人口增长模型的确定

1、数学建模论文第二 套论文题目：人口增长模型的确定组 别：姓 名：提交日期:题目：人口增长模型的确定摘要针对问题一，本文建立了 Malthus 人口指数增长模型。由于人口数量较少时，人口的增长率可以看成常数，所以在预测人口数量较少时， Malthus 人口指数增长模型能够比较准确的预测人口数量。由预测结果可以看出， Malthus 模型在人口数量不是很大的1800年到 1960年预测与实际相近， 但在 1960年以后预测结果与实际人口相差很大， 这 说明 Malthus 模型并不能准确的预测美国人口，因此在问题二种对该模型进行了改进。 针对问题二，本文建立了 logistic 人口增长模型。由于

2、受到自然资源和生态环境的限制，人口的增长不能超过环境所能容纳的最大人口数量，所以当人口数量到达环境容纳量时， 增长率应为 0。 从预测结果来看， 从 1790年到 1980年 Logistic 模型的预测数据和实际数据基本吻合。从1990 年的预测结果来看，其与实际结果非常相近，更加趋近于实际数据。 在一定程度上， Logistic 模型从一定程度上克服了指数增长的不足， 更能准确地预测美国人口的增长。 但随着时间的推移， Logistic 模型的预测结果与实际结果的差距越来越大，因此这种模型也只适用于对最近几个十年的人口进行预测。针对问题三，本文应用问题一和问题二的模型。用这两种模型分析中国

3、同时期的人口数量。由预测结果来看， Malthus 模型预测 1790年到 1980年之间的中国人口数量，与实际数据相差甚大，在1840-1940 年之间，实际人口增长明显下降，而Logistic 模型更加拟合实际人口数量。 在 2010年， Logistic 模型预测的人口数量为 16亿， 这与实际的人口数量13.4 亿相差较大， 这种差距是由中国在90年代实行的计划生育政策造成的。综上所述， Logistic 模型能够比较准确的对人口进行预测， 但是任何一种模型都有其适用范围，也只能最近几年的人口，如果要预测更远的未来的人口，还需要考虑更多的不确定因素。关键词： 人口增长模型， Malth

4、us 模型， logistic 模型，人口预测一、问题重述1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。表1人口记录表年份1790180018101820183018401850186018701880人口(106)3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.2年份1890190019101920193019401950196019701980人口(106)62.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5.试用 以 上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口 数量，并

5、查阅实际数据进行比对分析。.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对 两次预测结果进行对比分析。.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人 口预测与分析。二、问题分析针对问题一，题目中已经给出了 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录，现需 建立Malthus人口指数增长模型，拟合实际人口数量。再根据已建立的模型对接下来的 每隔十年预测五次人口数量，最后可以查找1990年、2000年和2010年的实际人口与预 测的结果进行比较，对模型进行检验。针对问题二，由于人口的变化受到多方面因素的影响，所以实际人口往往不是以 指数形式增长

6、的，而更可能是增长到一定程度后逐渐趋于平稳的，为此我们可以采用 Logistic阻滞增长模型对人口进行预测和分析。针对问题三，可以查阅到与表 1同时期的中国人口数据，然后用再用 Malthus模 型和Logistic 模型对中国人口进行预测，并与实际人口数据进行对比，寻找一种更适 合中国人口预测的模型。三、问题假设1、假设不会发生大的灾难或疾病使人口数量急剧减少；2、假设政策对生育率不进行干预；3、假设人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生 育与死亡，且每个个体具有同样的生育能力与死亡率；4、假设人口数量仅受自然资源与环境条件所限制。四、变量说明x(t)t时刻的人

7、口数量Xo初始时刻的人口数量r人口增长率Xm自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数量五、模型建立与求解模型一的建立与求解假设x(t)表示t时刻的人口的人口数，且 x(t)连续可微。在Malthus模型中人口 的增长率为常数。人口数量的变化是封闭的，即人口的增长与减少只取决于人口中个体 的生育与死亡，且每个个体具有同样的生育率与死亡率。由假设，由 t至ht时刻的人口增量为：x(t t) x(t) rx(t) t于是得dxrx dt x(0) x其解为x(t)x0ert模型二的建立与求解由于地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量生命生存所需的条件。随着人口 的增加，自然资源、环境等条件对人口再增

8、长的限制作用越来越明显。如果在人口较小 时，可以把增长率r看成常数，当人口增加到一定数量之后，就应该把r看成随着人口增加而减小的量。即将增长率r表示为人口 x(t)的函数r(x),且r(x)为x的减函数， 由此建立logistic 模型。假设r(x)为x的线性函数，即r(x) r sx。自然资源与环境所能容纳的最大人口数量为xm,即当x xm时，人口的增长率为0由假设可得则有,r(x) r(1dxx.r (1 )x dtxmx(to) xxm式（）是一个可分离变量的方程，其解为x(t)xm1 e r t t0 xo六、结果分析问题一采用Malthus模型对问题一求解，所得预测结果如图 1和表2

9、所示:im2(10-| - | - | - VI -|180。1N4U LNH0 192。1%02000年份图1 Malthus 模型预测结果表2 Malthus 模型预测结果年份19902000201020202030Malthus 预测人口（106）405.53502.40622.41771.08955.26实际人口（ 106）248.71281.42308.74由图1可知，在1930年之前，美国的人口可以认为是以指数模型增长的； 而在1930 年到1940年之间，人口增长缓慢，这可能是第二次世界大战对美国人口产生了影响； 1940年之后，人口增长逐渐趋于缓慢，不再以指数模型进行增长，这与

