《数学史》古希腊数学(3)解析课件

1、圆锥曲线发展简史第1页，共67页。梅内赫莫斯（Menaechmus）约公元前380-前320，古希腊时代,属于柏拉图学派。为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。圆锥曲线的第一个人第2页，共67页。他是古希腊数学家，为欧多克斯（Eudoxus）的学生，又是柏拉图学园中的成员。他是系统地研究圆锥曲线的第一个人，建立最早圆锥取线的概念，并分为三类来研究它，所以后来的学者称为梅内赫莫斯（Menaechmus）三曲线。第3页，共67页。 梅内赫莫斯从倍立方问题的研究中受到启发。他取三种圆锥（即圆锥顶角为直角、锐角和钝角的圆锥），用垂直于锥面一母线的平面截每种锥面，分别得到了拋物线、椭圆和双曲线的一支。（见

2、课本第43面）第4页，共67页。 梅内赫莫斯曾当过当时亚历山大大帝的老师，亚历山大问梅内赫莫斯，是否可以专门为他把几何搞得简单一些。 梅内赫莫斯则回答说：在大王的国家里有老百姓走的小路，也有国王您走的大道，然而在几何里却只有一条道路。这个广为流传的故事出自古希腊晚期作家斯托比亚斯的著作之中。 故事第5页，共67页。2.2.3 阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯（Apollonius，公元前262前190）生于小亚细亚的珀尔加，就学于亚历山大城。后在Pergamum创建大学及图书馆。后返回亚历山大城执教。他所写数学专著极为丰富，至今有圆锥曲线、相切、轨迹、斜线等七部书传世。人们将欧几里得、阿基米德、阿波罗

3、尼奥斯为亚历山大数学三大师,时间约当公元前300年到前200年，这是希腊数学的全盛时期或“黄金时代” 第6页，共67页。阿波罗尼奥斯（约公元前262前190） 第7页，共67页。 阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学和天文学，但他最重要的数学成就是在前人的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论。圆锥曲线论就是这方面的系统总结。这部以欧几里得严谨风格(至今仍用来教不会的初学者的风格)写成的巨著，对圆锥曲线研究所达到的高度，直到17世纪笛卡尔、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。 第8页，共67页。第9页，共67页。圆锥概念: 从与圆不在同一平面上的一点作与圆相交的直线，如果该点固定，把所作直线沿圆周旋转，那么

4、生成的曲面是一圆锥面，固定点是顶点，顶点到圆心的直线是轴，圆称作圆锥的底。第10页，共67页。圆锥曲线ABC第11页，共67页。圆锥曲线论圆锥曲线论是一部经典巨著，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步。直到17世纪的B.帕斯卡和R.笛卡儿才有新的突破 。此书集前人之大成，且提出很多新的性质。他推广了梅内赫莫斯（公元前4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称。书中已有坐标制思想。他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启

5、发。他在解释太阳系内5大行星的运动时， 提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密的地心说提供了工具。 第12页，共67页。 在阿波罗尼奥斯之前，希腊人用三种不同圆锥面导出圆锥曲线。阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶锥得到所有的圆锥曲线（只要用一个平面曲截对顶锥即可，圆锥曲线有五种可能的类型椭圆、双曲线、抛物线、圆和直线），并给它们以正式的命名，现在通用的椭圆、双曲线和抛物线就是他提出的。 第13页，共67页。亚历山大里亚时期的希腊数学圆锥曲线圆锥曲线分8卷，共487个命题。现存前7卷，共382个命题。第一卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质。从一个对顶（直圆或斜圆）锥得到3种圆锥曲线。双曲线有两个分支，也是他

6、首先发现的。第14页，共67页。亚历山大里亚时期的希腊数学构造圆锥曲线的方法第一步定义轴三角形ABC。第二步利用截面定义圆锥曲线。第15页，共67页。亚历山大里亚时期的希腊数学第二卷 讨论双曲线渐近线的作法和性质，共轭双曲线的性质；圆锥曲线的直径和轴的求法；有心圆锥曲线的中心的概念；怎样作满足某种条件的圆锥曲线的切线。第16页，共67页。亚历山大里亚时期的希腊数学第三卷 讨论了切线与直径所围成的图形的面积；论述了极点和极线的调和性质，讨论了椭圆和双曲线的焦点的性质。第四卷 讲极点和极线的其它性质，并讨论了圆锥曲线相交的各种情况，证明了两条圆锥曲线至多相交于4点。第17页，共67页。亚历山大里亚

