Mean-CVaR大类资产配置框架与实战

1、引言如何控制投资组合风险，并提供不同风险-收益特征的投资组合是资产管理领域研究的重点。随着近年来投顾业务、固收加产品等业务的快速发展，对大类资产配置的需求加大，基金管理者需要提供具有不同风险收益特征的组合以匹配不同风险偏好水平的投资者。但这有个很重要的问题，风险收益匹配是我们的目标，但现实可能存在的情况是，我们认为的低风险不一定低风险，很可能出现收益低而风险不低的情况。很多特定目标下的组合，只是特定目标下模型的解，真正的风险收益情况可能跟设定的目标不一样，存在风险收益不匹配的情况。目前，被广泛采用的方法是通过限制风险资产的配置比例来控制风险。以养老基金领域为例，OECD 报告显示在 104 个

2、国家中，仅有 9 个国家的养老基金没有对资产配置比例作出限制。Halim（2010）的研究发现许多养老基金确实报告了与风险相关的其他指标，例如在险价值（VaR）或波动率，但这仅仅是一种事后的评估 (Duarte, 2017)，这些指标并没有事前参与到构建投资组合的过程中。综合前面的问题，我们需要重点考虑风险用什么方法度量更合理、目标风险与实际得到组合的风险是不是一致这两个问题。风险资产配置比例并不是控制风险的最佳方案，实证研究表明，通过限制资产配置比例来控制风险，最终得到的结果与目标相去甚远，且组合收益非常不稳定。极端情况下，限制资产配置比例不仅不能控制风险，反而限制了基金经理通过改变资产配置

3、避免损失的能力，是一个缺乏效率的管理方式。下面以智利固定缴款计划 (defined contribution, DC)养老金AFP 体系为例，说明用资产配置比例来控制风险存在重大缺点，案例来自第一个参考文献。自 2002 年起，智利的养老金体系由 A,B,C,D,E 五种基金组成，A 基金的期望收益和风险最高，E 基金的期 望收益和风险最低。这些基金可以投资于六类资产，分别为：海外股票、智利股票、海外公司债、智利公司债、智利国债、智利货币市场工具，而监管者则通过控制不同基金投资于这六类资产的比例来控制风险。基于股票 市场风险高于债券市场和海外市场风险高于国内市场的假设，监管者设定的投资于股票的

4、比例上限从基金 A 到 基金 E 依次降低，投资于债券的比例上限则正好相反，从 A 至 E 逐次升高。基金 A 的投股比例必须介于 40%- 80%之间，而E 的投股比例仅为 0%-5%；基金A 的债券比例必须介于 20%-60%，E 的债券比例为 95%-100%。若 养老金缴纳者没有专门指定基金风险等级，机构会根据他们的年龄选择默认的投资计划，年轻人的养老金投资 于风险较高的基金，年长者养老金则投资于风险较低的基金，如下表所示。表1： 智利养老金默认投资计划Fund TypeMen up to 35 years.Men between 36 and 55 years. WomenMen o

5、ver 56 years. Women over Women up to 35 yearsbetween 36 and 50 years51 years, retireesFund A Riskiest Fund B RiskyFund C IntermediateFund D Conservative Fund E Most conservative资料来源：Can asset allocation limits determine portfolio riskreturn profiles in DC pension schemes?通过 2006 年-2014 年的历史数据来考察 AFP

6、(pension fund administrators)基金的表现。首先是五类基金在 9 年间的几个核心指标：平均收益率，中位数收益率，收益率标准差和夏普比率，如表 2 和图 2 所示。可以看到，平均收益率的排序满足rA rB rC rD rE ，与管理者设定的基金目标相符。风险方面，尽管基金 A 到基金 E 的标准差也逐次降低，但夏普比例显示出这五种基金经风险调整后的收益率相差较大。表2： 2006-2014 年 AFP 基金业绩核心指标FundAFundBFundCFundDFundEMean6.625.815.434.964.73Median10.057.464.995.435.08S

7、tandard Deviation0.220.160.110.070.03Sharpe Ratio0.310.350.490.731.68资料来源：Can asset allocation limits determine portfolio riskreturn profiles in DC pension schemes? 图1： 2006-2014 年 AFP 基金在自然年的年化收益率资料来源：Can asset allocation limits determine portfolio riskreturn profiles in DC pension schemes?以上的数据和分析

