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文档简介

1、X长为/的均匀秆傅面絶缘,一晞愠度为零,另i端有怛定热就皿人(即申位时阖内通过顒位裁血枳直人的爆母为0几秆的初始温度分布是川冷U试写出帽应烷定解问虬MW.ffl1-SWttS维熔传寻方辞,初始条件題中已给也,为Cx*O)=jUo-才。籍一耶一孩璘犁方馆旬宙解采样朋榕口1?现考感边值杀件”设在盘=OS个堀点处温度为亠则有LiCO+f)0仃0弓出相应的运解何呃.解该问题为-堆弦糅动问聘边野条忙迢鑒然的.曲于弦5躺固定折以在这两点处垃穆为零上卩u(Q昇u(/tt)=0现考虑初贻条件,当沖議左作-cfcbPt-就相当于弁遠点给出了一个初速凌S我们为中心,长为空的一小段弦以一乳十设弦总均匀的其线费度为宀

2、则这一小段弦的质就为知量冲击討速度为Kfx.O.ES动眾定理隔IS程学呦理刀躍包特韓函奏內貌身字尋葺2-k一芯*+耐在小段外-冊連度仍为零.我们绘得到的是丁=处覺到冲击的初葩老所以盘斤;还舉令念一讥此外*發压浚有初位磁的即于平楼垃艸的佶移为肚汀八找们灣邂朴内一小段.r,4-4山的振动悄况、瑕过科面这-小愿杵受到弹性力为F52乩貝中FET)肉单位商殺所墨的螂怦力.即应力谡逵沿r轴方向为正週过截面r+心變列的弹性力角卩(文+&2乳时这小段应用牛顿第二定律于是有P(x十cLr.t)P(_r+i)S设杆的空歿为厂则dm-pSch,tjtlt为第_一些農型产程矿匚解爭件刖誓导19为一端(工口放手后就为自

3、由瞬也就杲在撫訪过桎巾不爻外力作用故有u.()边值条件已经确定下面弩虑初始条件卡由干強初始吋刻处于静止狀花.即初養度为0,拔乩J0)=0.面在E=“吋枯牛杆祜纵向拉长宀則单位杆长的伸氏为亍做点处的神长为千厂即IfQ=手J羽敏字轅理方程号艳霹函1S导報导学与宴甸边值杀件都已确定.也就禅到孑该捉功的定解问題厝雰WV20)即为=F()4G5)验证梵是否満足方程季一中2=0转化CT*0J为检还其足否満足蠱=Q.由于F.G均为一茯连缓可僮西敢.形为M=F(e-bG(7)的菌数u必满足M0*也即财F(jr+a)4jH才“rvxrcLr=0其中oriirJit=0故a=y-Jxktmyj衣r*in芋工总云#

4、朴丈芥丹gx毘口Y-!严n所以第一维站传导方程具靭贻条件及讷界搽件为J-/=0M哝題惠写出定解冋題如卜I由切始条件处所以原定解问昭的辭为心门+S於(-m-叮es尹7厂_s_l*j刃齐jr-i1其中2hr*fnnjTi+/m了工恥十8h/?/iti3mjcv!O.f)=u(Z./)=0令武中丄=苏则上棚的定解问题化为a占一=Abv(.O_r0)(Iu(0./a(1,1)=0(1)L(.r0)叱T解上述定竊冋麴(I儿可采用以下的三种力法j解法1注意稠非齐次礙对匚亠只绘/的函败,故可作一个代换将方程化为齐欢的昂并保留边界条件仍提齐次的.这时只霜找一个只与-T有关的函数r使響星讥JT.=U(4-*/4

5、vC-r),其中w(.rn的方程遇齐次的*故rC,rte_千“胡一1)_1j从耐“4工的定般间JS化为|吗A?W=0(UJ-0)Ujjit0+r)w(/-/)=C=申5、T+乌农Ctu)4-wt-r*r直中v(r,/)和wjray分别是定駕问题Vti护十口=fl(IIkv(Owf)=v=0v(j,0)甲心、Twf扮iv斗=加$吏.IBl*w刃武S宦解问題(皿的鲫为W(J,x)=jJt;rdr啜詐器亠N-冷所以J)=TJ(JEt)*4-w(J:f)二所以心=沖j、故关于的定解冋軀为虫=0Al克、定餅冋0)一竝其边界条件是非齐次的,且均対常散为将边界条件齐次牝,令)=v(.r)+uCr)把它优人原

