初中数学专题四边形计算

1、 第 页初中数学专项突破 专题六 四边形计算（*浙江宁波第24题）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形的四边、分别延长至、，使得，连接，.求证：四边形为平行四边形；若矩形是边长为1的正方形，且，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）易证AH=CF，结合已知条件由勾股定理可得EH=FG，同理可得EF=GH，从而得证.（2）设AE=x，则BE=x+1，由可得DH=x+1，AH=x+2,由可求出结果.试题分析：（1）在矩形ABCD中，AD=BC，BAD=BCD=90又BF=DHAD+DH=BC+B

2、F即AH=CF在RtAEH中，EH=在RtCFG中，FG=AE=CGEH=FG同理得：EF=HG四边形EFGH为平行四边形（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1设AE=x,则BE=x+1在RtBEF中，BE=BFBF=DHDH=BE=x+1AH=AD+DH=x+2AH=2AE2+x=2xx=2即AE=2考点：1.矩形的性质；2.平行四边形的判定；3.正方形的性质；4.解直角三角形.4.（*甘肃庆阳第26题）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长【答案】(1

3、)证明见解析.（2）【解析】试题分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定BOEDOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长（2）当四边形BEDF是菱形时，BEEF，设BE=x，则 DE=x，AE=6x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6x）2，解得：x=，BD=，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质5.（*广西吴江第26题）已知，在中，是边上的一个动点，将沿

4、所在直线折叠，使点落在点处. （1）如图1，若点是中点，连接 . 写出的长；求证：四边形是平行四边形.（2）如图2，若，过点作交的延长线于点，求的长.【答案】（1）BD=，BP= 2证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）分别在RtABC，RtBDC中，求出AB、BD即可解决问题；想办法证明DPBC，DP=BC即可；（2）如图2中，作DNAB于N，PEAC于E，延长BD交PA于M设BD=AD=x，则CD=4x，在RtBDC中，可得x2=（4x）2+22，推出x=，推出DN=，由BDNBAM，可得，由此求出AM，由ADMAPE，可得，由此求出AE=，可得EC=ACAE=4=由此即可解决问题试题

5、解析：（1）在RtABC中，BC=2，AC=4，AB=，AD=CD=2，BD=，由翻折可知，BP=BA=2如图1中，BCD是等腰直角三角形，BDC=45，ADB=BDP=135，PDC=13545=90，BCD=PDC=90，DPBC，PD=AD=BC=2，四边形BCPD是平行四边形（2）如图2中，作DNAB于N，PEAC于E，延长BD交PA于M设BD=AD=x，则CD=4x，在RtBDC中，BD2=CD2+BC2，x2=（4x）2+22，x=，DB=DA，DNAB，BN=AN=，在RtBDN中，DN=，由BDNBAM，可得，AM=2，AP=2AM=4，由ADMAPE，可得，AE=，EC=AC

6、AE=4=，易证四边形PECH是矩形，PH=EC=考点：四边形综合题6.（*贵州安顺第21题）如图，DBAC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给ABC添加什么条件，为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）添加AB=BC【解析】试题分析：（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形通过给出的已知条件便可（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决试题解析：（1）证明：E是AC中点，EC=ACDB=AC，DBEC 又DBEC，四边形DBCE是平行四边形BC=DE （2）添加AB=B

7、C 理由：DBAE，DB=AE四边形DBEA是平行四边形 BC=DE，AB=BC，AB=DEADBE是矩形考点：矩形的判定；平行四边形的判定与性质7.8.（*湖南怀化第19题）如图，四边形是正方形，是等边三角形.(1)求证：；(2)求的度数.【答案】(1)证明见解析(2) 150【解析】试题分析：（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到AB=BE=CE=CD，ABE=DCE=30，由此即可证明；（2）只要证明EAD=ADE=15，即可解决问题；试题解析：（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC是等边三角形，BA=BC=CD=BE=CE，ABC=BCD=90，EBC=ECB=60，ABE=

8、ECD=30，在ABE和DCE中，来源:ABEDCE（SAS）（2）BA=BE，ABE=30，BAE=（18030）=75，BAD=90，EAD=9075=15，同理可得ADE=15，AED=1801515=150考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质9.（*江苏无锡第21题）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据线段中点的定义可得CE=BE，根据平行四边形的对边平行且相等可得ABCD，AB=CD，再根据两直线平行，内错角相等可得DCB=FBE，然后利用“角边角”证