8、都是基于自然年，即假设每一年从一月持有基金至十二月，得到该年的收益率，2006- 2014 年共得到 9 个一年期收益率。在实际情境中，每个月都有新的养老金进入基金，每笔资金的投资期限也各不相同，因此更合理的比较方法是考虑不同的开始月份和不同的持有期。定义“K 年移动窗口”为包含12 K个连续月份的数据区间，从而我们得到在给定月份投资了某种基金并持有 K 年的投资者最终实现的收益。例如当 K=1 时，我们可以从 2006-2014 的数据中提取出 97 个“1 年移动窗口”，从而得到 97 个年收益率，即我们不仅考虑从 1 月到 12 月，还将考虑从 2 月到次年 1 月，以此类推。图 2 显

9、示了K=1 时，五种基金的表现，平均收益率的排序结果与图 1 类似。但当我们单独观察 97 个期间的表现时，只有 46.4%的情况下，五种基金收益率排序满足rA rB rC rD rE 。 图2： 1 年移动窗口下 AFP 基金的累计收益率资料来源：Can asset allocation limits determine portfolio riskreturn profiles in DC pension schemes?鉴于养老基金一般为中长期投资，我们将窗口长度放宽，考虑更长的持有期。5 年移动窗口（每个期间包含 60 个月）和 8 年移动窗口的结果分别如图 3、图 4 所示。可以看到

10、，在 5 年移动窗口下，整体的排序结果反转为rE rD rC rB rA ；若单独考虑每个期间，有 78%的情况违反了正确的顺序，53%的情况下排序完全反转。8 年移动窗口更甚，所有期间的累计收益率排序都反转为rE rD rC rB rA 。图3： 不同宽度移动窗口下 AFP 基金的累计收益率5 年移动窗口8 年移动窗口资料来源：Can asset allocation limits determine portfolio riskreturn profiles in DC pension schemes?虽然 1 年移动窗口下的结果符合预期，但在养老基金的投资语境下，5 年或更长的窗口更贴合

11、实际情况。若一个投资者选择了 A 基金并打算持有八年以获得较高的收益，然而基于以上分析，不管他在哪个时间点投资基金，他所获得的收益将低于其他任意四种基金。由此可见，通过限制资产配置比例来控制风险并不能达到预期的目标。于是，我们需要用一个新的指标来控制风险。CVaR 是从风险值(value at risk, VaR) 基础上发展出的一种风险计量方法。VaR 是用概率统计估计金融风险的方法, 指在未来一定时期内, 在给定的概率置信水平下, 一种金融工具或投资组合潜在的最大损失。CVaR 作为一种可选的风险度量, 具有比 VaR 更良好的特性 (Artzner 1999)。Pflug (2000)证

12、明了 CVaR 满足次可加性、正齐次性、单调性及传递不变性, 是一个一致性的风险计量方法。在基金投资领域，CVaR 是比资产配置比例更优的风险控制方法。首先，对于每个投资组合，它仅仅需要一个参数（CVaR 上限），而限制资产配置比例需要两个参数（上限和下限）。其次，CVaR 方法可以构造兼具稳定性和区分度的风险收益特征的投资组合。另外，直接控制 CVaR 与基金的中长期投资目标匹配，将重点放在控制某个周期内的损失不超过特定阈值而非控制短期波动。我们使用各资产大类下的指数构建投资组合，并用 CVaR 作为风险测度动态调整最优权重，来考察不同参属下的资产配置方案业绩表现。Mean-CVaR 资产配

13、置模型Mean-CVaR 优化组合构建假设我们有 N 个资产类别，并从每个资产类别中选择一个代表指数。令x = (x 1, x 2, xn )为组合中每个 指数的权重，权重为正且和为 1。r = (r1,r2,rn )为各指数收益率组成的随机向量。同时，假设我们可以获取 N 个指数的日收益率数据。CVaR 方法的关键在于解除资产配置的一切限制（除了各权重大于 0 且权重之和为 1）。给定组合收益率rT x ，我们通过直接加以风险限制r (rT x ) g 来控制组合风险，其中g 为风险上限， r 为风险度量。本模型中，选用 CVaR 作为风险度量。优化问题如下：maximizewrxsubje