6、定懈同懸得liri一U9“=0?40a)二10vCO)(1”w(;-5-v(ru*(x0)=tru(.r)为慣进黑条件也为齐找的讥幻须满足卫0=$所以咫Cj=vij-)+rut.r*/)=“一亨十匕g竺叭誓nfsinrtirF花I试确定下列定解何朗h.dhD(nP(O),A(/uP青一子的二次积分形滤故H刃可袤示成F-F(jt)+F3)乙$工F十FfO一厂Ar)为一华的二次积分形式。a变:求槌恒狀态下由直线xCjT=Z#0.=h所FH矩形版内各点的漏度.假设Jr=0.x=/及$=0三边上温度保持为零度A这边11等点矗度为年(了),其中护(0)(6)=0.Iff设谖矩形板的温度分布为m(工)则讥

7、y屋如下定JW同砸的解n(jtfjf)=(A,coflih竽y+BaMnhvslr学urTOC o 1-5 h ztZih*lh依初蛤条件知&工*0)VJApsiiiI缶Z*Xi)N!因此民土_r上s轴譽工廿=4心,亠商诂P(!?)4M(丹工0(0?.12J啣成的固有值问期冬熟知的.其固有他为(呼冃】*:?求解方躍(3儿此方程为欧拉方=t叩或p=“则式可化为关于自变的常系数方卑解之得RAp&+碍5.为I保lil.IJR(OIV卡2*Fl有h.0,Bf)R(p=盘申*】血一圆环酩平板,内半径为r,外半橙为尸側面绝緣如内圜醍度保持零度.外圆温度惺持】也试求住恒状垂b分布规律M设温度分和为讥厂冷)其

8、应摘足如F定解问題:TOC o 1-5 h zVu=0rrra,02x)r讥口0)=J0m0,1*0;、g/s1(1utr,&+2n)弓(ri)由分离变试“=R(r)ft人泛宦方(B式以及边界条件和周期性条件分离变議1S得够十入)=0=e,e)(3)-i-Uolnr+(A*十R昇)cgrtf+(G厂?+刀”疗)吊im#=o*1fiW将分刖按余弦函数族Ko泗兀以及正弦函数族沧讯诂在Q.Zvr展开成傅里叶级数再卜+日】=瘁/(力d0=OCo+d.ln升m舟J(0)W=1IS.如何解F列足解问题令以工小为所求定解问鹽的解利用從如匣理苇虑到泛定&程的自由顼兵赴厲的函教,令(匸=砂(丁。十,:T)*这样

9、盯烷定第问题分馨为如F腐个宦解问題|%一吃F“-0(1讥0门二tKbf)-0w=0u(Q)-Mw二M(I的解是魁知的,为M求解宦就问题|护却一fix.yy(0t宀0(I”叔SR=护(yiMQ._yj(y)(1J01=jr)必须将蔑书一纽边畀条件齐次化ii里我霁将关于上的边界条株齐次化为此令讥r,_y)-uj-y)+讥卫)齐次tt址关于工的边龔条件只须取V=i(y)认口y)=p?(3?)不舫设机乳W-以刃+避3二呼心屛心十艺qi二艺空幻说由初始条件知丈小。亦一讷3一帥十匹竺门-1aa士几血=呦小一亦歸十色3)f岬】|曲敬yrt吕”一t工_护:2)+替;輕巧詁口罕jdxfkQ-j-|(Jjj(x(

10、A)+g护龙sinj*dj?解该定解问题的泛定方程和边界衆件均为卉次的用分疇变at法求需.令讥円8)=Rg)e(刃埒梵代人泛定方程(】人分喘变后得d、+尺3_$5_AR0(1?)即pR*S)+座*tpxR(p)oC气砂)+MW)=o将式代人式得60=沪(G=0由XO)=0式知洋=I執电导与电陛产生的效症忽路不计)0对干初始条件显然有心4=E.另外由于初始时剜传输线上电疵应为4叙由K材1.11.5)式卿也即所以定解问1)的解的结檜为u(=另(A.cio斗(2丹:+d、-2粘+1)彎俎:2刖+1)和Bbih/)*in,由初晞条件知SA.sin也巧皿-EPu心时十IJacrt2_oint0=QD+V

11、v+A2V=QUK再令Va.yJ且VXjt.O)VtVJ(x?d=03)IZfth.y)=0卜讥打,$、*04)二Xx)Yy)(分别代人C2).(3).(+)式中仔离变陋得广十中yx(o)=x(替(龙=云一徵0)代入式徊+cosy1t)u方恢2以馭斗“)iC关于变fl!.$的竝普拉期变换即亠f+W,对式(D关于,取拉普拉妖变换,幷利用蠻分性质得由戒得代入式得_兰炜武S)关于y取拉晋拘斯变快得畀*)J_尹+T-t+r)drtXQS-(x+/r)irltsiaz方鶴釘用骨里叶变念氐+1)机俎一1门対方唇及初始条件关于変#取傅里片变機昇0也dZdu解之得J*4I冷E(uGxi*11弓S(g+1、亠机

