南航材料力学课件313-14章lhw22ch13nlf

1、4公式的普遍形式2EI材 料 力 学 l 相当长度； 长度系数。Fcr ( l )2第九章压杆的长度系数 表14.1当 F Fcr时，当 F Fcr时，压杆的直线平衡状态是稳定的。直线平衡状态转变为不稳定的，受干扰后成为微弯平衡状态。压杆稳定（1）临界压力 Fcr使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力，也是在微弯平衡状态下的最小压力。Lecture 271239. 5 压杆的稳定校核临界应力计算的小结6 抛物线经验公式抛物线经验公式为 a b2Fcr F对 的大柔度压n nstcr111杆，临界应力公式为工作安全因数式中，a1 , b1 是与材料性质有关的常数。说明2 E稳定安全因数稳定校核大

2、柔度杆cr2n Fcr 若压杆的局部有截面被削弱的情况，则： 2 1的中柔度压杆，临界应力公式为 n满足稳定性要求时，应有:Fst a b进行稳定性计算时，可忽略压杆的局部削弱，仍用原来截面的面积和惯性矩计算临界应力；进行强度计算时，应按削弱后的面积计算。cr稳定安全因数与强度安全因数的取值 2 的小柔度压杆，临界应力公式为 强度安全因数取值 1.2 2.5，有时可达 3.5；稳定安全因数取值 2 5，有时可达 8 10。 F Acr4561中柔度杆小柔度杆压杆的约束条件长度系数两端铰支一端固支一端两端固支一端固支一端铰支 = 1 = 2 = 1/2 0.7FcrFcr压杆稳定问题的解题步骤1

3、 稳定校核问题例 1 (书例 9.4 )已知: 空气压缩机的活塞杆由45钢制成，s 0= 35 MPa , p MPa, 280 =E=210GPa。长度l = 703 mm, 直径d mm = 45。最大压力 Fmax.6kN=41。 稳定安全因数为 nst 10= 8。求： 试校核其稳定性。2 求 活塞杆可简化为两端铰支杆 1计算 1 ， 2， ；确定属于哪一种杆(，大柔度杆，中柔度杆小柔度杆) ；1)2)惯性半径 d 464IAd 216d4i 对圆轴1 d 2根据杆的类型求出 3)4)5)和 F ;crcr4F计算杆所受到的实际压力 F；解：p l1 703校核 n = F /F n

4、是否成立。 62.5柔度 crst1 求 i45/ 42210 9 1012E2 确定载荷1 866 10280前3步同稳定校核；问题因为 1 ，所以不是大柔度杆。p4) F Fcr / nst 。7893 求 2采用直线经验公式。 cr A4783 截面设计问题计算实际压力 F ；FcrkN5 求临界压力2EIFcr 由表9.2 查得(45钢属优质碳钢)：( l )2F4785 n6 稳定校核n cr F11646a12MPab, 568.MPa22) 求出 F ： F = n F；st41.crcrst3) 先假设为大柔度杆，由 a s46135403公式求出 I,.2b2 .568满足稳

5、定要求。进一步求出直径 d (若为圆截面杆); 4) 计算 和 1 ；5) 检验 1 是否成立。若成立，则结束; 2 4 求临界应力 cr a461b 1所以，是中柔度杆。采用直线经验公式。6) 若 不成立，则设为中柔度杆，按经1验公式求出直径 d (若为圆截面杆); 2 .568301 62. 5MPa1011122 l例 2(书例 9.5 )Fcr a A 1活塞杆可简化为两端铰支杆 a bb idFcr已知: 活塞直径D mm= 65，p=1.2MPa, lmm, 45=1250钢，p 220MPa,=E, = 210GPa nst = 6。求： 活塞杆直径d 。解： 这是截面设计问题。

6、d 4p2E7) 计算 和 ；2 EI642检验 2 是否成立。 若成立，则结束。若 2 不成立，则按强度。要求设计截面稳定性计算的折减系数法FF24d . 6mm( l )2mmcr( l )2d25取 l d 4 l 200根据求出的d计算柔度i 97 N f1按静强度设计的方法设计受压杆 D 23p980FFNA2E活塞杆所受压力 4计算11这里， 及称为稳定因数，与材料、截面形状柔度有关；f 为强度设计值，与材料有关。crn stF23900N临界压力的最小值为先假设为大柔度杆p 1 ，是大柔度杆。以上计算正确。因为用公式计算临界压力131415两纵称平面内的约束情况不相同时所以，应选