14、ct toCVaR a r x ge x = 1x 0其中r为估计的收益率向量， x 为投资于各指数的权重，e 为 1 组成的 n 维向量。如上构造的投资策略是一种主动型的被动策略(aggresive-passive)，被动体现在通过投资指数布局各个资产大类，主动体现在每一期调整各指数的投资权重。通过选择不同的g 值，我们可以构造出具有不同风险-收益特征的投资组合。在上文智利养老金 AFP 体系的例子中，若以 90% CVaR 为风险测度构造最优组合，选取过去三年中六种资产指数的一个月滚动年度收益率数据，解最优化问题，构建最优组合并持有 1 年，得到的 9 年累计收益率（2006-2014）与

15、 CVaR 阈值的关系如图 4 所示。蓝线可视为模型的 Mean-CVAR 风险收益前沿，每一个 CVaR 阈值g 都对应一个动态组合的累计收益率。可以看到蓝线在大部分时候是单调递增的，且与A,B,C,D,E 基金皆有交点。说明在 2006-2014 年期间，对每种基金都存在一个阈值g ，使得被动投资组合能获得与主动投资基金一样的累计收益。此外，A-E 基金对应的 值并非单调的，说明 A-E 组合风险情况并不是预想的那样符合风险单调递减的规律，从另一个角度印证了限制资产配置比例无法按照预期想法控制风险。 图4： CVaR 最优组合 9 年累计收益率与 CVaR 阈值的关系资料来源：Can as

16、set allocation limits determine portfolio riskreturn profiles in DCpension schemes?下图是我们构建的 Mean-CVAR 组合前沿和不同类型基金类别的交点情况，从货币基金、债券基金、混合基金这三个类别来看，确实是风险越高收益越高。从这个图可以看出来，日频 CVAR 区间大概在 0-0.035，转化为半年窗口期下，最大值大概是 0.4，所以这个风险参数设置过大会失去意义。 图5： CVaR 组合 3 年累计收益率与 CVaR 阈值的关系（2018-04-01 至 2021-03-31） 资料来源：Mean-CVaR

17、 组合构建与回测模型参数设置为了避免破坏阅读完整性，上文优化算法的求解方法，见本文最后的第六部分。模型算法准备好后，需要确定基础资产、参数估计方法、参数估计的历史区间长度等问题，本节主要阐述模型的计算准备。选取下面指数来代表各大类资产表3： 大类资产指数选取资产大类指数名称指数代码国内股票沪深 300中证 500创业板指000300.SH000905.SH399006.SZ国内债券中债国债中债信用债CBA00601.CSCBA03001.CS商品南华综合NH0100.NHF黄金上金所 AU9999AU9999.SGE港股恒生指数HSI.HI美股标普 500SPX.GI资料来源：调仓规则设置季度

18、调仓，计算的历史数据取过去 125 天数据。每季度末，选取最近过去 125 个交易日的日收益率数据，利用基于 CVaR 约束的平均收益最大化优化模型，转化为线性规划问题，并利用优化算法求解出最优组合权重并进行调仓，其数学原理请见本文第六部分。平均收益率估计优化模型的目标函数是资产组合的平均收益率，对于平均收益率的估计，我们采用指数加权移动平均，原因阐述如下。n 日简单移动平均：窗口期内各收益率权重相等。SMAt= rt + rt -1 + rt-n +1nn 日指数加权移动平均：窗口期内各收益率权重不等，呈指数衰减。yt-n +1 = rt-n +1yt = art + (1 - a)yt-1

19、利用递归，易得：n-1rt + (1 - a)rt-1 + (1 - a)rt-n +1EMAt =n-11 + (1 - a) + + (1 - a)其中， a 为权重衰减系数。可以看到，当0 a 1 时，越早的观测权重越小，且权重呈指数衰减。通过给最新的观测分配更大的权重，指数移动平均拥有更快的响应速度和更强的实时性，从而更好地把握收益上涨带来的盈利机会。以沪深 300 指数为例，图 1 展示了 2010-2021 期间沪深 300 指数的历史平均、125 天简单移动平均和 125 天指数加权移动平均，其中权重衰减系数a 取2n + 1，n 为窗口长度 125。可以看到，历史简单平均过于平

