曲线凹凸性以及曲率

1、关于曲线的凹凸性及曲率第一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月问题:如何研究曲线的弯曲方向?问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?第二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月定义 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的一、（一）曲线的凹凸性与拐点第三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月曲线凹凸的判定:第四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 定理 设函数 在区间 内存在二阶导数，(2)若时，恒有，则曲线在内凸的(1)若时，恒有，则曲线 在内凹的；第

2、五张，PPT共三十二页，创作于2022年6月例解注意到,第六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月（二）曲线的拐点 第七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月求拐点的一般步骤：令，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；求函数的二阶导数；对步骤求出的每一个点，检查其左、右邻近的的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点第八张，PPT共三十二页，创作于2022年6月第九张，PPT共三十二页，创作于2022年6月第十张，PPT共三十二页，创作于2022年6月练习. 求曲线的凹凸区间及拐点.解:1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得对应3) 列表判别故该曲线在及上是凹的,

3、是凸的 ,点 ( 0 , 1 ) 及均为拐点.凹凹凸第十一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月xoyl二、 渐近线 第十二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月03.08.202213 曲线渐近线的分类第十三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月第十四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，其曲线才有可能存在水平渐近线第十五张，PPT共三十二页，创作于2022年6月解因为，所以是曲线的水平渐近线又因为5是的间断点,且，所以是曲线的铅垂渐近线例 求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线.第十六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月例 求曲线的水平渐

4、近线和铅垂渐近线.解因为，所以是曲线的水平渐近线又因为1和-1是的间断点，且，所以和是曲线的铅垂渐近线第十七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月三、复杂函数图形的描绘步骤 :1. 确定函数的定义域 ,期性 ;2. 求并求出及3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .为 0 和不存在的点 ;并考察其对称性及周第十八张，PPT共三十二页，创作于2022年6月例3. 描绘的图形.解: 1) 定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)第十九张，PPT共三十二页，创作于2022年6月第二十张，PPT共三十二页

5、，创作于2022年6月第二十一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月2- 1-12o1第二十二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月四、平面曲线的曲率-曲线的弯曲程度决定于描述曲线在一点的弯曲程度第二十三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月4、1 曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 取弧段对应切线转角定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率曲率K 的计算公式第二十四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月例. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .第二十五张，PP

6、T共三十二页，创作于2022年6月抛物线例上哪一点处的曲率最大？解：根据曲率的计算公式由代入公式得若 a, b 给定，则时，曲率 K 最大，即即抛物线的顶点处曲率最大第二十六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月4、2 曲率圆与曲率半径设 P 为曲线 C 上任一点 ,在点在曲线把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 P 处的曲率圆( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.P 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使第二十七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月第二十八张，PPT共三十二页，创作于2022年6月第二十九张，PPT共三十二页，创作于2022年6月内容小结1. 可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上的凹凸分界点曲线在I上向下凹第三十张，PPT共三十二页，创作于2022年6月3. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 :使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极