12、如+込(I)駅ar十U点(站一)JsirkiZtrfof取傅舉叶逆变换钩uCxT)=舟11*u)p*dot=A駅型+1机31)卜叫dm+2rrfW如雋人打弁=雷j/j(x11=Fd)七勺-|_J厂fg%Cr-WWdx虫JY*J用死八-AwdP/ue)F(a】结论保证.4*证明见本章例3-13.昆用枳分变换法解下列问題fz二y十Ir(FmJ*VKIW(X*J)udx即初(心Idti歆1工*_y)了空|丄十A-+2口xy十十】FJi留&求上半平面内静电场的电位即解F列定解问题V:4i=0,y0彳li=fUhtnw=0记uCut.y)Jux-y)ej(I)C时*0】*彳El*J)Ft如.】(ii)当

13、9ao时若要谒足w式碱有G=o即同魏艸voat*關(oj.y)*FC曲)0煤上対Im畑了)=F(cve_*(7)屈翎RLT=对式f瞰逆蛮談,由卷积定理得fCr,.貧FfuJfg叮=刘弹心晟页卜/(J)*L丙0十L7T7777ArJdr7.用积分变换浚解下囲定解问題,右初始条件求辭叫=0(0)a10/(r)设gg、g为卜.半面上的任点利用格林蘭数的粉理意义知*在站点处放一单位正範荷也娄于才辅的对称点几几牡琏一隈位负电循后上羊平面匕的点M处的电烷即为格林西住M处的值见图1-2).即G(W13*-ojt丁_r”)Tj4由例4-9的结果即得定解fM(I的M讥q)=TT氐厂Tx7U)djr见例4g例4-

14、10.liinI巴也I=0计算得*工(1)*一一?占f=&iir(n+A+n2艺iJr卩fJT科创5十点)T特别地f?l(fa+缶笛詰E訐十尹+存尹命(尹亠二址朗7(0)=其申n!_王尸+)八21-*-.*=Q$!M+RD!6,证明丫)心、为方程Fy+p+n)y=t的解证方誌1由第二蛆递推处式育,)式(5.0得JCjt)JjiCjr)J1Ji(j)+J,(jt)X所以yfJ1cHctrJ6爲(Jll(of)+J*(ar)+r$JJi(灯-jJ,r(.a)+(arJX又儿】(txr)=atrd-Jttr.r,(ncr)J|(ar)XV*-*aJ/,(ilT+机理+12j(ttr)一耳/*(ar)

15、+讶HJM3I匕叮Ery-1%s制2苇日#労出就H-s+z+孔量HK蔚工*J+n丄HXXCOSJT+K一般地.盘式(乩7)中取和丄4)(应婕上4工T寺得XXXX=(-!)-川八1j*d.r)空也x取初即得(J)=4上讨*(工)+/丿$2dV飞十工*尸盯工一yjT(T|所以工:寸+J72)y工亍厂J(工+护丿土(才)一+卅Ji()構屁今阶贝辜尔方臥即得结论威立.9”试证)=rjjr)是方稅一izI(11.rfn?j=0的一牛解证容窈讥算得=J.Cr)+jJ(x)y=+xj(x)所以x?yfTy*+I+jw1)jfr丄J:(x)+2xaJx)jJ.Ch)t1J+由式1)得&人(工门匸rV.fr)x

16、/Xx)Ji(Arj)dx=uIx2J)CAiJr)dx=JaJ:心SS2叮扣2在式5.4中取I令工=AtJfUr)=J*dAs1f(JllNJTjre:f%s7e用手二巴弋诗L(&m(66J弋=k&j&(气坟J二Hd*JI(6二3rk3(Sv弋Qk(性3p(_rg)-rsH?q.rp(斤2hr民=刀也5几s皿=J1fajJlCSaJ于是所求展式为心=占悬护31乳把定文崔By上的晦数展开成罚塞尔函数几哑的级a数*其中是J,x止零点.M没八工定义在0,小丄/(X)=工X川1-1由SttAGjC)E-i在:0上上的正交性,类假于12題启J卫J“箒rJJu(寮=(#叮令工山(鈴r)人冷工加丁=川討川

