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文档简介

1、2012年北京大学保送生考试数学试题及参考答案1已知数列an为正项等比数列，且a3aaa5，求aa的最小值41256解：设数列an的公比为qq0，则aq2aq3aaq5，111a15q2q31q5q1(q21)由a10知q14q1aq545aaaq4aqq5611155q4q1(q21)qq215q21220，5q2111q21q21q21当且仅当q211即q2时，aa有最小值20562已知fx为二次函数，且a,fa,ffa,fffa成正项等比数列，求证：faa证法一：设fxmx2nxtm0，数列a,fa,ffa,fffa的公比为qq0，2则faaq,ffafaqaq,fffafaq2aq3，

2、ma2nataqm(aq)2naqtaq2m(aq2)2naq2taq3得ma21q2na1qaq1q，得ma2q21q2naq1qaq21q若q1，则faa；若q1，则m2a1qna与ma2qq1qnaaq矛盾faa证法二：由a,fa,ffa,fffa成等比数列得faffafffaaffa，affaafffaffaffafaffafa三点Aa,fa,Bfa,fa,Cfa,fa满足kABkBC，三边满足abc，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为acsinBA,B,C三点共线，与A,B,C三点在抛物线上矛盾，faa3称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形若锐角三角形AB

3、C的acsinBA解：如图所示，设正方形MNPQ的边长为x，AEMNADBC，MENcsinBxxacsinBabc，xcsinBaacsinB2Rabc同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为abcabc,2Rbac2RcabBQDPC2Rbac2Rabcba2Rc02Rcab2Rabcca2Rb0，OAB这个三角形的内接正方形边长的最小值为acsinBacsinB4从O点发出两条射线l,l，已知直线l交l,l于A,B两点，且SOAB1212记AB中点为X，求证：X的轨迹为双曲线解：以l,l的角平分线所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系12设AOxBOx，OAa,OBb，Xx,y，12c则Sabsin2c，ab2sin2sicosAaco,asnB,bsb,，inc（c为定值），yOBAXll1l2xacobcsxab1)22(2)ssco2ni,yasibsnyabn2six2y22csin2absin2，cos2X的轨迹为双曲线(1)2(2)2得,15已知ai1,2,满0足aaa30,aai1210121a2，求证：10ai1,2,10，使a1ii证明：用反证法，假设ai1,2,10，a1ii令a1bi1,2,10，则b0，且bbb20iii1210aa12a1b1b101

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