 ab 时取“”号；ab5比较法之一（作差法）步骤：作差 比较法之二（作商法）步骤：作商 二、讲解新课： 变形 判定与 0 的关系 结论 变形 判定与 1 的关系 结论（一）

2、1综合法： 利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何 平均数定理） 和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法2用综合法证明不等式的规律关系是：AB 1B 2B nB3综合法的思维特点是：由因导果,即由已知条件动身,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法（二） 1 分析法： 证明不等式时,有时可以从求证的不等式动身,分析使这 个不等式成立的条件, 把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,假如 能够确定这些条件都已具备, 那么就可以确定原不等式成立, 这种方法通常叫做 分析法2用分析法证明不等式的规律关系是：BB 1B 2B nA学习好资料

3、 欢迎下载3分析法的思维特点是： 执果索因4分析法的书写格式 ：要证明命题 B 为真,只需要证明命题 B 为真,从而有 这只需要证明命题 B 为真,从而又有 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真,故命题 B 必为真例 1：已知 a b是正数,且 ab,求证： a33 b2 a bab2转化尝试, 就是不断查找并简化 欲证不等式成立的充分条件, 到一个明显或易证其成立的充分条件为止 . 其规律关系是：BB 1B 2B nA证明： a0,b0,且ababa b , 要证3 a3 ba b ab ,只要证 2 22 a b a2 ab b只要证a2abb2ab,只要证a22abb20. ab

4、0,ab 20即a22ab2 b0得证 . 注： 分析法 的思维特点是： 执果索因 .对于思路不明显 ,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径 .另外 ,不等式的基本性质告知我们 样的变形 ,分析时贵在变形 ,不通思变 ,变就通联想尝试,就是由已知的不等式及题设条件动身产生可以对不等式做这样或那联想 ,大胆尝试 ,巧用已知不等式及不等式性质做适当变形,推导出要求证明的不等式.其规律关系是：AB1B2BnB法二：证明： a0,b0,且ab3 a2 ab2 2 a b,3 b2 ba2 2 ab , 3 a2 ab3 b2 ba2 2 a b2 2 ab ,a33 b2 a b2 ab法三a3a

5、3b3aab3学习好资料 欢迎下载注：综合法 的思维特点是： 执因索果 . 基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想 往往能启示我们证明的方向 .尝试时贵在联想, 浮想联翩,思潮如涌 ；例 2.（P23 例 1）已知a,b,c是不全相等的正数 ,求证cb22ab 三式ab2c2b c2a2ca2b26 abc证明：b2c22bc,a0, ab2c22abc同理bc2a22abcc a2b22abc 由于 a,b,c 不全相等,所以b2c22bc, c2a22ca, a2不能全取 “ =”号,从而、三式也不能全取“ =”号 a2b2ab2c2bc

6、2a2ca2b26abc法二：ab2bc22 ca3 33 ab3c3法三：ab2ac2bc2ba2ca2cb26 6法四：ab2ba22法五：a2 bc2b c2a2c a2b23 3a b22 c b 2 ca2例 3（P23 例 2）.已知a1,a 2,anR,且a 1a2an1,求证（1a 1 1a21an2n转变 :同样的条件 ,怎样证明 : （2a12a22an3n证明：a 1R,1a11a 1a1即21a 12a 1,同理1a 22a 2 1a n2a n由于a1,a 2,anR,由不等式的性质,得（1a 1 1a2 1a n2na 1a 2an2n由于ia1时,1a i学习好资

7、料欢迎下载a2an1时取等2a i取等号,所以原式在a 1号变式：已知a1,a 2,an2R,且a 1a2an1,求证（2a 12a2an3n36例 4、（P24 例 3）求证27证（略）四、课堂练习：1设 a, b, c R,bc2a22 abc |a2b1 求证：a2b22a22 求证：a2b22 bc23 如 a + b = 1, 求证：a1b1 22|ab2证： 1 a22b2a2b2a2b2022a2b22abc2cc 2a22a2 同理：b2c22bc,22c2c2ab三式相加：a22 bb2a223 由幂平均不等式：1a1b1a12ba21b2ab21 21222222 c22a1b1222d2已知 a,b,c,dR,求证 :ac+bd学习好资料 欢迎下载分析一 :用分析法证法一 :1当 ac+bd0时,明显成立2当 ac+bd0 时,欲证原不等式成立 , 只需证 ac+bd 2a 2+b 2c 2+d 2 即证 a 2c 2+2abcd+b 2d 2a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2即证 2abcdb 2c 2+a 2d 22即证 0bc-ad由于 a,b,c,dR,所以上式恒成立 , 综合 1、2可知:原不等式成立分析二 :用综合法证法二 :a 2+b 2c 2+d 2=a 2c 2+a