17、執M=器J”命皿咯皿=少“(二)1S.利用递擔公式证聃(lUrU)-!-JU)X(2U3(t)-h3j.(jc)+4/x)=0证(1)S式越-加却/再(JTJi.JT)由式(5.4)(SW八S一二MTJl心)I(_r2)tfj(i)理武t久4得几“一+7(x)=JH-Jc(J7)求評得心=2JUHGH在式(S.5)中取叶=2得hJ、2J(.r)-I-J:(x)=3j(_r注;也可采用下法证毎由式5)讶几(_H=2丿;3壬门(D=一儿3又Jt(x)才J心)一2j(.r)求导得儿2)=儿(刃一2J二d)代人式C5即得JjCx)=一4厂-3丿;(小佩试证J才几J)cLr=j:ViCr+一(rt1)y

18、*K(jF)dJ=aI泸Jj:7几(Pdj结论得试解下列圆柱区域的边值问JS:在圆柱内V=0.在哺柱侧面14f2=Dr在卜底V.|严0二0*在匕底*leh=A解定解何超旳TOC o 1-5 h zMzz=+-r(0p.叽0zVA)(150mItra=0,t|*A(3、引人自然边界条杵IwCr.C)|+ooUJ些讥臥p)-Gz)Rkp代人AW-X;(tr=0(5)/Fa+曲=p】+浊9)=0(6鲁2;?(对4的讨论欝趾碉5|-1|-1JC中U、的零点即R,=R.Cd)=匸JvC压p)(n=1*2TOC o 1-5 h za4牌屛=用-(型尸壮人式岱)G(z)=斗屛一伉丁气-*得一系列特解豪啊后得

19、/a,/-人/J)-15儿一民=o二止叭/叫I和kl所以利用14昭结论得九+氏=0S(A,eV十=aZAh(y(1)(i(a1*.1u=修魯=QWL-q)=山此毎T(i+azAT(r)0p*(p)fpt11卩+:Ftp=0令AqF对A的讨论见例5-8儿瞬FCp=GJtX+G%如由找b.e知G=OiWF=G川“)縛九一圧一叫小代人式碍=405*F+札血I帘tr*J八瞬小=1符字瞥几帘利用前文第11題结论得/jv=C片肿一侯JM斎刃如ZfMyfJig叫-篇用帀凰9*1、=勒“)+ivtp)其中w満足:p)4-W(p)一环Iw(Jfj=0|IV(OIV|-f解之得=(H)(12)(13)则z.t)滿

20、足;5vaoovljp0R:u1f-0H一聞)轻hi=0用分溺变St瘙解式d亠(ID,解贰祛鲁阅一)得心S皈战?肿5譬备所以原定解同题的解为讥P、门=Tlfp“)#3(pL占-2MS切警疋?5厅儿(靑七小R*八fJor铅-p)“写川圍JHT*(f)苗號旷严Vj+鹽歸环17将式代人式+九a=几将式门5)代人式(5娜匚。Q7(0=0WjtCl?)A18)*代人式H即側IS宦解间題的解为3=(14)式中的函数竽门希)按函救系!人(讐pH良开*即可看出两冲做袪结论一致.19.址覘整数阶!4雅尔函数的毋函tt为即w(.r.r)=人fjt/顼相乘.得12塔喑*H(兰)卅,為运C扁戶由人Q的级數袁达式结论1

21、EJ5.1)-冬a+lF“一l叮=半-a+irdx#(丁一1丿+(K+ljE(j)除最看一项外其余毎戎都帯育一的丙子所比r,(i)=-(1+m-12ft!批外+際箒-顶外-其余备妙郝含扒小门的S!旷所戲亦!一”为了计算几(0讥利用我达式73(j)=当为奇数时巳(门无常数项点Pi-iO当h为満数时.巴=E(L厂3非M如!卢!(2n-wj)!它的常数顶比(0=(-1-Uw-2m)!2*-t2听科川证将/(Jr片疲勒让IB密项式的綴散八工3-工L:几匚刃ttn其中iiZJ将几仆)用罗德利克衣达式代人*然厉用升部积分陡求岀右鬧积分当冲=0班專=I时,披s雷数分别処及*,可以有接枳分.当时LT得因育卡一W二J1中3+1尸对它求山一?阶吕数所以求完导鞍后所潯的毎一项祁会含有扌一1的因子間由T结论中右端口有四项*所以貝冷争用=羅3,求岀上述偵.江期PJ)=洛;p匚r”尸2)十U!gVW一W十整理后结论得证.证題乂(2nDP,ME十(缶一盼尸円j吟sm3+提示,反复利用户Id=(2k+11P4*-b(j)

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