20、滑无法体现收益的波动性，SMA 虽然可以体现收益率的趋势但是较为滞后，相比之下 EMA 对数据有更快的响应，能更好地捕捉收益上涨的盈利机会。 图6： 沪深 300 指数三种平均对比资料来源：风险参数设置在构造优化组合时输入的日频收益率数据绝对值较小，不便于直接设定 CVaR 阈值，因此我们通过设定整个窗口期的 CVaR 并利用不同周期的转换公式得到单日的 CVaR。具体地，假设组合每日收益服从独立同方差的分布，则有如下转换关系：nn-day CVaR = 1-day CVaR 我们将整个窗口期（125 天）的 CVaR 阈值分别设为 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5，则对应单日

21、CVaR 阈值分别为1251251251251250.1， 0.2， 0.3， 0.4， 0.5。由于这一步的目的只是为了方便设定阈值，故收益的独立同方差性无需严格满足，不会影响优化结果。回测结果取过去 125 交易日数据用上述全部 9 个资产大类指数作为基础资产构造组合，季度调仓，回测区间为 2011.09 至 2021.05，不同CVaR 阈值下的组合收益结果展示如表 2 和图 2 所示。表4： 全资产 Mean-CVaR 组合收益结果（不同 CVaR 阈值下组合，下同）指标沪深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累计收益率70%162%274%339%277

22、%266%年化收益率5%10%14%16%14%14%夏普比0.241.341.111.020.780.69年化波动率23%8%13%16%18%20%最大回撤47%11%20%29%34%38%资料来源： 图7： 不同 CVaR 阈值下最优组合累计收益率资料来源：如图 2 所示，长期看，不同 CVaR 阈值下的投资组合表现均优于沪深指数。当 CVaR 阈值为 0.2 时，投资组合收益效果最优，累计收益率 339%，年化收益率达 16%，夏普比率 1.02，远超同期沪深 300 指数的收益表现（累计收益率 70%，年化收益率 5%，夏普比率 0.24）。最重要的发现是，风险参数在小于 0.2

23、的时候，组合的收益是风险参数的单调增函数，符合我们对模型的预期：高风险高收益。规避了前文描述的用比例控制组合风险中出现的风险与收益不匹配的 重大缺陷。各资产大类指数在资产组合中的权重变化情况如图 3-图 7 所示。图8： 不同 CVaR 阈值下最优组合各期权重CVaR0.08CVaR0.15CVaR0.2CVaR0.25资料来源：取更长历史区间交易日数据上文计算用的是过去 125 个交易日的历史数据计算，现在取过去一年数据和三年数据来测算，考察时间长度参数对模型结果的影响。从下表可以看出，Mean-CVaR 组合确实符合高风险高收益的特征，取过去三年历史数据作为参数估计样本，得到的组合最稳健，

24、虽然会牺牲一部分收益。表5： 全资产 Mean-CVaR 组合收益结果（250 天）指标沪深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累计收益率75%75%98%119%147%166%年化收益率6%6%7%9%10%11%夏普比0.261.350.920.850.830.78年化波动率23%4%8%10%12%14%最大回撤47%7%14%18%22%28%资料来源： 图9： 不同 CVaR 阈值下最优组合累计收益率（250 天）资料来源：表6： 全资产 Mean-CVaR 组合收益结果（750 天）指标沪深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250

25、.30累计收益率121%47%54%58%62%62%年化收益率11%5%6%6%7%7%夏普比0.492.031.230.980.840.71年化波动率23%3%5%6%8%10%最大回撤47%6%11%15%18%21%资料来源： 图10： 不同 CVaR 阈值下最优组合累计收益率（750 天）资料来源：带权重约束的 Mean-CVaR上节中，我们用九大类资产构造了不同CVaR 风险约束下的最优投资组合，得到显著优于沪深 300 指数的收益表现。可是组合在各类资产指数上的权重跳跃较大，且 CVaR 阈值越高，权重跳跃情况越严重。例如，当 CVaR 阈值为 0.3 时，回测期间仅有几期配置了

26、两种及以上资产，还有少数几期只持有一种资产。这与实际投资情况差异较大，实战意义弱。本节考虑给资产权重加上约束，有两种约束方法，一种是权重加上区间约束，一种是给换手率加上约束。权重约束设定现考虑四种不同的权重约束，可分为以下两大类：第一类：限制权重区间单个资产权重上下限：各资产权重上限 40%，下限 5%；各资产基准权重浮动区间：各资产基于给定的基准权重，上下浮动 10%。表 3 展示了一组基准权重的示例，保持各资产间基准比例不变，基准权重随入选资产组合调整，保证所有资产的权重之和为 1。表7： 权重约束指数名称指数代码基准权重浮动区间沪深 300000300.SH15%5%-25%中证 500