9、明CED和BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BF，从而得证试题解析：E是BC的中点，CE=BE，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD，DCB=FBE，在CED和BEF中，CEDBEF（ASA），CD=BF，AB=BF考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质10.（*江苏盐城第22题）如图，矩形ABCD中，ABD、CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）当ABE=30时，四边形BEDF是菱形，理由见解析.试题解析：（1

10、）四边形ABCD是矩形，ABDC、ADBC，ABD=CDB，BE平分ABD、DF平分BDC，EBD=ABD，FDB=BDC，EBD=FDB，BEDF，又ADBC，四边形BEDF是平行四边形；（2）当ABE=30时，四边形BEDF是菱形，BE平分ABD，ABD=2ABE=60，EBD=ABE=30，四边形ABCD是矩形，A=90，EDB=90-ABD=30，EDB=EBD=30，EB=ED，又四边形BEDF是平行四边形，四边形BEDF是菱形考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定11.（*甘肃兰州第26题）如图，1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点.(1)求证：

11、是等腰三角形；(2)如图2，过点作，交于点，连结交于点.判断四边形的形状，并说明理由；若，求的长.【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】试题分析: （1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解试题解析：（1）证明：如图1，根据折叠，DBC=DBE，又ADBC，DBC=ADB，DBE=ADB，DF=BF，BDF是等腰三角形；（2）四边形ABCD是矩形，ADBC，FDBG，又FDBG，四边形BFDG是平行四边形，DF=BF，四边形BFDG是菱形；AB=6，AD=8，BD=10OB=BD=5假设DF=B

12、F=x，AF=ADDF=8x在直角ABF中，AB2+A2=BF2，即62+（8x）2=x2，解得x=，即BF=，FO=，FG=2FO=考点：四边形综合题12.（*四川自贡第21题）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF求证：ABF=CBE考点：菱形的性质.13.（*江苏徐州第23题）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点连接.（1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，则当 时，四边形是矩形.【答案】（1）证明见解析；（2）100【解析】试题分析：（1）由AAS证明BOECOD，得出OE=OD，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出BCD=A=

13、50，由三角形的外角性质求出ODC=BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论试题解析:（1）四边形ABCD为平行四边形，ABDC，AB=CD，OEB=ODC，又O为BC的中点，BO=CO，在BOE和COD中，BOECOD（AAS）；OE=OD，四边形BECD是平行四边形；（2）若A=50，则当BOD=100时，四边形BECD是矩形理由如下：四边形ABCD是平行四边形，BCD=A=50，BOD=BCD+ODC，ODC=100-50=50=BCD，OC=OD，BO=CO，OD=OE，DE=BC，四边形BECD是平行四边形，四边形BECD是矩形；考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的判定

14、与性质15. (*北京第20题) 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证.,（以上材料来源于古证复原的原理、吴文俊与中国数学和古代世界数学泰斗刘徽）请根据上图完成这个推论的证明过程来源:ZXXK证明：，（_+_）易知，_=_，_=_可得 【答案】 .【解析】试题分析：由矩形的对角线的性质，对角线把矩形分成两个面积相等的三角形计算即可.本题解析：由矩形对角线把矩形分成两个面积相等的两部分可得： , , .考点：矩形的性质，三角形面积

15、计算.16. (*北京第22题)如图，在四边形中，为一条对角线，为的中点，连接.（1）求证：四边形为菱形；（2）连接，若平分，求的长.【答案】（1）证明见解析.（2）.【解析】试题分析：（1）先证四边形是平行四边形，再证其为菱形；（2）利用等腰三角形的性质，锐角三角函数，即可求解.本题解析：(1)证明：E为AD中点，AD=2BC,BC=ED, ADBC, 四边形ABCD是平行四边形，AD=2BE, ABD=90,AE=DEBE=ED, 四边形ABCD是菱形.(2)ADBC,AC平分BAD BAC=DAC=BCA,BA=BC=1, AD=2BC=2，sinADB=,ADB=30, DAC=30,

16、 ADC=60.在RTACD中，AD=2，CD=1，AC= .考点：平行线性质，菱形判定，直角三角形斜边中线定理.17.(*天津第24题)将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点.是边上的一点（点不与点重合），沿着折叠该纸片，得点的对应点.（1）如图，当点在第一象限，且满足时，求点的坐标；（2）如图，当为中点时，求的长；（3）当时，求点的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）点A的坐标为（，1）；（2）1；（3）或 .【解析】试题分析：（1）因点，点，可得OA= ,OB=1，根据折叠的性质可得AOPAOP，由全等三角形的性质可得OA=OA=,在RtAOB中，根据勾股定理求得的长

