井眼轨道参数的插值计算

1、井眼轨道参数的插值计算由于实钻井眼轨道的测点与钻柱单元体的划分可能并不一致，因此钻柱单元体边界点对应的井眼轨道 参数必须靠插值计算获得。插值结果的准确与否，对钻柱单元体的受力计算有着直接的影响。因此，提高 插值计算的精度具有重要意义。由于测点是离散的，无法知道各测段内井眼轨道的实际形态，所以测段内某点几何参数的计算方法都 是建立在一定假设的基础上的。这些计算方法多数是将测段内的井眼轨道假设为直线、折线和曲线等，早 期，由于计算机能力的限制，以平均角法和平衡正切法为代表直线或折线假设，因其计算简单快速，曾经 被广泛应用，但随着钻井技术的发展，弯曲的井眼轨迹增多，如果仍采用直线或折线假设，则计算精

2、度相 对较低。由于计算技术的高速发展，直线或折线假设，目前几乎淘汰，取而代之的是以圆柱螺线和空间圆 弧曲线等为代表的曲线假设，大行其道。在进行插值计算时，各插值点的坐标增量可以采用不同的计算方法，但坐标值的累加形式是相同的， 即（X为东向位移，Y为北向位移，Z为垂直向位移，S为水平位移）X 2二X1 +AX丫2=丫1+ AYZ2=Z 1+ AZS2=S1+ AS2 2=a 1+ Aa册=匕+ （）所以，在以下的计算方法中将只给出坐标增量的计算式。典型轨迹模型插值1、正切法：正切法又称下切点法，或下点切线法。此法假定两相邻测点之间的孔段为一条直线，长度等于测距， 该直线的井斜角和井斜方位角等于下

3、测点的井斜角和井斜方位角，整个钻孔轨迹是直线与直线相连接的空 间折线。正切法井身轨迹计算图如图1所示，1、2是孔身轨迹上相邻的两个测点，1、2是1、2两个测点的水平投影。该测段的井斜角和井斜方位角等于下测点2的井斜角和井斜方位角。对于切线法，上下两个相邻测点间各参数的计算公式如下：Z = Lcos： 2lS - Lsin 1 2X = Lsin： 2 sin 2Y = Lsin： 2cos 2式中：Z 测段上下测点间垂直深度的分量（增量）（以下同）；L 测段上下测点间沿钻孔轴线的距离（以下同）；X AY 分别为测段上下测点间水平位移在X轴（西东方向）的分量（增量）；水平位移在Y轴（南北方向）的

4、分量（增量）（以下同）；：22 分别为测段下测点的井斜角和井斜方位角。2、平均角法平均角法井眼轨迹计算图如图所示，1、2是孔身轨迹上相邻的两个测点，1、2是1、2两个测点的水平投影，该测段的井斜角和井斜方位角等于上下两个测点的井斜角和井斜方位角的平均值。假设测段内的井眼轨道为一条直线，其方向是上、下两侧点井眼方向的平均值，则有iX = AL sin etc cos 0c sin c其中1.1,1.221.22需要注意的是，当某测点的井斜角等于零时，是没有井斜方位角的。“没有井斜方位角”，并不等于“井斜方位角等于零”。这种情况下的平均井斜方位角可作如下处理：当巴 =0时，旬=%； % =0时，%

5、；3、平衡正切法这种方法认为井斜角和方位角，在测段的开始和末尾全部切线补偿。根据测量的井斜角和方位角，用 三角函数平均值确定钻孔轴线坐标值。它也是把小段钻孔轴线作为折线来处理，并与以下要叙述的最小曲 率法有相似的计算公式，仅少了一项修正系数。该法得出一平滑曲线，较接近两测点间实际的钻孔轴线。 直观地看，两测点间距离越大，可能产生的误差越大。平衡正切法井眼轨迹计算图如图所示，1、2是孔身轨迹上相邻的两个测点，1、2是1、2两个测点的水平投影。上段直线用上测段的井斜角和井斜方位角，下段直线用下测点的井斜角和井斜方位角。这个钻孔轨迹是一条折点更 多的空间折线。假设测段内的井眼轨道为折线，两个线段的长

6、度均等于测段长度的一半，其方向分别与上、下侧点的 井眼方向相同，则有AX = Al sin 0tl cos Ay = AL sin q sin a二 Z = . -： L cos、之 i. ：L ：: B1 lS =L sin、力二:-iAX =B sin ct 1cos a +(Al B sin ct2 cos 屯YY = B sin 1 sin 0 +(Al B $in ot 2 sin 42,LZ = B cos 乩-i :.L - B cos、22 LL _ BlS = B sin .工 1 - I. :-L B sin ：- 2:二：2I：2当测点的。=0时，处理方法同平均角法。4、