27、000905.SH15%5%-25%创业板指399006.SZ15%5%-25%中债国债CBA00601.CS12%2%-22%中债信用债CBA03001.CS12%2%-22%南华综合NH0100.NHF8%0%-18%上金所 AU9999AU9999.SGE8%0%-18%恒生指数HSI.HI8%0%-18%标普 500SPX.GI15%5%-25%资料来源：此类权重约束的优势在于可以直接控制每个资产的上下限，或者控制基准权重和浮动区间宽度，从而根据不同的资产偏好和投资风格灵活调整。第二类：限制换手率令wi,t 为第 i 个资产在第 t 期的权重，若没有设定初始权重，则假设各资产权重相等，

28、 wi,0 = 1N定义为某资产相邻两期权重变化的绝对值，有两种表示方法：。换手率单个资产换手率上限：wi,t - wi,t -1 L,i = 1, 2, N所有资产换手率之和上限：N wi,t - wi,t -1 Li=1这类权重约束从控制交易成本的角度出发，直接约束资产组合的换手率。由于这里的约束带绝对值，需要经过处理转化为普通线性约束。引入辅助变量y + , y - 分别代表买入量和卖出量，则有：y + - y - = w- wi,ti,ti,ti,t -1N( i,ti,t )y + + y - Li,t i=1y+i,t 0,y - 0带约束的资产配置回测结果单个资产权重上下限约束表

29、8： Mean-CVaR 组合收益（单个资产权重上限 40%，下限 5%）指标沪深 300Mean-CVaR0.150.200.250.30累计收益率70%180%197%207%209%年化收益率5%11%11%12%12%夏普比0.240.970.870.810.78年化波动率23%11%13%15%15%最大回撤47%21%27%31%33%资料来源： 图11： 不同 CVaR 阈值下最优组合累计收益率（单个资产权重上限 40%，下限 5%）资料来源： 图12： 最优组合各期权重（CVaR0.25；单个资产权重上限 40%，下限 5%）资料来源：各资产基准权重浮动区间约束区间的具体参数，

30、见上文表格。表9： Mean-CVaR 组合收益（各资产基准权重浮动区间约束）指标沪深 300Mean-CVaR0.200.250.30累计收益率70%214%242%257%年化收益率5%12%13%14%夏普比0.240.950.930.93年化波动率23%13%14%15%最大回撤47%26%30%32%资料来源： 图13： 不同 CVaR 阈值下最优组合累计收益率（各资产基准权重浮动区间约束）资料来源： 图14： 最优组合各期权重（CVaR0.3；各资产基准权重浮动区间约束）资料来源：单个资产换手率上限约束表10： Mean-CVaR 组合收益（单个资产换手率0.3）指标沪深 300M

31、ean-CVaR0.080.150.200.250.30累计收益率70%141%246%280%334%323%年化收益率5%9%13%14%16%15%夏普比0.241.291.121.010.970.87年化波动率23%7%12%14%16%18%最大回撤47%13%19%24%29%34%资料来源： 图15： 不同 CVaR 阈值下最优组合累计收益率（单个资产换手率0.3）资料来源： 图16： 最优组合各期权重（CVaR0.25；单个资产换手率0.3）资料来源：所有资产换手率之和上限约束表11： Mean-CVaR 组合收益（所有资产换手率之和1）指标沪深 300Mean-CVaR0.0

32、80.150.200.250.30累计收益率70%165%256%271%327%370%年化收益率5%10%14%14%16%17%夏普比0.241.401.130.970.940.91年化波动率23%7%12%14%17%18%最大回撤47%12%18%23%30%34%资料来源： 图17： 不同 CVaR 阈值下最优组合累计收益率（所有资产换手率之和1）资料来源： 图18： 最优组合各期权重（CVaR0.3；所有资产换手率之和1）资料来源：不同投资标的组合考虑基金可能受到资产范围限制的情况，可能不能投资于某些资产大类，现考虑不同投资范围下的 Mean- CVaR 优化组合表现。国内债股（

