必做的立体几何综合题

1、必做的立体几何综合题作者:日期:3 7143.714 AC与PB所成角的余弦值为(n)由于 N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0, z),则-1NE ( x,-,12NE AP 0,NE AC 0.即N点的坐标为z),由NE面PAC可得，(xj,1 z) (0,0,2) 0,z 1 0,x即 2化简得 -1113x 0.(x,2,1 z) ( 3,1,0) 0.2z(23,0,1),从而N点到AB和AP的距离分别为1,。66轮复习必做的立体几何综合题1、如图，在四锥P ABCD中，底面ABCD为矩形,侧棱 PA 底面 ABCD , AB J3，BC 1， PA 2,E为PD的中点。(I

2、)求直线 AC与PB所成角的余弦值；(n)在侧面 PAB内找一点N ,使NE 面 PAC ,并求出点N到AB和AP的距离。解：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A,B,C,D,P, E 的坐标为 A(0,0,0)、b(V3,0,o)、c(73,i,o)、d(0,i,o)、iP(0,0,2)、E(0,-,1), 2从而 AC ( 3,1,0), PB ( . 3,0, 2).设aC与pB的夹角为AC PB cos I AC | |PB |2、如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面 AEC1F所截面而得到的，其中AB 4, BC 2,CC1 3,BE 1。(I)求BF的长；(n )

3、求点C到平面AEC1F的距离。 / 7解：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0) , B(2,4,0)A(2,0,0), C(0,4,0), E(2,4,1),Ci(0,4,3)设 F(0,0, z) AECiF为平行四边形,由AEGF为平行四边形，uur uuur由AF ECi得,(2,0,z) ( 2,0,2),z 2. F(0,0,2). uurEF ( 2, 4,2).uur _于是| BF | 2 J6,即BF的长为2、/6.(II )设N为平面AECiF的法向量，显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1 (x,y,1) it uujr上 n AE 0,/日 0 x 4

4、 y 1 0由it uur 得叫 AF 0,2 x 0 y 2 0 x 1,1又CCi(0,0,3)，设CC1与n1的夹角为CC1 n；3cos ICC1 I |n1 I 311.16,则4.3333 C到平面AEC1F的距离为4.33d |CC1 | cos 3 334一33113、如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长是2,D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45 .(I)求此正三棱柱的侧棱长；(n) 求二面角A BD C的大小;(出)求点C到平面ABD的距离.解：(I设正三棱柱 ABC A1B1cl的侧棱长为ABC是正三角形，AEx .取BC中点E ,连A

5、E .又底面ABC 侧面BBiCiC ,且交线为BC .AE 侧面 BB1C1C .连ED ,则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为ADE 450.在 RtAED 中，tan45o此正三棱柱的侧棱长为EDx12”.注：也可用向量法求侧棱长.（n）解法1：过E作EF BD于F ,AE 侧面 BB1C1C, AF BD .AFE为二面角A BD C的平面角.在 Rt BEF 中，EFBEsin EBF ,又BE 1,sin EBFCDBD我 叵22 (.23又 AE ,3,在Rt AEF中,tan AFE故二面角A BDC的大小为些3.EF arctan3.解法2：（向量法，见后）（出）解法1：由

6、（n）可知，BD过E作EGAF于G ,则EGAE EF 在 RtAEF 中，EG AEAF平面AEF ,平面ABD .、3虫3平面AEF 平面ABD ,且交线为AF ,Q E为BC中点,点C到平面3 2 (J 3,3010ABD的距离为2EG2、. 3010解法2：（思路）取AB中点H，连CH和DH，由CA CB, DA DB平面CHD ,且交线为DH .过点C作CIDH于I ,则CI的长为点易得平面ABDC到平面ABD的距离.解法3:解法4:题（n）（n）（思路）等体积变换：由VC ABD VA BCD可求.（向量法，见后）、（m）的向量解法：解法2：如图，建立空间直角坐标系 o xyz.则

7、 A(0,0,、.3), B(0, 1,0),C(0,1,0), D(（x, y,z）为平面ABD的法向量.n1AB又平面AD ur n (BCD0,y得 L0 2x、6, .3,1).ur的一个法向量n2缶y 、. 3z(0,0,1).A1后,0).B1C7分D y6分0 xXni n2( .6,、.3,1) (0,0,1)10cos ni, n2r =ni Iln211 J(而2 ( 3)2 1210结合图形可知，二面角 A BD（出）解法4：由（n）解法 2,C的大/、为arccos.10ur 一 uurR ( .6, ,3,1),CA (0,CA n1点C到平面ABD的距离d (0,

8、1,、.3) ( .6, .3,1)(6)2(3)2 122, 3010BH6 1212a/1805，B1H , BH 2 BB12185，HB 2cos B1HB 一，故平面ABE与平面ABC所成二面角的余弦值为HB13方法二：以C为原点，CD CR CC所在直线分别为 x、v、z轴建立直角坐标系（如图16. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形 .（I）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（n）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体 ABCD- A1B1C1D?如何组拼？试证明你的结论；（出）在（n）的情形下 ，设正方体 AB

9、CD-ABCD 的棱CC的中点为E,求平面ABE与平面ABC所成二面 角的余弦值.解：（I）该几何体的直观图如图 1所示，它是有 侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABC比边长为6的 正方形，高为CC=6,故所求体积是V 1 62 6 723（n）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体,其拼法如图2所示.证明：二.面ABCD面ABBA、面AADD为全等的 正方形，于是VC1 ABCD VC1 ABB1A1 VC1 AA1D1D 故所拼图形成立（出）方法一：设 BiE, BC的延长线交于点 G 连结GA在底面 ABCMBHL AG 垂足为H, 连结HB,则BHI AG 故/ B1HB为平面 ABE与 平面ABC所成二面角或其补角的平面角.在 Rt ABG中，AG J180 ,则3), 正方体棱长为 6,则 E (0, 0, 3), B (0, 6, 6), A (6, 6, 0)设向量