7、曲率半径法这种方法是角（其切线）在每一测段开始与末尾经常被描述为一曲线， 它将代表钻孔的真实轴线。此曲线具有球面圆弧形状平滑，可用圆周或球面的一部分表示。圆弧的精确确定由两个方向的矢量和 已知的两测点间的距离所给定。由于这种假设，因测点间大距离所造成的误差小于其他计算方法，从 而该法成为钻孔空间坐标计算最精确的方法之一。Q曲率半径法井眼轨迹计算图假设测段内的井眼轨道在垂直剖面图和水平投影图上均为圆弧，其有下面几种计算方法:第一种表达形式:X = r (sin 6 - sin。)丫 = r (cos - cos e)Z = R(sin a -sin 0tl ),! -j S = R cos i。

8、cos ;S?： ?i.r式中-Liair _ R(cos % cos 民2 )(f2 G第二种表达形式:Z = R(sin - 2 一sin ;1)S = L(cos：1 一cos1 2)X -r (cos ； - cos 2)匚丫 = r(sin 2 - sin i)式中:L i80Aa ji2虬(85% - cos%) i80 ;Aa .4 l冗J：.一 2 i第二种表达形式:.：L(sin ： 2-sin 1 1) 180Z =Actjic：L(cos ： i - cos ： 2) 180: S =Actji. ：L(cos ： 1 -cos： 2 )(cos 1 - cos 2) :

9、X 二Aot dL(cosa1 -cosc(2)(sin 62 -sin%) f 180 ;这是最常用的公式。第四种表达形式：Act.：L 2sincos： c2 c180式中:-1 - - 2 c=-r-ot，2sin - sin 二 cS =2AaA otL 4sin 2ActL 4sin 2.A* sin -2otA* sin2ot180sin: c sin c cc180 f71sin 二 c cos c180 丫上述公式中，在分母中都有a和只要其中一个为零，都会使公式无法计算，所以在实际应用中要考虑到以下几种特殊情况:a) 第一种特殊情况， % =a2,#句，即Au = 0, Ae。

10、0。此时测段计算公式如下:Z = Lcos： 2X = Lsin = 2cos 1 -cos 2 180 4JTlY = Lsin-：2sin 1 - sin 2A*180兀b)第二种特殊情况，口1 #a2 , 41 = % ,即Aa =0,Ae = 0。此时测段计算公式如下:sin 二 2 一cos： 1Z =.LotS =3.Lcos： 1 -cos： 2o(cos： 1 - cos： 2 180X = L12 sin 2180 cos 2jicos： 1 -cos： 2Y = .：L12Actc）第三种特殊情况，1 =a2 ,色=%，即Act = 0，4=0。此时实际上是按着正切法的公式

11、进行计 算：Z = . Lcos： 2lS - Lsin 1 2lX = Lsin_ 12sin 2Y = Lsin 1 2cos 2d）第四种特殊情况， % #o（2 ,且其中之一等于零，则为零的该测点的方位角是不存在的。此时，可 按二测点方位角相等来处理，然后代入第二种特殊情况的公式中计算。5、校正平均角法校正平均角法是在曲率半径法公式的基础上，简化处理而导出的一种新方法。其简化思路如下:将sin x 展开成麦克劳林无穷级数的形式： TOC o 1-5 h z 3579xxxx sinx=x一 一 一 -一 一 -3!5!7!9!级数收敛很快，可近似取前两项，即 sinx = x- = x

12、-1x3o3!6, ActAl ,把曲率半径法计算公式的第四种表达式中的sin 和sin作上述近似处理，得到:223.二 .：. ： ：. ：12sin = - = (1 一 一 二)2248224?3.： -12。sin二-二(1 -)2248224将此二式代入曲率半径法计算公式的第四种表达式中，并忽略去高次微量，可使公式大为简化，即可得校正平均角法的计算公式：AaZ =(1 - 242-).：Lsin 二 cAaS =(1 - 242 .-: -2X = (1 -). ：L sin : c sin c242lY = (1 -)，sin ： c cos c24fH和fA是两个小于1而接近于1

13、的数。,则公式完全变成了平均角法的公式。所以,它是在平均角法的基础上乘以校正系数fH和231 2 二 2-2 -，一，令fH=1 ,fA=1 -可将上式间化。2424当Ra和巾足够小时，fH和fA可近似看作等于1可把fH和fA看作是一个校正系数。从公式的形式上看,fA,因此取名叫校正平均角法。平均角法是直线法，而校正平均角法在实质上是曲线法，是从曲线法的曲率半径法推演出来的。校正 平均角法形式上是直线法，实质上是曲线法，其假设更接近真实井身，因而较直线法更为精确。6、最小曲率法最小曲率法假设两测点间的井段是一段平面上的圆弧，圆弧在两端点处与上下二测点处的井身方向线 相切，即在上、下二测点的井身