7、时期的希腊数学第五卷 讨论了从一点到圆锥曲线所能作的最长和最短的线段。第六卷 讨论了圆锥曲线的全等、相似和圆锥曲线弓形的性质及作图。第七卷 讨论有心圆锥曲线的两条共轭直径的性质。第18页，共67页。 圆锥曲线论中包含了许多即使是按今天的眼光看也是很深奥的结果，尤其突出的是第5卷关于从定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，其中实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念，它们是近代微分几何的课题。 第3、4卷中关于圆锥曲线的极点与极限的调和性质的论述，则包含了射影几何的萌芽思想。 第19页，共67页。总评圆锥曲线论可以说是希腊演绎几何的最高成就。阿波罗尼奥斯用纯几何的手段达到了今日解析几何的一些

8、主要结论，这是令人惊叹的。另一方面，这种纯几何的形式，也使其后数千年间的几何学裹足不前。几何学中的新时代，要到17世纪，笛卡尔等人打破希腊式的演绎传统后，才得以来临。第20页，共67页。2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落 通常从公元前30-公元6世纪的这一段时期，称为希腊数学的“亚历山大后期”。 亚历山大后期的希腊几何，已失去前期的光辉。这一时期开始阶段唯一值得一提的是几何学家海伦（Heron，公元前1世纪-公元1世纪间），代表作量度，主要讨论各种几何图形的面积和体积的计算，其中包括后来以它的名字命名的三角形面积公式 （ 为三角形面积， 为边长， ），其实这一公式最先为阿基米德所发现。 第2

9、1页，共67页。(1) 几何: 海伦量度(2) 三角学: 托勒玫大成(3) 算术与代数: 丢番图算术(4) 帕普斯数学汇编:希腊数学的安魂曲 希帕蒂娅之死(417A.D.):希腊数学的终结 亚历山大图书馆被焚 47 B.C. 凯撒; 392 A.D. 基督教徒; 640 A.D. 回教徒 这一时期的主要成就第22页，共67页。海伦 海伦，古希腊数学家、力学家、机械学家。生平不详。约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物理学等课程。他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传。主要著作是量度论一书。该

10、书共3卷，分别论述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。其中卷第8题给出著名的已知三边长求三角形面积的海伦公式。第23页，共67页。亚历山大后期和希腊数学的衰落他的成就还有：正3到正12边形面积计算法；长方台体积公式；求立方根的近似公式等。他在另一著作测量仪器中描述了一种类似现代经纬仪的仪器，并介绍如何使用它去解决各种测量问题。他发明的各种精巧器械，比理论上的成就更为人们所推崇，主要有气转球（被称为世界上第一个蒸汽机）、自动售货机、灭火器、水风琴、水钟等。其它著作还有气体力学、武器制造法、几何、测体积法等。 第24页，共67页。海伦公式量度共三卷斜三角形面积已知三角形的三条边求

11、其面积的海伦公式.第25页，共67页。亚历山大里亚时期的希腊数学圆内接正多边形面积与边长的关系依次计算正三角形、正五边形、六边形、正十二边形的面积与边长的关系，得出圆内接正多边形面积，从而估测圆周率为3.圆周率海伦借助阿基米德的结论计算密率为即第26页，共67页。亚历山大里亚时期的希腊数学弓形面积其推导思路是（1）取弧AB，BC中点M，N，得（2）同理，继续分割，得弓形面积海伦下结论：“如果计算的面积，并且增加三分之一，我们将得到极为接近的弓形面积，即”第27页，共67页。亚历山大里亚时期的希腊数学求整数平方根的近似值设不是完全平方数，则先取作为的第一近似值，然后取，再取等等，通过迭代过程，求

12、得较好近似值。第28页，共67页。亚历山大里亚时期的希腊数学用数值方法解决代数问题给定一正方形，已知其面积与周长之和为896，求其一边长。首先将其归结为方程然后在方程两边加4配成完全平方，最后将其开方而求其数值解。第29页，共67页。托勒密 相传他生于埃及的一个希腊化城市赫勒热斯蒂克。古希腊天文学家、地理学家和光学家。 一生著述甚多。著有天文学大成（主要论述了他所创立的地心说及地理学指南（主要论述地球的形状、大小、经纬度的测定，以及地图的投影方法）。通过系统的天文观测，测算出月球到地球的平均距离为29.5倍于地球直径，这个数值在古代是相当精确的。对几何学也有研究。还著有光学(5卷)等。 第30

