高中数学选修第一册：第1课时　椭圆的简单几何性质

1、3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质基础过关练题组一椭圆的几何性质及其应用1.椭圆3x2+4y2=12的长轴长、短轴长分别为() A.2,3B.3,2C.4,23D.23,42.点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部,则a的取值范围是() A.(-,-2)(2,+)B.(-2,2)C.-2,2D.(-2,2)3.(2020河北唐山一中高二上期中)已知F1,F2分别为椭圆x216+y29=1的左,右焦点,A为上顶点,则AF1F2的面积为()A.6B.15C.67D.374.若中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是()A.

2、x281+y272=1B.x281+y29=1C.x281+y245=1D.x281+y236=15.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中)椭圆x236+y2m=1的短轴长为8,则实数m=.题组二求椭圆的离心率或范围6.椭圆x2+4y2=1的离心率为()A.32B.34C.22D.237.已知ab0,则椭圆x2a2+y2b2=1与椭圆x2a2+y2b2=(0且1)有()A.相同的焦点B.相同的顶点C.相同的离心率D.相同的长、短轴8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2,P是椭圆上一点,若|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率的取值范围是()A.0,12B.1

3、3,12C.13,1D.12,19.在平面直角坐标系Oxy中,若椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点,则椭圆E的离心率是.10.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F1,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF1x轴,直线AB与y轴交于点P,AP=2PB,则椭圆的离心率为.题组三椭圆几何性质的综合运用11.若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为35,两焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,且F1F2M的周长为16,则椭圆C的方程为 ()A.x216+y225=1B.x225+y29=1C. x29+y225=1D.x225+y2

4、16=112.设e是椭圆x24+y2k=1的离心率,且e12,1,则实数k的取值范围是()A.(0,3)B.3,163C.(0,3)163,+D.(0,2)13.椭圆C:x2+2y2=4的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积等于.14.比较椭圆x2+9y2=36与x29+y25=1的形状,(填序号)更扁.15.如图,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=13,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,若PFPA的最大值是12,求椭圆的方程.能力提升练题组一椭圆的几何性质及其应用1.(2020山东菏泽高二上期末,)中国是世界上最古老的文明中心之一,中国古代对世界上最重

5、要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为() A.83B.23C.43D.42.()设A,B是椭圆C:x24+y2k=1长轴的两个端点,若C上存在点P满足APB=120,则k的取值范围是() A.0,4312,+)B.0,236,+)C.0,2312,+)D.0,436,+)3.(多选)()若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1b10)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2b20)的离心率相同,且a1a2,则下

6、列结论正确的是()A.椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点B.a1a2=b1b2C.a12-a22b12-b22D.a1-a2b0)的右焦点,点P在椭圆上,且P到原点O的距离等于半焦距,POF的面积为6,则b=.题组二求椭圆的离心率或范围5.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步,它包括明暗素描和结构素描,而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱,底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体,原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线)的过程中,发现“切面”是一

7、个椭圆,若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形,则该椭圆的离心率为()A.12B.22C.32D.136.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中,)已知过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点,若F1PF2=60,则椭圆的离心率为()A.53B.32C.22D.337.(2020山东滨州高二期中,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右顶点分别为M,N,若在椭圆C上存在点H,使kMHkNH-12,0,则椭圆C的离心率的取值范围为()A.22,1B.0,22C.32,1D

8、.0,328.(2020山东广饶一中高二期中,)已知F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点,点P是椭圆上位于第二象限内的点,延长PF1交椭圆于点Q,若PF2PQ,且|PF2|=|PQ|,则椭圆的离心率为()A.6-3B.2-1C.3-2D.2-29.()黄金分割比例5-12具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感,是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率e=5-12的椭圆称为“黄金椭圆”,则以下四种说法:椭圆x22+y25+1=1是“黄金椭圆”;若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(c,0),且满足b2=ac,则

9、该椭圆为“黄金椭圆”;设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B,右顶点为A,若ABF=90,则该椭圆为“黄金椭圆”;设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右顶点分别是A,B,左,右焦点分别是F1,F2,若|F1F2|2=|AF1|F1B|,则该椭圆为“黄金椭圆”.其中说法正确的个数为()A.1B.2C.3D. 410.(2018陕西西安长安一中高二上学期期末,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满足AFBF,设ABF=,且12,6,求该椭圆的离心率e的取值范围.题组三椭圆几何性质的综合运用11.(202

