曲线凹凸性和渐近线

1、关于曲线的凹凸性和渐近线第一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月一、曲线的凹凸性问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1*:第五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月对于曲线的弯曲方向，我们换一个角度来看曲线上任一点的切线位于曲线的上方曲线上任一点的切

2、线位于曲线的下方机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 我们可以证明：定义1和定义2是等价的。第八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月定理1（凹凸性的充分条件）：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明1：用定义1证第十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动

3、目录 上页 下页 返回 结束 由定义2，(1)成立。同理可以证明(2)。证明2：用定义2证第十二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月推论：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例1：解：注意到,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例2解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)(2)第十五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月二、曲线的拐点1、定义注意: 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。2、拐点的求法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月证机动

4、 目录 上页 下页 返回 结束 第十七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例3：解凹的凸的凹的拐点拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月注意:例4：解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十九张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 求函数 f (x) 的拐点的步骤：注意：例第二十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月定理4证明：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例5：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十二张，PPT共五十四页，创作于20

5、22年6月三、渐近线定义:1.铅直渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例如有铅直渐近线两条:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月3.斜渐近线斜渐近线求法:显然，水平渐近线是斜渐近线的特例。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月证明：由渐近线的定义，有要使此时成立，必须机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十七张，PPT共

6、五十四页，创作于2022年6月注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6解第二十九张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例7： 确定常数 a , b , 使解:由条件知，第三十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月四、函数作图利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步第三步机动 目录 上页 下页 返回 结束 步骤：第三十二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月第五步第四步 求曲线的渐近线；第七步第六步 作图。机动

7、 目录 上页 下页 返回 结束 第三十三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例8解非奇非偶函数,且无对称性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月作图机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月例9解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点

8、:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数没有渐近线。第三十八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月拐点极大值极小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十九张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月1、凹凸性的定义：两种定义； 用函数二阶导数等于零或二阶导数不存在的点，将函数的定义域分成若干个区间，由二阶导数的符号判定函数在各个区间的凹凸性，再由凹凸性的改变判别拐点;2、凹凸性的判别和拐点的求法：3、渐近线的求法：水平渐近线和斜渐近线；机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、小结4、函数作图。第四十一张

9、，PPT共五十四页，创作于2022年6月作业机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题3-4(P188) 1(3)(6)；2(2)；3；5； 7(2)(6)；8；11(2) ；12 第四十二张，PPT共五十四页，创作于2022年6月解：例机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习第四十三张，PPT共五十四页，创作于2022年6月解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十四张，PPT共五十四页，创作于2022年6月 ; .的凹区间是凸区间是拐点为提示:及 ;第五节 目录 上页 下页 返回 结束 3. 曲线第四十五张，PPT共五十四页，创作于2022年6月4. 曲线(A) 没有渐近线；(B)

10、 仅有水平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十六张，PPT共五十四页，创作于2022年6月5. 求证曲线 有位于一直线的三个拐点.证明：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十七张，PPT共五十四页，创作于2022年6月令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十八张，PPT共五十四页，创作于2022年6月6、解偶函数, 图形关于y 轴对称.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十九张，PPT共五十四页，创作于2022年6月拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十张，PPT共五十四页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十一张，PPT共五十四页，创作于2022年6月备用题 求笛卡儿叶形线的渐近线 . 解: 令 y = t x ,代入原方程得曲线的参数方程 :因所以笛卡儿叶形线有斜渐近线机