17、，即可求得点A的坐标；（2）在RtAOB中，根据勾股定理求得AB=2，再证BOP是等边三角形，从而得OPA =120.在判定四边形OPAB是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得的长；试题解析：（1）因点，点，OA= ,OB=1.根据题意，由折叠的性质可得AOPAOP.OA=OA=,由，得ABO=90.在RtAOB中，,点A的坐标为（，1）.(2) 在RtAOB中，OA= ,OB=1,当为中点，AP=BP=1,OP=AB=1.OP=OB=BP,BOP是等边三角形BOP=BPO=60，OPA=180-BPO=120.由（1）知，AOPAOP，OPA=OPA=120，PA=PA=1，又OB=PA=

18、1，四边形OPAB是平行四边形.AB=OP=1.(3)或 .21.（*山东青岛第21题）（本小题满分8分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OF（1）求证： BCEDCF；（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由【答案】（1）证明见解析（2）四边形AEOF是正方形【解析】试题分析：（1）利用SAS证明 BCEDCF；（2）先证明AEOF为菱形，当BCAB，得BAD90，再利用知识点：有一个角是90的菱形是正方形。试题解析：（1）四边形ABCD为菱形AB=BC=CD=DA，B=D又E、F分别是AB、AD中点，B

19、E=DFABECDF（SAS）考点：1、菱形，2、全等三角形，3、正方形22.(*山东滨州第22题)（本小题满分10分）如图，在ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形 （1）根据以上尺规作图的过程，求证四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，AE4，求C的大小【答案】（1）详见解析；（2）60.【解析】试题分析：（1）由作图过程可知，ABAF，AE平分BAD，即可得BAEEAF再由四边形ABCD为平行四边形，可得BCAD，根据平行线

20、的性质可得AEBEAF，所以BAEAEB，根据等腰三角形的性质可得ABBE，即可得BEAF，所以四边形ABEF为平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABEF为菱形；（2）连接BF，已知四边形ABEF为菱形，根据菱形的性质可得BF与AE互相垂直平分，BAEFAE，OAAE再由菱形ABEF的周长为16，可得AF4所以cosOAF即可得OAF30，所以BAF60再由平行线的性质即可得CBAD60试题解析：（1）由作图过程可知，ABAF，AE平分BADBAEEAF四边形ABCD为平行四边形，BCADAEBEAFBAEAEB，ABBEBEAF四边形ABEF为平行四边形四边形ABE

21、F为菱形（2）连接BF，四边形ABEF为菱形，BF与AE互相垂直平分，BAEFAEOAAE菱形ABEF的周长为16，AF4cosOAFOAF30，BAF60四边形ABCD为平行四边形，CBAD6023. (*山东日照第18题)如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CEAE，垂足为E（1）求证：DCAEAC；（2）只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形请加以证明【答案】(1)详见解析；(2)AD=BC（答案不唯一）试题分析：（1）由SSS证明DCAEAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出D=90，即可得出结论试题解析：（1）证明：在DCA和EAC中

22、，DCAEAC（SSS）；（2）添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：AB=DC，AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，CEAE，E=90，由（1）得：DCAEAC，D=E=90，四边形ABCD为矩形；考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质24. (*辽宁沈阳第18题)如图，在菱形中，过点做于点，做于点，连接，求证：（1）;（2）【答案】详见解析.【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质可得AD=CD，再由，可得，根据AAS即可判定；（2）已知菱形，根据菱形的性质可得AB=CB，再由，根据全等三角形的性质可得AE=CF，所以BE=BF，根据等腰三角形的性质即可得.试题解析：(1

23、) 菱形，AD=CD，(2) 菱形，AB=CBAE=CFBE=BF考点：全等三角形的判定及性质；菱形的性质.28. (*山东菏泽第17题)如图，是的边的中点，连接并延长交的延长线于，若，求的长.【答案】12.【解析】试题分析：试题解析：先证明AEFDEC,根据全等三角形的性质可得AF=，再利用平行四边形的性质证得AB=CD=6，根据=AF+AB即可求得BF的长.【解】AFDCF=DCF是的边的中点AE=DEAEF=DECAEFDECAF=来源:ZXXK来源:ZXXKAB=CD=6即=AF+AB=12.25（*四川省南充市）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB（

