一道数学趣题及其常见解答

1、、一道数学趣题及其常见解答有一道数学趣题，流传着许多种版本，大量出现在小学教材和课外读物里mi.现以上海版六年级数学课本中的一道习题m为例展开讨论.古印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把ii头牛分给三个儿子，老大分得总数的2 ,老二分得总数的4 ,老三分得总数的忆.按印度的教规，牛被视为神灵，不能宰杀，只能整头分.三兄弟为此一筹莫展，你能帮助他们解决问题吗？据说，在场的一位智叟巧妙地解决了这个难题。他先借给他们 1头牛，使牛 的总数变成12,然后三兄弟按遗嘱中的比例各分得 6头、3头和2头；最后，剩 下1头，又还给智叟.从而，问题得到解决，且各方皆大欢喜.在此方案启发下，人们想出了许多种解答方

2、法.常见的有：(1)借一法先借1头，使牛的总数变成12.三兄弟各分得总数12的11,即6头、3头和2头.最后剩下1头，物归原主.这样，三兄弟既是按遗嘱份额要求，又是将11头整分完的.所以，问题得解.【6】可1 1 1 11I(2)级数法因三兄弟的总份额为2 4 6 12,故老大第一次从总数11-X11中分得211后，第二次可从总剩余量12中，分得2 12 .照此一直分下去，老-yr=6大分得的总头数为2 HB.同理，老二、老三分得的总头数各为3和2.严格按遗嘱份额要求，11头被整分完问题得解.期111丈 _ Q - J 1 2 连比法 因24-6，且6 + 3 + 2=11 ,故三兄弟各分得6

3、头、3头和2头.按遗嘱比例要求，11头被整分完问题得解.口期X X(4)方程法设老大分得；头，则老二和老三各分得5头和三头.依题意得方程 2 3,解之得1二6 .故三兄弟各分得6头、3头和2头.按遗嘱比例要求，11头被整分完问题得解.网11 r 11 , 11 n界 6总 3网 2. - .(5)舍入法 因2,4,6，且6 + 3 + 2= 11 ,故三兄弟各分得6头、3头和2头.近似按遗嘱比例要求，11头被整分完问题得解.曲但也有人认为这是一道错题，无法解.即：112(6)归错法既要求三兄弟各分得总数的,又要求整分11,这无法实现.所以，此为错题，无法解.还有人认为此题自相矛盾，故无解.即:

4、（7）矛盾法 11既不能被分尽, 无解.；1 +因3 4 6-12,且总数11为素数，若按遗嘱要求，则又不能被整分，故遗嘱内容自相矛盾，要求无法满足.本题然而，这是错题吗？若否，又是否有解？若有，又该怎样解呢?、对常见解答的剖析法（1）似乎既巧妙又合理，但其中的推理存在逻辑漏洞.因为实际是以12而非遗嘱要求的11为总数进行分配的，故推理有漏洞.但这是否也说明智叟的 解决方案有问题呢？本问题留在 3.2节回答.法（2）巧妙利用极限思想，既是一次次严格按遗嘱份额分配，又恰将 11整 分，似无毛病，但也有漏洞.问题就出在“一次又一次地分割”，因遗嘱没说“一 次不能分尽，可再分”.就像叫小孩吃半个月饼

5、一样，小孩不能先吃半个，再吃 剩下半个的一半；否则，一直这样吃下去，几乎是要把整个月饼吃光的.这就不 是吃半个月饼了.法（3）似乎既精巧又无懈可击，但仍有漏洞.因“2 4 6 ,一 ，且116+3+2=11”表示“按57k的比例把11头牛分完”，但遗嘱要求的是分别112把总数11头牛的分给三兄弟.当且仅当几个正分数的和为 1时，这两种1 1 1 11 , F I：=丰 1分法才等价.这里的2 4 6 12,故两者不等价.所以，法（3）仍有漏洞.法（4）虽巧妙利用了方程思想，但还是有漏洞.问题就出在“依题意得方 程”，因方程并不合题意.错误的实质与法（3）同，即当且仅当几个正分数的 和为1时，方