14、方向一定的情况下，把测段看成圆弧曲线，乃是所有曲线中曲率最小的曲 线，所以被定名为最小曲率法。与曲率半径法相同，圆弧的精确确定也是由测段开始与末尾两个方向的 矢量和已知的两测点间的距离所给定。假设测段内的井眼轨道为空间圆弧，则有X = Xsin Oj cos & + sin acos Y = Xsin、sin G +sin asin 力Z = Xcos 01 +cos a)S = Xsin oq +sin a) (3.108)2tgA 小/2,5=小- aa = arccoscos a, cos(iL / R) - sin a, cos sin(AL / R)】,sin 01sin G + (

15、cos 以 sin G cos + cos G sin )tangL/ R) = arctan Isin 网 cos G + (cos 的 cos G cos 一 sin G sin )tan(L / R)其中R tg2：Rcos = cos ai cos a2 + sin % sin 、2 cosJsin 七一Gcos决.,tg 1cos 必-G - -tg “27、自然参数法（同下面的自然参数模型，可以参考）假设测段内的井眼轨道的井斜和方位随段长均匀变化，则有AX=(cosa a-cos( 5A+kAL)jkA +(cos (Zb cos(Zb+kbAL) ykB J，2AY = sin

16、oca -sin( ak + kA AL) J kA -(sin 加-sin(而 + kB AL) ) k b f2)AZ = (sin s - sin ai )匕(3.109)AS = (cos oq - cos k yk aa = % + k “AL(j) = G +kL其中22.一%L2 Likd如一（j）iL2 一 L1OCA ai-(j)iocb = i+ 4ikA k a -k .() kB =k a*kf)8、弦步法弦步法也假设相邻两测点间的井身轴线为一空间平面上的圆弧曲线。这个假设与最小曲率法相同。但是，弦步法认为，在测量时并不能测出这个圆弧的长度，而实际测出的是这段圆弧的弦的

17、长度。在实际测量时，由于钻柱或电缆被尽可能拉直，所以钻柱或电缆的轴线并步完全与井身轴线重合，而是近似地与圆弧形井身轴线的“弦”相重合。所以，用钻柱或电缆测得的“测段长度”并不代表“井段长度”，而是“弦长”。按照这个假设来计算井身轨迹的方法即为弦步法。弦步法的计算公式如下：L /Z (cos ： 1 cos 12) 2.L - L L,1 cosS = (sin ：- 1 sin ： 2) TOC o 1-5 h z X =/(sina 1sin +sinot2sina2)221 1 cosv L2Y =(sin ： 1 cos 1 sin ： 2 cos： 2):21 coscos = cos

18、： 1 cos： 2 sin 二 1 sin 二 2 cos9、自然参数模型模型特点：井斜变化率K值和方位变化率K均为常数。具体的计算公式如下：第一种情况：已知井斜变化率和方位变化率& =j +KaAL=0+KgL Or.】C r ,. , iX = bos(AP +KPAL AcosAp LsIAq +KqAL )cosAQ】KpKq AY = -C- sin(AP + KPAL )sin AP 1+-C- iin(AQ 十 KQAL )sin A 】KpKqZZ =sin (% + KaAL J-sin % 、KC =90 二，Kp =K-K , Kq =KK . 式中：。%二周 十 圾

19、AQ = a 心 A = L-Li第二种情况：已知下测点的井斜角和方位角K：=K -L2 - L2 - , 1L2 L1先由上式计算井斜变化率和方位变化率，然后代入第一种情况进行计算。10、圆柱螺线模型模型的特点：垂直剖面图上的曲率Kh和水平投影图上的曲率 Ka分别保持为常数。10具体的计算公式如下: 第一种情况：已知垂直剖面图和水平投影图上的曲率- - -1 - Kh LKa=1 一(cos 二 1 一 cos：)KhlX = Ra(sin - sin 1) AY = RA(cos1 sin 1 sin ； cos-。sin 1 cos cos 1 sin , (1 - cos ；) IZ

20、= R cos -1 sin -sin 二1 cos 1 (1 -cos ；)式中：w=KAL, R=180/(nK), 为初始装置角(切的计算可见本文后面部分)第二种情况：已知下测点的井斜角和方位角cos: =(acos：1 bcos1 2)/c|tg =asin 二 1 sin 1 bsin : 2sin 2a sin ： 1 cos 1 bsin 12 cos 2；-X = :?(sin 1 1 cos 1 sin 二 cos ) AY = P(sin 口 1 sin 4 1 +sin sin e)Z = P(cos% +cosu)11其中:名ab =cos，cos% cosa2 +si

