清华大学数学实验1

1、数学实验Mathematical Experiments实验1 数学建模初步清 华 大 学 数 学 科 学 系 谢金星办公室：理科楼1202# 电话：62787812E-mail: jxiehttp: /jxie1内容提要数学模型的基本概念 数学建模实例 数学建模的重要意义数学建模的一般步骤如何培养数学建模能力刹车距离 生产计划蛛网模型人口预测2数学模型 (Mathematical Model) 和数学建模（Mathematical Modeling)数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的,作出必要的简化假设，根据对象的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。现实对象的信息数

2、学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)数学建模的全过程3例2 市场经济中的蛛网模型问 题供大于求现象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求数量与价格在振荡 建立一个简化的数学模型描述这种现象 4例2 市场经济中的蛛网模型y0 x0P0 xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格消费者的需求关系 需求函数生产者的供应关系 供应函数减函数增函数f 与g 的交点 P0(x0, y0) 平衡点一旦 xk= x0，则yk= y0，xk+1= x0，yk+1=y0, fxy0g简化： f 与

3、g 线性5x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3xy0y0 x0P0fg设x1偏离x0P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点P1P2P3P4xy0y0 x0P0fg例2 市场经济中的蛛网模型6方程模型P0稳定P0不稳定与蛛网模型对比例2 市场经济中的蛛网模型7平衡状态：x0=100，y0=10 ，=0.1, =5 =0.1, =5 =0.24, =5 =0.24, =5 x1=110 例例2 市场经济中的蛛网模型8考察, 的含义 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度 小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定经济稳定结果解释商品数量减少1单位,价格上涨幅度价格上涨1单位,(下时段)供应

4、的增量例2 市场经济中的蛛网模型9经济不稳定时政府的干预办法1. 使 尽量小，如 =0以行政手段控制商品价格不变2. 使 尽量小，如 =0靠经济实力控制商品数量不变需求曲线变为水平供应曲线变为竖直xy0y0gfxy0 x0gf例2 市场经济中的蛛网模型10例3 汽车厂生产计划 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆， 那么最优的生产计划应作何改变？汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量 ： 小型 中型 大型 现有量钢材（吨） 1.5 3 5 600劳动时间（小时） 280 250 400 60000利润（万元） 2 3 4 制订月生产计划，使

5、工厂的利润最大。11基本模型 小型 中型 大型 现有量钢材 1.5 3 5 600时间 280 250 400 60000利润 2 3 4 整数线性规划模型（ILP）设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1, x2, x3决策变量约束条件目标函数例3 汽车厂生产计划 12模型求解 第一种办法 整数线性规划（ILP）松弛线性规划（LP）MATLABLINDO/LINGO 为了得到 x1, x2, x3的整数解，在实数解附近试探： x1=64.52, x2=167.74, x3=0,z=632.26 x1=65, x2=167, x3=0;在满足约束条件前提下，计算并比较目标函数的大小 x1=6

6、4，x2=168, x3=0; 结果: x1=64, x2=168, x3=0; z=632 例3 汽车厂生产计划 13模型求解 第二种办法 利用直接求解整数线性规划的软件 （如：LINDO/LINGO）求解整数线性规划的复杂程度比线性规划大得多结果与上面相同用普通软件能求解的整数线性规划的规模受到限制 例3 汽车厂生产计划 14其中3个子模型易去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：方法1：分解为8个LP子模型 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1,x2, x3=0 或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610例3 汽车厂生产计划 15

7、方法2：引入0-1变量，化为整数线性规划(ILP) M为大的正数，如1000 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80NLP可用LINGO, MATLAB求解，其结果常依赖于初值的选择，且一般不能保证得到全局最优解。 方法3：化为非线性规划（ NLP） x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80例3 汽车厂生产计划 16例4 人口预报背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况中国人口增长概况研究人口变化规律控制人口过快增长 年 1908 1933 1953 1

8、964 1982 1990 1995 2000人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.017指数增长模型（马尔萨斯1798年提出）常用的计算公式x(t) 时刻t的人口基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数今年人口 x0, 年增长率 rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长例4 人口预报18指数增长模型参数估计(r, x0) 专家估计；利用实际数据作拟合 r =0.2743/10年x0 =4.1884 美国1790年至1900年数据 r =0.2022/10年x0 =6.0450 美国1790年至2000年数据 线性最小二乘法例4 人口预报1

9、9 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后美国及其它地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程人口增长到一定数量后，增长率r 逐渐下降指数增长模型结果分析 能描述十九世纪以前美国人口的增长 例4 人口预报20阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r 固有增长率(x很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数例4 人口预报21x(t)S形曲线, x增加先快后慢x0txxm0 xm

10、/2阻滞增长模型(Logistic模型)dx/dtx0 xmxm/2例4 人口预报22阻滞增长模型参数估计(r, xm) r=0.2557/10年xm =392.0886 美国1790年至1990年数据 线性最小二乘法例4 人口预报23模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为 281.4 (百万)模型应用预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0例4 人口预报24 数学建模的基本方法 机理分析 测试分析根据对客观事物特性的认识，找

11、出反映内部机理的数量规律。将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型。机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。 二者结合用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数。25数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征形成一个比较清晰的问题26模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想象力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤

12、27 数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用28数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模越来越受到人们的重视：1. 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；2. 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；3. 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。29数学建模的重要意义 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理数学建模知识经济如虎添翼计算机技术30怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术