新人教版高中数学必修第二册全套课时作业：课时跟踪检测（十二） 余弦定理、正弦定理应用举例

1、课时跟踪检测（十二） 余弦定理、正弦定理应用举例A级学考合格性考试达标练1从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为，同时测得建筑物顶部仰角为，则山顶的仰角为()ABC D解析：选C如图可知，山顶的仰角为.故选C.2两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10解析：选B灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得ACB80，CABCBA50，则605010，即北偏西10.故选B.3一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处，下午2

2、时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.eq f(17r(6),2) n mile/h B34eq r(6) n mile/hC.eq f(17r(2),2) n mile/h D34eq r(2) n mile/h解析：选A如图所示，在PMN中，eq f(PM,sin 45)eq f(MN,sin 120)，MNeq f(68r(3),r(2)34eq r(6)，veq f(MN,4)eq f(17r(6),2) (n mile/h)故选A.4在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60和30，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物

3、高度为()A20 m B30 mC40 m D60 m解析：选C如图，设O为塔顶在地面的射影，在RtBOD中，ODB30，OB20，BD40，OD20eq r(3). 在RtAOD中，OAODtan 6060. ABOAOB40. 故选C.5一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过eq r(3) h，则船实际航程为()A2eq r(15) km B6 kmC2eq r(21) km D8 km解析：选B如图所示，在ACD中，AC2eq r(3)，CD4eq r(3)，ACD60，AD2124822eq r(3)4eq r(3)eq f(1,2)

4、36.AD6.即该船实际航程为6 km.故选B.6某人从A处出发，沿北偏东60行走3eq r(3) km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为_km.解析：如图所示，由题意可知AB3eq r(3)，BC2，ABC150.由余弦定理，得AC227423eq r(3)2cos 15049，AC7. 则A，C两地的距离为7 km.答案：77如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为_m/s.(精确到0.1，参考

5、数据：eq r(2)1.414，eq r(5)2.236)解析：由题意，AB200 m，AC100 eq r(2) m，由余弦定理可得BC eq r(40 00020 0002200100 r(2)blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)316.2 (m)，这辆汽车的速度为316.21422.6 (m/s)答案：22.68上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是_m.解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题

6、意知ACB120，且ACBC，过C作AB的垂线交AB于D，在RtCBD中，DB500 m，DCB60，BCeq f(1 000r(3),3) m.答案：eq f(1 000r(3),3)9.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75，距离为12eq r(6) n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120，求A与D间的距离解：在ABD中，ADB60，DAB75，B45.ADeq f(ABsin B,sin ADB)eq f(12r(6)f(r(2),2),f(r(3),2)24(n mile)即A与D间的距离为24 n mile.10在海岸A处，发现北偏东45方向，距离

7、A处(eq r(3)1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10eq r(3) n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，则有CD10eq r(3)t，BD10t，在ABC中，ABeq r(3)1，AC2，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(eq r(3)1)2222(eq r(3)1)2cos 1206，BCeq r(6)，且sinABCeq f(A

8、C,BC)sinBACeq f(2,r(6)eq f(r(3),2)eq f(r(2),2)，ABC45，BC与正北方向成90角CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCDeq f(BDsinCBD,CD)eq f(10tsin 120,10r(3)t)eq f(1,2)，BCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船B级面向全国卷高考高分练1如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：测量A，B，b；测量a，b，C；测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离

9、的所有方案的个数为()A3 B2C1 D0解析：选A对于，利用内角和定理先求出CAB，再利用正弦定理eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)解出c；对于，直接利用余弦定理c2a2b22abcos C即可解出c；对于，先利用内角和定理求出CAB，再利用正弦定理eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)解出c.故选A.2甲船在湖中B岛的正南A处，AB3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15 min时，两船的距离是()A.eq r(7) km B.eq r(13) kmC.eq r(19) k

10、m D.eq r(103r(3) km解析：选B由题意知AM8eq f(15,60)2，BN12eq f(15,60)3，MBABAM321，所以由余弦定理，得MN2MB2BN22MBBNcos 12019213eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)13，所以MNeq r(13) km.故选B.3.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角CAB45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为()A500eq r(2) mB200 mC1 000eq r(2) mD1 000 m解析：选DSAB453015，SBAABCSBC45(90

11、75)30，在ABS中，ABeq f(ASsin 135,sin 30)eq f(1 000f(r(2),2),f(1,2)1 000eq r(2)，BCABsin 451 000eq r(2)eq f(r(2),2)1 000(m)故选D.4如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是()A240(eq r(3)1)m B180(eq r(2)1)mC120(eq r(3)1)m D30(eq r(3)1)m解析：选C由题意知，在RtADC中，C30，AD60 m，AC120 m在ABC中，BAC753045，ABC1

12、804530105，由正弦定理，得BCeq f(ACsinBAC,sinABC)eq f(120f(r(2),2),f(r(6)r(2),4)120(eq r(3)1)(m)故选C.5台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为_h.解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2402220t40cos 45302. 化简，得4t28eq r(2)t70，t1t22eq r(2)，t1t2eq f(7,4).从而|t1t2|eq r(t1t224t1t2)1(h)答案：

13、16当太阳光线与水平面的倾斜角为60时，一根长为2 m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角_.解析：如图，设竹竿与地面所成的角为，影子长为x，依据正弦定理可得eq f(2,sin 60)eq f(x,sin120).所以xeq f(4,r(3)sin(120)因为0120120，所以要使x最大，只需12090，即30时，影子最长答案：307某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30，已知小李和小军相距(BD)6米，小李的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米

14、，求旗杆的高EF的长(结果精确到0.1，参考数据：eq r(2)1.41，eq r(3)1.73)解：过点A作AMEF于M，过点C作CNEF于N，MN0.25，EAM45，AMME，设AMMEx，则CN(x6)，EN(x0.25)，ECN30，tanECNeq f(EN,CN)eq f(x0.25,x6)eq f(r(3),3)，解得：x8.8，则EFEMMF8.81.510.3(m)答：旗杆的高EF约为10.3 m.C级拓展探索性题目应用练为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西eq r(3) km有一条北偏东60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两