7、择合理的截面形状，使得:在截面积相等的情况下，使 I 或 i 较大;9. 6 提高压杆稳定性的措施应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等。 l i2 EI2E2 , cr ,Fcr ( l )21 选择合理的截面形状截面的惯性矩 I 越大，或惯性半径 i 越大,就越不容易失稳，即稳定性越好。各纵向平面内的约束情况相同时,应使对各形心轴的 I 或 i 接近相等。16171832 改变压杆的约束条件约束越强，越不容易失稳3 合理选择材料对大柔度杆 选用E大的材料，可提高临界压力值。钢压杆比铜、铸铁或铝压杆 的临界压力大。s材 料 力 学E第十三章能量方法（1）但优质钢与普通钢的E差别不大。对中柔

8、度杆选用s高的材料可提高临界压力值。Lecture 2219202113. 1 概述能量原理与功和能有关的定理，统称为能量原理。 运用能量原理求解问题的方法称为能量法。本章内容:概述杆件变形能的计算变形能的普遍表达式互等定理功能原理准静态加载条件下，外力的功等于变形能:U W15678卡氏定理虚功原理载荷法W F l2积分线弹性范围内计算积分的图乘法通过计算构件或结构的应变能，可以确定构件或结构在加力点处沿加力方向的位移。22234变力功作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和变形的增加而增加，力所作的功为变力功。FP0FPFPW 1 F2 PO小变形、线弹性范围内,力所作的变力功

9、为W 1 F2 P24 13. 2杆件应变能的计算1 轴向拉伸或压缩2 纯剪切 21v 2G应变能密度2F 22EAF 21llV WFl N 3 扭转2轴力FN是x数时的函2EAM e l Tl221( 2Fx) dxFV W 2 Me2GI2GIdV N2EApp2F (N x) dx扭矩T是x的函数时V2EAl( 2Tx) d xlV 212GIv 2 p应变能密度2E26274 弯曲纯弯曲时d M e 横力弯曲时对细长梁，剪力引起的应变能与弯矩引起的应变能相比很小，通常可忽略不计。横力弯曲时，弯矩是x的函数。5 用广义力和广义位移表示应变能 1 112M,VMF ,VlV 可将ee22

10、转角d xEI W 1 F写为 Vd M e2dxEI6 非线性弹性材料的应变能纯弯曲时各截面的弯矩相等，Me为常数。M( 2)xdxdV M e d xl M e l0 W1Fd ,V2EI()x d x0 EIEI22M1Ml1Vv dV W M e 2EI应变能2EIle022829305ll弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡，这时，如果某种外界 使这一变形状态发生改变，作用在弹性体上的力，由于加力点的位移，也作功，但不是变力功，而是 。FP FPW PF 25FF 13. 3应变能的普遍表达式1 应变能的普遍表达式线弹性体，小变形比例加载比例系数力的总功为:0 11W(

11、 F F ) d11nn 时广义力的大小为:01 F 1F F , , F11nn1n221无刚移d 时广义位移的大小为:11广义力 F1 , , Fn力作用点沿力的方向的广义位移 1 , , n应变能与加载次序无关比例加载比例系数, , 由功能原理，应变能为:11nd121当 有d 时, 位移的增量为:1 F V WF11nn12d, ,d1则功的增量为:Wdn 应变能的普遍表达式0 1 F d F d 注意： 是 F , F , , F 共同作用下的位移。11nni12n3132332 组合变形时的应变能取一微段为研究对象由应变能的普遍表达式，有：1本章内容:概述杆件变形能的计算变形能的普

12、遍表达式互等定理 11) x d T()x dN ) x d(l )M(dV F(2)x225678卡氏定理虚功原理载荷法法计算( 2( 2d Txx)( 2d xFx) d Mx N2EA2EI2GIp积分积分的图乘34356F1F1F1F1变力功随作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，为的功所作增加，力变形的增加而着杆件受力和变力功。FP0FPFPW 1 F2 PO小变形、线弹性范围内,力所作的变力功为W 1 F2 P36F2 组合变形时的应变能取一微段为研究对象由应变能的普遍表达式，有：力的总功为:1W( F F ) d11nn0121 1 Fn n F121111d)x d1N ) x

13、 d(l )M() x d T(dV 1F(2)x22由功能原理，应变能为:1 F 1F ( 2( 2( 2Fx) dMxdTxx)dxV WN11nn222EA2EI2GIp 应变能的普遍表达式注意： i 是 F1 , F2 , , Fn 共同作用下的位移。3839积分杆的总应变能( 2( 2Fx) dxM( 2)x d xTx) d x V N2EA2GIpl2EIll注：仅适用于小变形、线弹性范围内；上式中忽略了剪切变形能，适用于细长杆；若为非圆截面杆，则扭转变形能中的Ip应改为It ；不同内力分量引起的变形能可以“叠加”，同一内力分量的变形能不可叠加。407FF1加FPFPFPV1FP