13、页，共67页。Ptolemy (85 AD - 165)第31页，共67页。主要著作 托勒密著有四本重要著作：天文学大成（Almagest）、地理学(Geography)、天 文集(Tetrabiblos)和光学(Optics)。 第32页，共67页。天文学大成 500年的希腊天文学和宇宙学思想的顶峰统治了天文界长达13 个世纪。他面对的基本问题是：在假设宇宙是以地球为中心的、以及所有天体以均匀的速度按完全圆形的轨道绕转的前提下，试图解释天体的运动。无论这个体系存在着怎样的缺点，它还是流行了1300年之久，直到15世纪才被哥白尼推翻。 天文学大成第33页，共67页。天文学大成共13卷，天文和三

14、角混在一起，第1卷侧重三角，后面各卷侧重天文，但内容不是数学性质。第1卷编制一张从 到 的每隔 的弦表。 第34页，共67页。托勒密定理： 圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和。托勒密: 三角学正弦函数的定义：弦表(相当于正弦三角函数表): 给出了(1/2) 0 到1800 每隔 (1/2) 0 的圆心角所对的弦的长度，相当于给出了从 00 到 900 每隔 (1/4)0 的角的正弦。第35页，共67页。大成中的球面三角关系ADCBo第36页，共67页。两角和的正弦公式：即两角和的余弦公式：即 第37页，共67页。半角公式：即分析如下：AE=AB，CD2ACCF=CF（AC

15、-AB）/2 第38页，共67页。托勒密定理在圆内接四边形中，两对角线之积等于两对对边之积的和。 （大家试着证明一下这个定理）第39页，共67页。丢番图丢番图，是古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家（约公元年，据推断和计算而知）丢番图是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。第40页，共67页。 丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用，对後来的数论学者有很深的影响。丢番图的算术是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支。不过

16、丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。 从另一个角度看，算术一书也可以归入代数学的范围。代数学区别於其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。就引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想虽然未有现代方程的形式这几方面来看，丢番图的算术完全可以算得上是代数。 第41页，共67页。 希腊数学自毕达哥拉斯学派後，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。 一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜於解决问题，而

17、在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。他被後人称为代数学之父不无道理。第42页，共67页。丢番图算术第43页，共67页。最有名问题: 将一个已知的平方数分为两个平方数。 现代符号表述:已知平方数 z2 , 求数 x 和 y , 使 x2+y2=z2. 丢番图以 z2=16 来说明其解法: 设第一个平方数为x2, 则另一个平方数为16 - x2, 从而要求做到的是 16 - x2 是一个平方数 y2 . 令 y = m x - 4 , m 为某一整数, 4为16的根, 令m=2,于是有4 x2-16x+16=16 - x2. 从而x = 16/5 ,另一个为y=12/5

18、.算术:问题集,共13卷,目前发现10卷,含290个问题.主要贡献：(a). 不定方程求解;(b). 创用了一套缩写符号.缺点：方法不具有一般性.第44页，共67页。费尔马大定理：不定方程 xn+yn=zn ， n3无正整数解。由于一个大于2的整数n，当n是偶数时，必为4的倍数或为某个奇质数的偶数倍，当n是奇数时，必是一个奇质数p的倍数。因此，实际上只需证明 和（p为奇质数）都没有正整数解就可以了。对 可用无穷递降法证明，而 无正整数解的证明是非常困难的。第45页，共67页。什么是不定方程？顾名思义即方程的解不定.一般地有不定方程定义：不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，或未知数受到某种限

19、制(如整数 ，正整数等）的方程和方程组。第46页，共67页。 丢番图算术的另一项重要贡献是创用了一套缩(suo)写符号。特别是他使用了特殊的记号来表示未知数，据考证这个符号是。 丢番图还用专门的符号来记乘幂，二次幂记为 三次幂是 ,四次幂是 五次幂 等等。减号为 ，方程中所有的负项都放在一个减号后，未知数乘幂的系数是用放在该幂号后的希腊数字表示，常数项记作 （上面带一个。）。 这样，方程 记作丢番图使用的是所谓爱奥尼亚数字第47页，共67页。寿命计算 他的寿命有多长，下面这些文字可以告诉你： 他的童年占一生的1/6，接着1/12是少年时期，又过了1/7的时光，他找到了终生伴侣。 5年之后，婚姻