33、不含创业板）+商品+黄金+港股+美股表12： Mean-CVaR 组合收益（国内债股（不含创业板）+商品+黄金+港股+美股）指标沪深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累计收益率70%162%271%327%281%281%年化收益率5%10%14%16%14%14%夏普比0.241.381.131.040.850.79年化波动率23%7%12%15%17%18%最大回撤47%11%20%27%32%36%资料来源： 图19： 不同 CVaR 阈值下最优组合累计收益率资料来源： 图20： 最优组合各期权重（CVaR0.2）资料来源：国内债股+商品+黄金+港股表13

34、： Mean-CVaR 组合收益（国内债股+商品+黄金+港股）指标沪深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累计收益率70%153%228%245%218%216%年化收益率5%10%13%13%12%12%夏普比0.241.330.990.840.680.61年化波动率23%7%13%16%18%20%最大回撤47%10%20%28%34%38%资料来源： 图21： 不同 CVaR 阈值下最优组合累计收益率资料来源： 图22： 最优组合各期权重（CVaR0.2）资料来源：国内债股+商品+黄金表14： Mean-CVaR 组合收益（国内债股+商品+黄金）指标沪深 3

35、00Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累计收益率70%158%243%257%233%238%年化收益率5%10%13%14%13%13%夏普比0.241.401.050.870.700.64年化波动率23%7%12%15%18%20%最大回撤47%9%20%28%34%38%资料来源：资料来源： 图24： 最优组合各期权重（CVaR0.2）资料来源：国内债股+商品表15： Mean-CVaR 组合收益（国内债股+商品）指标沪深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累计收益率70%128%180%212%186%187%年化收益率5%9%11

36、%12%11%11%夏普比0.241.340.940.820.640.57年化波动率23%6%11%15%17%20%最大回撤47%9%20%25%31%35%资料来源：资料来源： 图26： 最优组合各期权重（CVaR0.2）资料来源：国内债股表16： Mean-CVaR 组合收益（国内债股）指标沪深 300Mean-CVaR0.080.150.200.250.30累计收益率70%147%242%284%254%257%年化收益率5%9%13%14%13%14%夏普比0.241.581.211.030.800.71年化波动率23%6%11%14%17%19%最大回撤47%9%20%25%31%

37、35%资料来源：图27： 不同 CVaR 阈值下最优组合累计收益率资料来源：图28： 最优组合各期权重（CVaR0.2）资料来源：Mean-CVaR 模型求解数学原理Rockafellar(2000) 证明了 CVaR 优化问题可以转化为一个凸函数的优化问题, 而且当不确定性由有限个场景近似时，可以通过使用线性规划算法（LP）来对其进行优化, 并在优化 CVaR 的同时可以得到相应的 VaR 值, 便于大批量计算。首先，假设 f (w, r)为任意损失函数，其中 w 是优化变量， r 为随机参数。现在，考虑在控制 CVaR 的约束下，最大化投资组合的平均收益，此时损失函数 f (w, r) =

38、 -w Tr ， w 为投资组合权重， r 为资产收益。组合优化问题可表示为：maximizeww Tmsubject toCVaR a (f (w, r) c1T w = 1其中， CVaR a(f (w, r) = E f (w, r) f (w, r) VaR a(f (w, r) 。定理：定义辅助函数Fa(w, z) = z +11 - af (w, r) - z + p(r)dr ，则有如下结论：VaRa 是使Fa(w,z) 达到最小的参数zVaR a(f (w, r) = arg minFa(w, z)zCVaRa 是Fa(w,z) 的最小值CVaR a(f (w, r) = mi

39、nFa(w, z)z证明:(a) 使Fa(w,z) 达到最小的参数z 满足： 0 zFa(w, z *)。比如我们选取如下梯度：()1 - aszFa (w, z ) = 1 - 1 (f (w, r) z )p(r)dr= 1 - 1 Pr f (w, r) z = 0 1 - a其中 ()为示性函数。于是有Pr(f (w, r) z ) = 1 - a z = VaR a(f (w, r)(b)minF (w, z) = Fw, z = z +1f (w, r) - z +p r drzaa ()1 - a CVaR a(f (w, r) = E f (w, r) f (w, r) VaR a(f (w, r)=11 - ar:f (w,r)VaR af (w, r)p(r)dr=11 - a f (w, r) - VaR a +p(r)dr + VaR a引理 1： min CVaR a(f (w, r) = min Fa(w, z)ww,z简单来说，通过最小化Fa(w,z) 可