21、na1sina2cos胞 _),LL2 - L1AB ，a=tgT-tg2,b=tgV-tg,c =tg tg2D 180(L2 - Li),R 二插值公式的统一性:上述空间圆弧模型的两组插值公式虽然形式上不同，实质上是统一的，其井斜角和方位角的插值公式 可以用如下的方法相互转化:1)当已知下测点的井斜角和方位角时，可以先用下述公式计算出井眼曲率和初始装置角:；ab = cos , bos ： 1 cos 二 2 sin ： 1sin ： 2 cos( 2 - 1) 1KL2 - L1sin : 2 sin( 2 - 1) sin =sin ；ab然后再代入第一种情况计算插值点的井斜角和方位角

22、。2)当已知井眼曲率和初始装置角时，也可以先用下面的公式计算出下测点的井斜角和方位角sin sin ；abtg2 -；)=cos% = cos ： i cos ；ab -sin ： 1 cos sin ；absin 1 cos ；ab cos： 1 cos sin ；AB其中：*AB = K(L2 - D。然后再应用第二种情况的公式计算插值点的井斜角和方位角。12、积分法:积分法的基础是：井深变化不大的两相邻点，井斜角和井斜方位角均不会发生突变。其基本原理如下：设井斜测量中两相邻测点 A、B的井深、井斜角和方位角分别为 LA,aAaA和LB,aB,6B ,增量为 L=LbLa, A =b -5

23、气-以；井斜角和方位角算术均值为6v =(%+)/2 , 9=怎+%)/2。将过A、B两点的实际井眼曲线 L=L(S)(以弧长s为自变量的空间曲线)分成 n个小弧段，每个小 弧段的长度为&L/n。将井斜角和方位角增量也分成n份，且设第一个小弧段的井斜角和方位角为otA和12*a,以后每个小弧段的井斜角和方位角均比前一个弧段增加豆/门和小e/门。当n足够大时，每个小弧段均可近似的看成长度均为 AL/ n的空间小线段，这样便将空间曲线L = L(S)用n个小线段来近似。第i个小线段的长度为 AL/n ,井斜角ctA+iAa/n,方位角+iA*/n , i=0, 1, 2-n-1o这相当于在实测的两

24、相邻点A、B之间增加了 n个中间测量点，这 n个中间测量点虽不是实测的，但是它们是按井深差别 不大的两相邻点，其井斜角和井斜方位角均不会发生突变的原则确定的，因此具有可靠性。对于每一小弧段，由于长度很小，可近似的看成小线段。按井眼轨迹计算的正切法克准确计算其位移量，再将其累加可得到：f Act、 cosi A i n( Act )t n n、L (E = sin 0tA i =0 nn、L(N =2sin a i=0 nIsin1A i nct 1Ai sin i、：A i n . n -.a Ci . . 门 + i i cos 3A +i i nJ 7 30m 7 100m时,单位换算系数

25、（Ck）的取值分别为10、 25 、 30 和100 。cos - =T31cos 1 T32sin 1；tg 一 T21T22tg。T11TMgu任意井深下的井斜角和方位角:cos4 : T22 T12tge弯曲角 e计算公式：cos名=cosa1 cosa2 + sin1sin2 cos(42 -四)装置角色计算公式：tg =cos：1 cos 2 - 115计算步骤：1.计算曲率半径和装置角计算坐标装换矩阵计算圆弧段弯曲角和段长圆弧段结束点在局部坐标系下的坐标圆弧段的坐标增量井眼轨迹的位置坐标3井眼曲率的计算方法:3.1曲率与平均曲率三维井眼轨迹可以看成是连续的、可微的、没有尖点的三维空

26、间曲线，以微分几何学的观点来看，可以将井眼轨迹看成是三维空间中的正则曲线，那么可以使用微分几何学的方法来定义井眼轨迹的曲率和平均曲率。正则曲线上任意点P的曲率K定义如下:(3-1)式中：名为L处和L +AL处的切线的夹角。曲率反映的是曲线上每一点的弯曲程度，在钻井问题中，经常要考察一段井眼轨迹的总体弯曲程度即计算平均井眼曲率，然而查询历年来公开发表的钻井文献，没有找到关于平均井眼曲率的严格的数学定义；在微分几何学上也没有关于平均曲率的定义。为了给平均井眼曲率计算以严格的数学基础，参照数学上各种平均量的计算，给出下面的平均曲率的数学定义。沿正则曲线弧长增加方向上的两点A和B之间的曲线段AB的平均曲率定义如下：1 LBK = J K（L）dL （3-2）。二 L 一井眼曲率与平均井眼曲率井眼曲率是描述井眼轨迹弯曲程度的一个非常重要的参数，它是井深的函数，描述的是井眼轨迹上任意点 TOC o 1-5 h z 的邻近的弯曲程度。使用微分几何学方法从数学上严格证明了下面的井眼曲率计算公式：K = K. + K.sin2.（3-3 ） HYPERLINK l bookmark83 o Current