20、之神赐给他一个儿子， 可是儿子命运不济， 只活到父亲寿数的一半，就匆匆离去。 这对他是一个沉重的打击， 后来4年，丢番图因为失去爱子而伤悲， 终于告别数学，离开了人世。 第48页，共67页。寿命计算唯美版 上帝给予的童年占六分之一， 又过十二分之一，两颊长胡， 再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。 五年之后天赐贵子， 可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年， 他也走完了人生的旅途。 第49页，共67页。寿命解法1.丢番图的寿命： 解：x=16x+112x+17x+5+12x+4 x=2528x+9 x-2528x=9 328x=9 x=93*2

21、8 x=84 答：由此可知丢番图活了84岁。 第50页，共67页。寿命解法第二种解法: 127=84 解答: 答案就是“12”、“6”、“7”中最大互质因子的乘积“127=84” 第51页，共67页。 亚历山大最后一位重要的数学家是帕波斯（Pappus，约公元300-350）。亚历山大晚期的数学研究大都以对前代名家著作评注的形式出现。在众多的评注家中，帕波斯是最出色的一位。他唯一的传世之作数学汇编(Mathematical Collection)，就是一不荟萃总结前人成果的典型著作，在数学史上有特殊的意义。 第52页，共67页。 数学汇编也包含了帕波斯本人的创造性贡献。突出例子有等周问题；在周

22、长相等的平面图形中，圆的面积最大。帕波斯还据此考察了蜂巢结构的某种极值性质。关于旋转体体积的帕波斯定理一平面图形绕同一平面上的轴线旋转形成的立体体积，等于这图形的面积乘以其重心所画圆周的长，到17世纪被古尔丁(P.Guldin)重新发现。 第53页，共67页。帕波斯帕普斯帕普斯（Pappus，公元4世纪上半叶）生于亚历山大城，以评注欧几里得原本、大汇编著称。唯一的传世之作是数学汇编。亚历山大最后一位重要的数学家。第54页，共67页。亚历山大里亚时期的希腊数学勾股定理的推广第55页，共67页。帕波斯帕普斯定理如果A、B、C是一直线g上三点，A、B、C是另一直线h上三点，则AB与AB，AC与AC，

23、BC与BC三对直线的交点X、Y、Z共线。第56页，共67页。 数学汇编被认为是古希腊数学的安魂曲。帕波斯之后，希腊数学日渐衰微。基督教在罗马被奉为国教后，对异教学者横加迫害。公元415年，女数学家希帕蒂亚(Hypatia)被一群基督暴徒残酷杀害。这预示了在基督教的阴影的笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运。 第57页，共67页。有史记载的第一位女数学家 古希腊是数学的故乡。古希腊人为数学的进步耗费了大量心血甚至生命，做出了卓越的贡献。这个文明古国哺育了许多数学家，象泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里德、阿波罗尼斯、阿基米德、托勒玫、海伦、丢番图等。希帕蒂娅（Hypatia）这位有史以来的第一位女数学家也诞生

24、在这里。 第58页，共67页。希帕蒂娅，约公元前370415第59页，共67页。 公元370年希帕蒂娅出生在亚历山大城的一个知识分子家庭。父亲赛翁（Theon）是有名的数学家和天文学家，在著名的亚历山大博物院教学和研究，那是一个专门传授和研讨高深学问的场所。一些有名的学者和数学家常到她家做客，在他们的影响下，希帕蒂娅对数学充满了兴趣和热情。她开始从父辈那里学习数学知识。赛翁也不遗余力地培养这个极有天赋的女儿。10岁左右，她已掌握了相当丰富的算术和几何知识。 第60页，共67页。 希帕蒂娅不仅容貌美丽，而且聪明好学。20岁以前，她几乎读完了当时所有数学家的名著，包括欧几里德的几何原本、阿波罗尼斯的圆锥曲线论、阿基米德的论球和圆柱、丢番图的算术等。 为了进一步扩大自己的知识领域，公元390年的一天，希帕蒂娅来到了著名的希腊城市雅典。她在小普鲁塔克当院长的学院里进一步学习数学、历史和哲学。她对数学的精通，尤其是对欧几里德几何的精辟见解，令雅典的学者钦佩不已，大家都把这位二十出头的姑娘当作了不起的数学家。一些英俊少年不由得对她产生爱慕之情，求婚者络绎不绝。但希帕蒂姬认为，她要干一番大事业，不想让爱情过早地进入自己的生活。因此，她拒绝了所有的求爱者。 此后，她又