10、0江西南昌二中高二上第一次月考,)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为(易错)A.x25+y2=1B.x24+y25=1C.x25+y2=1或x24+y25=1D.以上答案都不对12.()已知点P(x,y)(x0,y0)是椭圆x216+y28=1上的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,O是坐标原点,若M是F1PF2的平分线上的一点(不与点P重合),且F1MPM=0,则|OM|的取值范围为()A.0,3)B.(0,22)C.22,3)D.0,413.(多选)()设椭圆C:x22+y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是(

11、)A.|PF1|+|PF2|=22B.离心率e=62C.PF1F2面积的最大值为2D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-2=0相切14.(多选)()如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长,则下列式子正确的是()A.a1+c1=a2+c2B.a1-c1=a2-c2C.c1a2a1c2D.c1a1b0)的离心率为32,

12、A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|BM|为定值.答案全解全析第1课时椭圆的简单几何性质基础过关练1.C把3x2+4y2=12化成标准形式为x24+y23=1,得a2=4,b2=3,则长轴长为4,短轴长为23.2.B由题意,得a24+121,即a22,解得-2a0且1)化为标准方程,得x2a2+y2b2=1(0且1),其离心率e=a2-b2a=a2-b2a,故选C.8.C由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,|PF1|=43a

13、,|PF2|=23a,又|PF1|-|PF2|F1F2|,即23a2c,所以e13,故椭圆的离心率e的取值范围是13,1.故选C.9.答案22解析依题意得b=c,所以b2=c2a2-c2=c2a2=2c2c2a2=12,又e=ca0,所以e=22.10.答案12解析如图,易知ABF1APO,则|AP|AB|=|AO|AF1|,即23=aa+c,所以a=2c,所以e=ca=12.11.De=ca=35,c3=a5,设c3=a5=t(t0),则a=5t,c=3t.又F1F2M的周长为2a+2c=16t=16,t=1,a=5,c=3,b2=a2-c2=16.椭圆C的方程为x225+y216=1,故选

14、D.12.C当k4时,e=ca=4-k212,1,即124-k2114-k4,解得0k4时,e=ca=k-4k12,1,即12k-4k114k-4k1141-4k104k163.综上,实数k的取值范围为(0,3)163,+.13.答案2解析椭圆方程可化为x24+y22=1.a2=4,b2=2,从而c2=2,c=2.因此,两焦点为(-2,0),(2,0),短轴的一个端点为(0,2).构成的三角形的面积为12222=2.14.答案解析x2+9y2=36化为标准方程为x236+y24=1,故离心率e1=426=223;x29+y25=1的离心率e2=23.因为e1e2,所以更扁.15.解析由题易知A

15、(a,0),设F(-c,0).e=ca=13,a=3c.设P(x0,y0),则-3cx03c.PF=(-c-x0,-y0),PA=(a-x0,-y0),PFPA=(-c-x0,-y0)(a-x0,-y0)=-ac+cx0-ax0+x02+y02=-ac+cx0-ax0+x02+b2-b2a2x02=c2a2x02-(a-c)x0+b2-ac=19x02-(a-c)x0+a2-c2-ac=19x02-2cx0+5c2=19(x0-9c)2-4c2.当x0=-3c时,PFPA有最大值,且最大值为12c2.12c2=12,c2=1,a2=9,b2=a2-c2=8,椭圆的方程为x29+y28=1.能力

16、提升练1.C由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),所以长轴长2a=8,短轴长2b=4,所以a=4,b=2,可得c=a2-b2=23,因此焦距2c=43,故选C.2.A设P(x,y).当0k4时,不妨令A(-2,0),B(2,0),则PA=(-2-x,-y),PB=(2-x,-y),PAPB=x2+y2-4=|PA|PB|cos 120=-12|PA|PB|.由SPAB=12|PA|PB|sin 120=12|AB|y|=2|y|,得12|PA|PB|=4|y|3.故有x2+y2-4=-12|PA|PB|=-4|y|3.又点P在椭圆上,x2=4-4y2k,4-4y2k+

