新人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步：8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

1、8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系通过学习本节内容,能借助长方体抽象出空间点、直线、平面之间的位置关系的定义,培养形成数学抽象、直观想象等数学核心素养.学习时还应掌握以下几点: 1.掌握点、直线、平面位置关系的定义. 2.学会用图形语言、符号语言表示位置关系. 3.掌握判断直线与直线、直线与平面的位置关系的方法. 异面直线定义不同在任何一个平面内的两条直线异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)、(2)所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面衬托判定两直线为异面直线的方法(1)定义法;(2)两直线既不平行也不相交 空间中直线与直线的位置关系位置关系特点共面直线相交

2、在同一平面内,有且只有一个公共点平行在同一平面内,没有公共点异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点 空间中直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线a在平面外直线a与平面相交直线a与平面平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示aa=Aa图形表示 空间中平面与平面的位置关系位置关系两个平面平行两个平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示=l图形表示1.直线l上有一个点在平面内,则l. ()提示：直线l上有一个点在平面内,则l或l与相交.2.两条直线无公共点,则这两条直线平行.()提示：两条直线是异面直线时,也无公共点.3.过平面外一点与平面内一点的连线,与平

3、面内的任意一条直线均构成异面直线.()提示：过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内的不过该点的任意一条直线均构成异面直线,如果平面内的直线过该点,则两条直线相交.4.若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行.()提示：平面和平面相交时,也存在和平面和平面都平行的直线.判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” . 如何判断空间中的两条直线是不是异面直线 判定两条直线是异面直线的方法 1.证明两条直线既不平行又不相交; 2.过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线; 3.反证法:先提出与结论相反的假设,即两条直线相交或平行,再由此假设推出与已知条件或某一公理、定理

4、或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果,最后推翻假设,从而证明结论是正确的,即两直线异面.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M, N分别为C1D1,CC1的中点,给出下列结论:直线DM与CC1是相交直线;直线AM与NB是平行直线;直线BN与MB1是异面直线;直线AM与DD1是异面直线.其中正确的个数为(C)A.1B.2C.3D.4思路点拨根据空间直线位置关系的定义进行判断.解析对于,CC1与DM是共面的,且不平行,所以必定相交,故正确;对于,AM,NB不共面,所以是异面直线,故错误;对于,BN,MB1不共面,所以是异面直线,故正确;对于,AM,DD1不共面,所以是异面直线,故正确.说

5、明:对于选项和,也可以考虑用如下方法判断:一条直线与一个平面相交,则该直线与此平面内不经过交点的直线是异面直线.答案C已知a,b是异面直线,A,B是a上的两点,C,D是b上的两点,M,N分别是线段AC,BD的中点,则MN和a的位置关系是(A)A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能思路点拨利用反证法判定MN和a只能是异面直线.解析若MN与AB平行或相交,则MN与AB共面.设它们所在的平面为,则A,B,M,N,所以a,AM,BN,所以C,D,所以b,与a,b异面矛盾.故MN与AB异面,即MN与a异面.答案A 如何判断直线、平面的位置关系 1.在判断直线、平面的位置关系时,各种情形都要考虑到,避免遗漏. 2.可以借助正方体(或长方体)模型判断位置关系. 3.先假设所给定的结论成立,再看是否能推出矛盾,这也是一种判断位置关系的有效方法.设直线a,b是空间中两条不同的直线,平面,是空间中两个不同的平面,则下列说法正确的是(D)A.若a,b,则abB.若ab,b,则aC.若a,则aD.若,a,则a思路点拨利用空间直线、平面的位置关系对每一选项分析、判断.解析对于选项A,若a,b,则a与b平行