10、美国人口的生活 观念和生活方式的转变有一定的关系。由表 2可知，Malthus模型的预测结果与实际人 口相差很大，这说明Malthus模型并不能用于预测美国人口，因此该模型还需要进一步 改进。问题二采用Logistic模型对问题二求解，所得预测结果如图2和表3所示:图1 Logistic 模型预测结果表3 Logistic 模型预测结果年份19902000201020202030Logistic 预测人口 (106)230.91242.51252.01259.66265.72实际人口（ 106）248.71281.42308.74由图2可知，从1790年至I 1980年Logistic模型的预

11、测数据和实际数据基本吻合。从1990年的预测结果来看，其与实际结果非常相近，只有7.7%的误差。这说明Logistic 模型从一定程度上克服了指数增长的不足，更加符合实际人口增长的速度。但随着时间 的推移，Logistic模型的预测结果与实际结果的差距越来越大，因此这种模型也只适用于对最近几个十年的人口进行预测，如果用来预测更远的未来的人口，还需要考虑更多 的不确定因素。问题三查阅同时期中国人口数量如下表 4所示：表4中国人口记录表年份1790180018101820183018401850186018701880人口（10 %323.45341.6360.738140941241237735

12、8368年份1890190019101920193019401950196019701980人口（ 10 6）380400423472489518.77551.67662.07825.4987. 0分别用模型一和模型二的求解，所得预测结果如图 3和表5所示:年份19902000201020202030Malthus 预测人口（106）702.16732.44764.20796.96831.33Logistic 预测人口 (106)1137.031352.091606.621900.12228.6实际人口（ 106）1135.181264.101341T-4除人口 上Mid由例预制 r口次调工讪

13、预测由图3发现，由Malthus模型预测1790年-1980年之间的中国人口数量，与实际数 据相差很大，在1840-1940年之间，人口增长明显下降，而 Logistic 模型更加拟合实 际人口数量。在2010年，Logistic模型预测的人口数量为16亿，这与实际的人口数量 13.4亿相差较大，这种差距是由中国在 90年代实行的计划生育政策造成的。八、参考文献1张志涌，杨祖樱.MATLAB教程M.北京：北京航空航天大学出版社，2011.2姜启源，谢金星，叶俊.数学建模(第三版)习题参考解答M,北京，高等教育出版社，2002.3齐欢.数学模型方法M.武汉：华中理工大学出版社，2005.4谢金星

14、，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软彳M.北京，清华大学出版社，20055李工农，阮晓，青徐晨.经济预测与决策及其 MATLAB现M.北京：清华大学出版社， 2007.九、附录程序1clearclct=1790:10:1980;x(t)=3.95.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ;y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2)t1=1790:10:2030;x1=x0.*exp(r.*t

15、1);plot(t,x(t),r,t1,x1,b);axis(1790 2010 0 700);程序2 clear clc% 定义向量(数组)x=1790:10:1980;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 .92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;plot(x,y,*,x,y); % 画点，并且画一直线把各点连起来hold on;a0=0.001,1; % 初值%最重要的函数，第1个参数是函数名(一个同名的m文件定义)，第2个参数是初值,第 3、 4 个参数是已知数据点a

16、=lsqcurvefit(curvefit_fun2,a0,x,y);disp(a= num2str(a); % 显示结果% 画图检验结果xi=1790:10:2010;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,r);% 预测 1990 年的数据x1=1990;y1=curvefit_fun2(a,x1)% 预测 2000 年的数据x2=2000;y2=curvefit_fun2(a,x2)% 预测 2010 年的数据x3=2010;y3=curvefit_fun2(a,x3)% 预测 2020 年的数据x4=2020;y4=curvefit_fun2(a,x4)%

17、预测 2030 年的数据x5=2030;y5=curvefit_fun2(a,x5)hold off美国人口预测年份实际LogisticMalthus相对误差 (Malthus)相对误差( Logistic)17903.93.95.59167-43.37615385018005.35.166916.92733-30.704339622.51113207518107.26.83548.58203-19.194861115.06388888918209.69.0253410.63198-10.749791675.986041667183012.911.8870313.17159-2.1053488

18、377.85248062184017.115.6049416.317834.5740935678.743040936185023.220.3991220.215612.863793112.07275862186031.426.5216625.0444220.2407006415.53611465187038.634.2447731.0266719.6200259111.28297927188050.243.8367638.4378723.4305378512.67577689189062.955.5226947.6193624.2935453119007669.4302758.9939922.

19、3763289519109285.5281473.0856220.55910871920106.5103.5725590.5432614.982854461930123.2123.08527 112.170948.9521590911940131.7143.38309 138.96472-5.5161123771950150.7163.66332 172.15862-14.239296621960179.3183.12602 213.28139-18.952253211970204201.09536 264.22698-29.523029411980226.5217.10295 327.341

20、73-44.521735111.728632758.6443815797.0346304352.7487793430.093125-8.870987092-8.602070338-2.1338650311.4238431374.1488079471990230.91488 405.532422000242.50778 502.400172010252.01481622.40632020259.6639771.077782030265.7242955.26175323.45341.6360.75381409412412377358368380400423472489518551.67662.07

21、825.42987.05Logistic303.9305.14258306.78056308.9394311.78408315.5314320.46584326.96015335.50171346.72593361.45825380.76564406.01837438.96102481.78915537.22329608.56421699.70282815.04422959.29221137.03535Malthus301.81471314.8293328.40509342.56629357.33813372.74695388.82021405.58657423.07592441.31943460.34961480.2004500.90718522.50686545.03794568.54058593.0