新编第45章傅里叶级数和变换课件

1、第四章 连续系统的频域分析P1164.1 引言信号与系统的时域分析变换域分析（频域分析）任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示1822年，法国数学家傅里叶提出；Poisson、Gauss等将其应用到电学中；20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立叶分析的应用开辟了广阔的前景周期信号傅里叶级数非周期信号傅里叶变换4.2 傅里叶级数(Fourier Series)设周期信号f(t)，周期T1，角频率1=2f1=2 /T1，则：一.三角函数形式的傅里叶级数通常积分区间取为0T1或-T1/2+T1/2被展开的函数f(t)需满足“狄利克雷条件”： (了解)（1）在一周期内，不连续点的个数有

2、限，且极大值和极小值的数目应有限；（2）在一周期内，信号是绝对可积的；各个量的关系：二.指数函数形式的傅里叶级数例：周期矩形脉冲信号f(t)，脉宽，脉冲幅度E=1，周期T1 ,/T1=1/4, 求三角函数和指数形式的傅里叶级数。P131例题解： 三角函数形式t/2-/2f(t)变不变f(t)t（抽样函数、抽样信号） Sa(t)=Sa(-t) 偶函数 t =，2，n；Sa(t)=0f(t)t=1（抽样函数、抽样信号）结论：若f(t)为偶函数， 若f(t)为奇函数，则bn=0则an=0为什么没有4w1的频率分量？（因为第四根谱线过零点）|cn | 幅度频谱（幅度谱）；每一条线代表某一频率分量的幅度

3、谱线； n 相位频谱（相位谱）；|cn | 幅度频谱（幅度谱）；每一条线代表某一频率分量的幅度谱线； n 相位频谱（相位谱）； 指数形式复数频谱 Fn 复数幅度谱 |Fn| 复数相位谱 n 幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数 复数频谱 Fn 复数幅度谱 |Fn| 复数相位谱 n 三角形式：单边频谱 指数形式 ：双边频谱幅度关系 ：周期信号频谱图的特点：1. 两种频谱图的关系： 频谱由离散的谱线组成；（离散性） 谱线是以1为间隔等距离分布的；（谐波性） 谱线幅度随 n 的增大而逐渐衰减至零。（收敛性）2. 频谱图的特点：概念： 频率为f1的分量称为基波或一次谐波；频率为2 f1， 3f1，等分量称为

4、二次谐波、 三次谐波。 通常把=0 2/这段频率范围称为矩形信号的频带宽度，3. 信号的有效带宽 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。信号的有效带宽有多种定义方式。4. 相位谱的作用幅频不变，零相位幅频为常数，相位不变5. 对称特性(1) 纵轴对称信号fT(t)=fT(-t)纵轴对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。0(2) 原点对称信号fT(t)=-fT(-t)原点对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有正弦项。0(3) 半波重迭信号 fT(

5、t)=f(tT/2) 半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。(4) 半波镜像信号fT(t)=-f(tT/2)半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。说明：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性去掉直流分量后，信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。周期信号属于功率信号，在1欧电阻上消耗的平均功率： 帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理四、周期信号的功率谱 物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。 周期信号的功率频谱： |Fn|2

6、 随nw0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02p /t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。 解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为将A=1，T=1/4， = 1/20，w0= 2p/T = 8p 代入上式例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02p / t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。 周期信号的功率谱解：包含在有效带宽(0 2p /t )内的各谐波平均功率为信号的平均功率为周期信号的功率谱例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写

7、出信号的Fourier级数表示式。解：由图可知第4章 周期信号的频域分析小结分析问题使用的数学工具为傅里叶级数最重要概念：频谱函数要点1. 频谱的定义、物理意义2. 频谱的特点对概念的理解，测试： 给出频谱图，写出傅里叶级数何时使用三角函数形式？或指数函数形式？5.1 非周期信号的傅里叶变换T1 ，1 T1，1 0一.从周期信号的傅里叶级数到非周期信号的傅里叶变换 傅里叶正变换傅立叶级数展开式物理意义: F(jw)是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。 傅里叶反变换傅立叶级数展开式二.定义原函数f(t) 象函数F(j) F(j)一般为复数，|F(j)| 幅度频谱|()| 相位频谱三. 频谱函数与频谱密度函数的区别（1）周期信号的频谱为离散频谱，非周期信号的频谱为连续频谱。（2）周期信号的频谱为Fn的分布，表示每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为T Fn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。两者关系：5.2 典型非周期信号的频谱一.矩形脉冲信号 （P156 例5-1）tf(t)E/2-/2t/2-/2f(t)tf(t)E/2-/2周期性矩形脉冲信号的频谱的包络线与非周期性矩形脉冲信号的频谱函数曲线形状完全相同分析： 越小，频带B越宽二. 单边指数信号tf(t)1奇异函数的频谱一. 单位冲激函