6、程才符合题意.故法（4）还是有漏洞.法（5）似乎显得荒诞，但它或许蕴涵着某种重要的解题思想.法（6）显然不对.一方面，这是生活中可能出现的实际问题；另一方面， 题中矛盾并非设计者考虑不周所致， 而是为考验解答者智慧所精心设置. 故本题 并非错题，而是匠心独运的好题.法（7）似乎是唯一正确的解答，但本问题真的无解吗？下面我们来做进 步讨论.n尽管解答（7）已由万非整数，否定了严格满足本题条件的整数解不存在,即认为无解，但这并未解决问题，因为我们所面临的是分牛的现实问题. 这里的 “无解”既未告诉人们是否应该分牛，又未指出“若分，又该怎么分；若不分，又将怎么办” .所以，解答（7）实际上并未解决分

7、牛纠纷.为什么会出现这样 的尴尬，我们又该怎样解决这一矛盾呢？为此， 我们尝试用下面的办法，看是否 能解决问题.三、本题在“逐层分析，退求其次”解题策略下的解决方案. “逐层分析，退求其次”的解题策略为解决与本趣题类似的问题，不妨，我们将数学解答题分为情景化问题和抽 象化问题（下面简称情景问题和抽象问题） 两大类.如“一个小孩先吃2个苹果， 再吃3个苹果，问小孩一共吃了几个苹果？” ，就是一个具有情景的数学问题.我 们可以把它抽象成“ 2+3 = ?”，这里的“ 2+3二？”就是前面的情景问题对应 的抽象问题.于是，解答数学问题时，需分类进行.对于抽象问题，首先应判断其前提是 否有矛盾或不周密

8、.若是，则问题无解；若否，则继续解下去.但对于情景问题， 情况要复杂得多.通常，我们是将其转化为抽象问题来解的.当抽象问题有解时， 还要看该解是否与情景相符.若是，则抽象问题的解就是对应情景问题的解； 若 否，则它不是情景问题的解，应舍去.当抽象问题无解时，人们往往误以为对应 的情景问题就一定无解.然而，事实并非如此.这是为什么呢？因为尽管抽象问题是由同一类情景问题族抽象而来，且族内任一情景问题都是该抽象问题的具体化，然而两者的解的含义却有很大差异. 抽象问题的解，是 严格满足命题条件的待求元的值； 情景问题的解，却是该问题的解决方案，它不 一定会严格满足命题的所有条件.当抽象问题无解时，只能

9、说，其对应的情景问 题无严格满足所有条件的精确解， 而不能说它无解.为使情景问题得到解决，在 它无精确解时，我们就要退而求其次，看是否能求得近似解，从而给出这一情景 问题的最佳解决方案.至于能否和怎样寻求最佳解决方案的问题，似可用“逐层分析法”.即把问 题所包含的矛盾分层次，且从高到低以次排列，使低层矛盾的解决以高层矛盾的 解决为条件.对于无精确解的情景问题，因至少存在某层矛盾得不到解决， 故需 优先解决高层矛盾，直到某层矛盾不能解决为止；最后，再针对该层矛盾求问题 的近似解.因此，求解数学问题的方法或步骤可归结如下:（D分清待解的是抽象问题，还是情景问题.（2）对于抽象问题，首先应判断其前提

10、是否有矛盾或不周密.若是，则问 题无解；若否，则继续解下去.（3）对于情景问题，一般是先将其转化为对应的抽象问题来解，然后根据 表1中两类问题解的对应关系，求出或确定情景问题的解.若抽象问题无解，则 还需用“逐层分析法”确定情景问题近似解的存在情况， 从而得到问题的解决方 案.表1抽象问题与情景问题解的对应关系问题类型抽象问题情景问题解的对应美系有解有（精确）解无解无解无解有（近似）解.本趣题在“逐层分析，退求其次”策略下的解答卜面，我们就按上述步骤和策略来解答本题.这是一个关于解决分牛纠纷的数学情景问题.由解法（7）知，其抽象问题 的前提存在矛盾，故抽象问题无解，但根据步骤（3）表1中情景问

11、题与抽象问 题解的对应关系知，本分牛问题可能存在近似解.若将题中矛盾按从高到低依次分成“是否分牛”、“是否整分牛”和“是否严格按遗嘱要求分牛” 3层，则根据“逐层分析法”求近似解的规则，应优先解 决上两层矛盾，让它们的状态都变成“是”，即在“分牛”且“整分牛”的前提 下求近似解.为此，可用前述方法（1） （5）中任意一种求解，且结果相同, 即3兄弟各分得6头、3头和2头.至此，我们看到，由方法（1） （5）得到的最终解决方案与智叟的一致， 且都是近似解，但它们又存在很大差别.方法（1） （4）在推理过程中，都存 在逻辑漏洞；方法（5）虽蕴涵了 “无精确解，就退而求其次”的 解题思想，但 还是略