24、1）求证：EFAG；（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EFAG是否成立（只写结果，不需说明理由）？（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当，求PAB周长的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）成立；（3）【解析】（2）证明AEFBAG，得出AEF=BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；（3）过O作MNAB，交AD于M，BC于N，则MNAD，MN=AB=4，由三角形面积关系得出点P在线段MN上，当P为MN的中点时，PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=MN=2，连接EG，则EGAB，EG=AB=4，

25、证明AOFGOE，得出 =，证出 =，得出AM=AE=，由勾股定理求出PA，即可得出答案试题解析：（1）证明：四边形ABCD是正方形，AD=AB，EAF=ABG=90，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB， =， =，AEFBAG，AEF=BAG，BAG+EAO=90，AEF+EAO=90，AOE=90，EFAG；（2）解：成立；理由如下：根据题意得： =， =，=，又EAF=ABG，AEFBAG，AEF=BAG，BAG+EAO=90，AEF+EAO=90，AOE=90，EFAG；（3）解：过O作MNAB，交AD于M，BC于N，如图所示：则MNAD，MN=AB=4，P是正方形ABCD内

26、一点，当SPAB=SOAB，点P在线段MN上，当P为MN的中点时，PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=MN=2，连接EG、PA、PB，则EGAB，EG=AB=4，AOFGOE，=，MNAB， =，AM=AE=2=，由勾股定理得：PA= =，PAB周长的最小值=2PA+AB=考点：1四边形综合题；2探究型；3动点型；4最值问题26（*四川省广安市）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BFCE，垂足为G，求证：AF=BE【答案】证明见解析考点：1正方形的性质；2全等三角形的判定与性质27（*四川省眉山市）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过

27、顶点B作BFDE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由于BFDE，所以GFD=90，从而可知CBG=CDE，根据全等三角形的判定即可证明BCGDCE，从而可知BG=DE；（2）设CG=1，从而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易证ABHCGH，所以=2，从而可求出HG的长度，进而求出的值试题解析：（1）BFDE，GFD=90，BCG=90，BGC=DGF，CBG=CDE，在BCG与DCE中，CBG=CDE，BC=CD，BCG=DCE，BCGDCE（ASA），BG

28、=DE；（2）设CG=1，G为CD的中点，GD=CG=1，由（1）可知：BCGDCE（ASA），CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，sinCDE=，GF=，ABCG，ABHCGH，BH=，GH=， =考点：1相似三角形的判定与性质；2全等三角形的判定与性质；3正方形的性质29（*四川省达州市）如图，在ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EFBC分别交ACB、外角ACD的平分线于点E、F（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由【答案】（1）5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边

29、形AECF是矩形【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出OEC=OCE，OFC=OCF，证出OE=OC=OF，ECF=90，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO=CO，EO=FO，四边形AECF是平行四边形，ECF=90，平行四边形AECF是矩形考点：1矩形的判定；2平行线的性质；3等腰三角形的判定与性质；4探究型；5动点型32（*广东省）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，BAD=FAD，BAD为锐角（1）求证：ADBF；（2）若BF=B

30、C，求ADC的度数【答案】（1）证明见解析；（2）150【解析】试题分析：（1）连结DB、DF根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明BADFAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明ADBF；（2）如图，设ADBF于H，作DGBC于G，则四边形BGDH是矩形，DG=BH=BFBF=BC，BC=CD，DG=CD在直角CDG中，CGD=90，DG=CD，C=30，BCAD，ADC=180C=150考点：菱形的性质33（*广西四市）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF（1）求证：A

31、E=CF；（2）若AB=6，COD=60，求矩形ABCD的面积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90，证出OE=OF，由SAS证明AOECOF，即可得出AE=CF；（2）证出AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在RtABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积试题解析：（1）证明：四边形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90，BE=DF，OE=OF，在AOE和COF中，OA=OC，AOE=COF，OE=OF，AOECOF（SAS），AE=CF；（2

