三维转动群覆盖群

1、3.3 三维转动群的覆盖群SU(2)一、二维幺模幺正矩阵群SU(2)1. 群元素对于群中任意元素u，它的矩阵元素满足 二维幺模幺正矩阵（detR=1,R+R=RR+=1）的集合，按照普通矩阵的乘法，满足群的四个条件，构成群，记作SU(2)群1将复数c，d用4个实数表示出来，取则 4个实数中只有3个是独立的为了下面方便讨论，我们用实矢量 的球坐标,来代替上面实参数hi（3个独立的量）2其中， 的长度是,方向沿n(,)方向其中引入矢量代表3个泡利矩阵：无迹，幺正，厄米矢量 满足所有矢量的代数关系，如矢量点乘3由上面式子可以证明SO(3)群 二、群空间与SO(3)相比较，矢量 的变化范围即为群空间：

2、半径为2的球体球内的点与SU(2)群元素u间有一一对应的关系外部球面上的点对应同一个元素（-1）特点SU(2)群的群空间是连通的；群中任一元素u都可以由恒元出发，在群空间连续变化得到简单李群4连通度单连通SO(3)群空间：只有直径两端的点对应同一元素（连线按跳跃次数的奇，偶分两组，双连通）SU(2)群空间：外球表面对应同一个元素（球面上的跳跃可以看成一条连续曲线，可通过曲线在群空间的连续变化，消去跳跃，因此只有一组连线，单连通）SU(2)群是紧致李群 （群空间是欧氏空间的闭空间）相同的元素u(n,)互相共轭，构成一类三、SO(3)与SU(2)同态关系1. 无迹厄米矩阵X泡利矩阵：无迹，厄米，幺

3、正 泡利矩阵的实线性组合，仍是无迹，厄米矩阵5反之，任何二维无迹、厄米矩阵X，若只包含三个独立实参数，则可展开为泡利矩阵的实线性组合现取：组合系数为三维空间任一点P的三个直角坐标，即无迹矩阵与P点位置坐标 r 有一一对应关系，可验证2. 同态关系的建立设uSU(2)，是任意一个二维幺模幺正矩阵，X经过u-1的相似变换仍是一个无迹厄米矩阵6且有相同的行列式 detX=detX无迹矩阵X与 r ，则X与r 一一对应关系，即X对应空间另一点P r 的分量可以表示为 r 的分量的线性齐次函数因此 RO(3) 显然 u取恒元时，X=uXu-1相当于无变换，则r与r重合，即R是恒元7 u可以由恒元在SU(

4、2)群空间连续变化得到，对应R也可由恒元在O(3)群群空间连续变化得到（但只能是在有恒元的一个连续片内），即RSO(3) 将XX，对应点变化 PP，位置矢量 rr 的变换 RSO(3) 反之，若RSO(3),它将rr,对应点变化 PP，则XX；因为X是无迹厄米矩阵，且detX=detX，所以X与X必将通过幺模幺正相似变换uSU(2)相联系，即前面的 X=uXu-1，但这样的矩阵不唯一 设（u2-1u1）可于任意矩阵X对易，则它必为常数矩阵，即8u2、 u1为幺模矩阵：各相似变换之间差一个+1因此，即所有相似变换矩阵为 +u_ 将X、X按泡利矩阵展开式代入它们的相似变换，则给出了SO(3)群一个

5、元素R与SU(2)群一对元素+u间的对应关系_容易证明：这种对应关系对群元素乘积保持不变，即SO(3)SU(2)将u(n,)具体表达式代入，通过直接计算可得R矩阵（正是前面给出的形式）9说 明群元素对应关系至此：SO(3)群空间：半径为的球体 SU(2) ： 2半径为的球体内，SO(3)与SU(2)元素一一对应SU(2)：2间圆环所对应元素，等于半径为的球体内相应元素的负值这一对+u对应SO(3)群同一元素_10群SO(3) 双连通，SU(2) 单连通，则SU(2)是SO(3)的覆盖群，同态对应关系 2：1SO(3) 群的真实表示，称为单值表示，却不是SU(2)群的真实表示；（D(SO3)SO

6、3SU2） SU(2)群的真实表示，严格说来不是SO(3)的表示，通常称为SO(3)群的双值表示，在物理上与自旋密切相关只要找到了SU(2)群的全部不等价不可约表示，也就找到了SO(3)群的全部不等价不可约单值表示和双值表示四、群上的积分1. 积分概念有限群中群函数对群元素取平均值，推广到李群，变成群函数对群元素的积分，即对群参数的带权积分11权函数权函数：1）群空间中，群元素R对应点的邻域 dr 体积内，元素的相对密度2）要求权函数(R)单值，可积，不小于零，不发散，在群空间任何一个测度不为零的区域内不恒为零3）要求权函数在整个群空间积分是归一化的F(R)0,但不恒等于零群函数在群空间对群参

7、数的这种积分，称为群上的积分122. 群上积分的特点显然是线性运算希望选择权函数W(R)，使群上的积分对左乘、右乘群元素都保持不变即 (dr)W(R)不依赖与群元素R以为参数计算SU(2)群群上积分的积分元结果参数径向长度SO(3)群径向参数变化范围缩小一半对类积分，可将角度积掉133. 紧致李群的表示理论线性表示等价于幺正表示；两个等价的幺正表示可通过幺正的相似变换相联系实线性表示等价于实正交表示；两个等价的实正交表示可通过实正交的相似变换相联系可约表示一定是完全可约的；不可约表示的充要条件：找不到非常数矩阵与所有表示矩阵对易，即不等价不可约幺正表示矩阵元、特征标满足正交关系14任何表示都可按不可约表示展开对特征标的积分，可化为类上的积分，如 SU(2)群：表示等价的充要条件：每个元素在两个表示中的特征标对应相等 表示不可约的充要条件：15对SU(2)群，不等价不可约表示特征标的正交关系为当 i