17、y2-4=-4|y|3,即(4-k)y2k=4|y|3.|y|=4k3(4-k).依题意知04k3(4-k)k,又0k4,3k+4k-430,04时,不妨令A(0,-k),B(0,k),则PA=(-x,-k-y),PB=(-x,k-y),PAPB=x2+y2-k=|PA|PB|cos 120=-12|PA|PB|.由SPAB=12|PA|PB|sin 120=12|AB|x|=k|x|,得12|PA|PB|=2k|x|3.故有x2+y2-k=-12|PA|PB|=-2k|x|3.又点P在椭圆上,y2=k-kx24,x2+k-kx24-k=-2k|x|3,即(k-4)x24=2k|x|3.|x|

18、=8k3(k-4).依题意知04,3k-4k-430,k12.综上,k0,4312,+),故选A.3.AB依题意,e=c1a1=c2a2,即1-b1a12=1-b2a22,所以b1a1=b2a2,所以a1a2=b1b2,因此B正确;又a1a2,所以椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点,因此A正确;设b1a1=b2a2=m,其中0m0,即有a12-b12a22-b22,则a12-a22b12-b22,因此C错误;(a1-b1)-(a2-b2)=(1-m)(a1-a2)0,即有a1-b1a2-b2,则a1-a2b1-b2,因此D错误.故选AB.4.答案23解析设P(x,y),则x2a2+y2b2=1,

19、x2+y2=c2,由得x2=c2-y2,代入式得c2-y2a2+y2b2=1y2=b4c2|y|=b2c.SPOF=12|OF|y|=12cb2c=12b2=6,b2=12,又b0,b=23.5.A设圆柱的底面半径为r,依题意知,最长母线与最短母线所在截面如图所示.AB=DE=2r.从而CD=2rsin60=433r.因此在椭圆中长轴长2a=433r,短轴长2b=2r,c2=a2-b2=43r2-r2=13r2c=33r.e=ca=12,故选A.6.D由题意知点P的坐标为-c,b2a或-c,-b2a.F1PF2=60,2cb2a=3,即2ac=3b2=3(a2-c2),3e2+2e-3=0,e

20、=33或e=-3(舍去).故选D.7.A设H(x0,y0),则y02=b2a2(a2-x02),而M(-a,0),N(a,0),kMHkNH=y0 x0+ay0 x0-a=y02x02-a2=-b2a2-12,0,e=1-b2a222,1.故选A.8.A连接F2Q,由已知PF2PQ,且|PF2|=|PQ|,得F2PQ是等腰直角三角形,设|PF2|=m,|QF2|=n,由椭圆的定义得|PF1|=2a-m,|QF1|=2a-n,则有2a-m+2a-n=m,且n=2m,m=2(2-2)a.在RtF1PF2中,由勾股定理得,m2+(2a-m)2=4c2,即2(2-2)a2+2a-2(2-2)a2=4c

21、2,4(6-42)a2+(12-82)a2=4c2,即(9-62)a2=c2,从而e2=c2a2=9-62,又知0eb0),由题意知,c=2,b=1,a2=5,椭圆的标准方程为x25+y2=1;当焦点在y轴上时,设椭圆的方程为x2b2+y2a2=1(ab0),由题意知,b=2,c=1,a2=5,椭圆的标准方程为y25+x24=1.故选C.易错警示当不能确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上时,要分两种情况讨论,解题时要防止遗漏导致解题错误,如本题有两种情况,得到两解.12.B如图,延长PF2,F1M,交于点N,则PF1N为等腰三角形,M为F1N的中点,|OM|=12|F2N|=12|PN|-|PF2|=12|PF1|-|PF2|.由图可知,当P在短轴端点时,|OM|取得最小值,此时|OM|=0,当P在长轴端点时,|OM|取得最大值,此时|OM|=22,但P不能在坐标轴上,故取不到端点值,所以|OM|的取值范围为(0,22).13.AD由x22+y2=1得a2=2,b2=1,c2=1,|PF1|+|PF2|=2a=22,因此A正确;e=ca=12=2262,因此B错