32、）解：OA=OC，OB=OD，AC=BD，OA=OB，AOB=COD=60，AOB是等边三角形，OA=AB=6，AC=2OA=12，在RtABC中，BC=，矩形ABCD的面积=ABBC=6=考点：1矩形的性质；2全等三角形的判定与性质34（*江苏省盐城市）如图，矩形ABCD中，ABD、CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）ABE=30【解析】试题分析：（1）由矩形可得ABD=CDB，结合BE平分ABD、DF平分BDC得EBD=FDB，即可知BEDF，根

33、据ADBC即可得证；（2）当ABE=30时，四边形BEDF是菱形，BE平分ABD，ABD=2ABE=60，EBD=ABE=30，四边形ABCD是矩形，A=90，EDB=90ABD=30，EDB=EBD=30，EB=ED，又四边形BEDF是平行四边形，四边形BEDF是菱形考点：1矩形的性质；2平行四边形的判定与性质；3菱形的判定；4探究型38（*浙江省绍兴市）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，ABC=90若AB=CD=1，ABCD，求对角线BD的长若ACBD，求证：AD=CD；（2）如图2，在矩形ABCD中，A

34、B=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长【答案】（1）；证明见解析；（2）5或6.5【解析】试题分析：（1）只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；只要证明ABDCBD，即可解决问题；（2）如图1中，连接AC、BDAB=BC，ACBD，ABD=CBD，BD=BD，ABDCBD，AD=CD（2）若EFBC，则AEEF，BFEF，四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件若EF与BC不垂直，当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，AE=AB=5当BF=AB时，如图3中

35、，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，BF=AB=5，DEBF，BF=PB=1：2，DE=2.5，AE=92.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5考点：1四边形综合题；2分类讨论；3新定义；4压轴题40（*湖北省襄阳市）如图，AEBF，AC平分BAE，且交BF于点C，BD平分ABF，且交AE于点D，连接CD（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若ADB=30，BD=6，求AD的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由平行线的性质和角平分线定义得出ABD=ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；

36、（2）解：四边形ABCD是菱形，BD=6，ACBD，OD=OB=BD=3，ADB=30，cosADB=，AD=考点：菱形的判定与性质1. （*贵州遵义第26题）边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F（1）连接CQ，证明：CQ=AP；（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=BC；（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）当x=3或1时，CE=BC； （3）. 结论：PF

37、=EQ，理由见解析.（2）解：如图1，四边形ABCD是正方形，BAC=BAD=45，BCA=BCD=45，APB+ABP=18045=135，DC=AD=2，由勾股定理得：AC=，AP=x，PC=4x，PBQ是等腰直角三角形，BPQ=45，来源:Z#xx#k.ComAPB+CPQ=18045=135，CPQ=ABP，BAC=ACB=45，APBCEP， ，考点：四边形综合题2. （*湖南株洲第22题）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF求证：DAEDCF； 求证：ABGCFG【答案】.证明见解析；证明见解析.MAD=BCD=90，EA

38、M=BCF，EAM=BAG，BAG=BCF，AGB=CGF，ABGCFG考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质4. （*湖北咸宁第18题） 如图，点在一条直线上，. = 1 * GB2 求证：； = 2 * GB2 连接，求证：四边形是平行四边形.【答案】详见解析.考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定5. （*广西百色第22题）矩形中，分别是的中点， 分别交于两点.求证：（1）四边形是平行四边形； （2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.考点：1.矩形的性质；2.平行四边形的判定与性质8. （*黑龙江绥化第28题）如图，在矩形中，为边上

39、一点，平分，为的中点，连接，过点作分别交于，两点 （1）求证：；（2）求证：；（3）当时，请直接写出的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4 . 理由如下：AFBF，BAF+ABF=90，EHBC，ABC=90，BEH=90，FEH+CEB=90，ABF=CEB，BAF=FEH，EFG=AFE，EFGAFE， ，即EF2=AFGF，AFGF=28，EF=2 ，CE=2EF=4考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.矩形的性质9. （*湖北孝感第20题）如图，已知矩形 .（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：以点为圆心，以的长为半径画弧交边于点，连接；作的平分线交 于点；连接;（2）在（1）作出的图形中，若，则的值为 .【答案】（1）画图见解析；（2） .考点：1.作图基本作图；2.全等三角形的判定与性质；3.解直角三角形.10. （*内蒙古呼和浩特第18题）如图，等腰三角形中，分别是两腰上的中线（1）求证：；（2）设与相交于点，点，分别为线段和的中点当的重心到顶点的距离与底边长相等时，判断四边形的形状，无需说明理由【答案（1）证明见解析；（2）四