12、显“武断”；惟有智叟，他只给出了处理纠纷的方案，而未象方法（1）(4)那样，还给出了含有逻辑漏洞的解释.因此，不仅智叟的方案正确，而 且其处理方法，对于古印度山区没有多少文化的农民来说，可谓是十分绝妙的.四、从人们对本题解答情况统计看数学教育1.关于人们对本题解答情况的统计(1)对网民解答情况的统计.笔者于2007年9月2日，在“百度”搜索网 站，分别以“分牛”、“分马”、“分羊”和“分牛问题”为关键词搜索，再截 取各关键词搜索到的前10页中与解答类似本趣题有关的帖子，获得对网民解答 统计情况，如表2.表2对网民解答情况的统计解答类别法借一法与 另一方法借一法 与另两 方法质疑 答案判为 无解

13、完整 解答总计帖子数r 752325 110 1106 1百分比71%22%2%5%1%0%100%(2)对大一新生解答情况的统计. 为掌握学生对本题的解答情况，并找出 其不能正确解答的原因，笔者对重庆邮电大学 07级经济学和市场营销两个专业 共105名来自全国各地的本科新生，就是否知道“智叟分牛”的故事、是否接触 过与本趣题类似的问题，以及接触的时间和途径等，进行了问卷调查，并要求他 们给出解答.对问卷回答及趣题解答情况的统计如表3和表4.表3对大学生入学前与本题接触情况的统计项目是否接触 过本趣题是否知道 分牛故事首次接触的时 问首次接触的途径是否是否小学初 中高 中上 课阅 读上 网听

14、说其 它人数693622831730221439196百分比66%34%21%79%16%29%21%13%37%1%9%6%表4对大一新生解答情况的统计解答类别未解 答法连比 法级数 法方程 法舍入 法判为 无解完整 解答总计人数2866711110105百分 比27%63%7%1%1%1%1%0%100%(3)对期刊论文解答情况的统计.以“分牛”、“分马”、“分羊”、“趣 味数学题”、“数学名题”和“借一还一”为题名或关键词，通过维普资讯 -中 文科技期刊数据库检索1989年-2007年的全部期刊，共获21篇与解本题有关的 论文.其中的解答情况统计如表 5.表5对期刊论文解答情况的统计解答

15、类别仅用法借一法 与另一 方法借一法与另两 方法判为 错题判为 无解质疑法等完整 解答总计篇数591123021百分 比24%43%5%5%10%14%0%100%2.从统计情况看数学教育从以上统计，可看到我国数学教育中存在如下问题:(1)学生受常规思维束缚严重.尽管这是一道小学的分配问题，但由于它不合常规，所以，在常规思维束缚下，约有 27%勺大一学生不能或不敢做答，另 约有72%勺学生只能用含有逻辑漏洞的常规方法“武断”地解出答案.所以，中 国数学教育中，常规思维训练太甚，创新思维培养严重不足.(2)迷信权威，不善质疑.一方面，教育“权威”因错误理解“智叟分牛” 的内涵，在将“分牛问题”编

16、入小学数学教材和初中数学课外读物时，给出了错 误的解答(如“解一法”、“连比法”等).另一方面，大量的中小学教师，在 不加质疑的情况下，又把这些似是而非的方法传授给了学生.所以许多学生对“借 一法”和“连比法”等“权威”解法深信不疑，并大胆运用.这里的统计显示, 网民、大一新生和论文作者，采用“借一法”的人数，各约占其总解答人数的 95% 86卿71%即他们对“借一法”提出质疑的人数，各约占其总解答人数的 5% 14%口 29%(3)成人的解题思想，受其职业背景影响显著.从期刊论文看，数学教师 多数是把“借一法”作为所谓的重要“解题思想”来运用，且小学教师多用“借 一法”与“连比法”(如文6 , 11 , 12 , 14 , 15),初中教师多用“借 一法”与“方程法”(如文8 , 10 , 13 , 17 , 18),高中教师多用“借一法