14、2FP1V11V2O O12O 2V V 1 V 242FP1+FP2V2V性线弹,可以叠加移位,能不能叠变但应用限制叠加原理的应加FPFPFPFP2FP11O O12O 2=1+ 241FP1+FP2以叠可，位移线弹性弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡，这时，如果某种外界 使这一变形状态发生改变，作用在弹性体上的力，由于加力点的位移，也作功，但不是变力功，而是 。FP FPW PF 37822M 2V 2EA2 I2 I dxNlliP不同的内力分量引起的应变能，在什么条件下才能叠加？48F FVACB 1llV V V 3 1 2MVACB2叠加法最本ll质的内涵力的独立作

15、用原理。FV 3AMCBll47FACBllMCV 3 V1 V 2 ?ABllFAB46MCllFP FPABV 1ABV 3 V 1 V 2V 2MFPFPABV 3MM45FPABV 3 V 1 V 2 ?ABMV 3 V 1 V 2FPABM44FPFPFPFP1+FP2 FP2 1FP1O O12O2 1+243非线性弹性，位移也不可以叠加M FR sin ,T FR (1 cos )2 33F R F 2R3例 1 (书例13.1)已知: 圆截面半圆曲杆，F , R, EI,V 4GI4EIp2 应变能M1M 2()R dT 2()R dTW F A3 外力的功dV GIp 。求：

16、A点的垂直位移。2MT2GIF2EIp由V=W，得: F R sin d F R (1cos) d2 322 32F2 3F R 3F R 2 31 F 2EI2GIAp24EI4GIp3FR3 F 2R3 sin2 d F 2R3(1 cos)2 d解： 1 求内力截面mm, 取左段M FR sin , T FR (1 cos )V 00FR32EI2GI A p2 32 3 F R 3F R 2EI2GIp4EI4GIp495051 2 2弯曲应变能v1 2E ,v 2 2G例 2 (书例13.2)已知:应变能密度。解：应变能密度为V1 V v1 dV* M (x) y ,F (x)S s

17、zy处应力M 2 (x) y2 l AIIbd A d x2EI 2M 2 (x) y2F 2 (x)(S *)2v1 v 2 sz 求：横力弯曲时的弯曲应变能和剪切应变能公式。, M (x) d x22GI 2b22EI 2y2 d AI与前面导出的弯曲应变能公式相同。22EIl A弯曲应变能M 2 (x)V1 ld xV v1 dV2EI1V 2 2M 2 (x) y2F 2 (x)(S * )2v1 2E ,v 2 2Gl A解：应变能密度为d A d x szv剪切应变能密度2EI 2 22GI 2b252549剪切应变能密度Fx) ( S*2()2例 3 (书例.3)13已知: 矩形

18、截面简支梁。求：比较弯曲和剪切 应变能的大小。 b2szd Ad xF (2x)( * S 2) 2GI 2lAv s z 2I2b2G2Fx) A ( S*2()2 s d Azd x剪切应变能I 2b22GAl A记为 k(2* S 2)Fx)(V szdV 2F s (x)2G22I2b2VV kd x解：由于对称性，只需计算一半的应变能。 22GAlx / 20 x l*2剪力方(程 F)弯矩(方M程)F,(/xF2 )l/F (x)( Sz )l 2 A2sd Ad xsx(A ( S*)2/( 0 2GIb2F2)1, x2)I 2 A b2k z d A其中的系数23FlFx)

19、A ( S*2(/l)2 22d x弯曲应变能V( x)l 2 b2 szd Ad x薄壁1记为 k5596EIk 22EI 20k6k10对矩形截面/5 圆, 截面/9 ,2GAIA圆环57F 2 l3V 2V1k6 /12EIk1F/l 2V 2d x( x)2两种应变能之比弯曲应变能1GAl22EI 296EI05 I,/A /2 hE对矩形截面12kF 28GAlkF/l 2V 22剪切应变能(2GA 2)dx 2G 0又：1 2 ()V 12EIk 2 两种应变能之比V 2 12hGAl2V ( 12)()l1V15k6 /A 对矩形截面5 I,/E1 /2 h12取 .3=0当 h

20、/l = 1/5 时:/VV0 .又：1250312G 212 ()/ V0V1 .当 h/l = 1/10 时:V12h 2 2V1 )(2( 1 5)所以，对长梁，剪切应变能可忽略不计。l585910例 1 (书例13.1)求：除A点外任意一点的位移利用功能原理 ？功能原理局限性：直接应用功能原理求位移，杆件上作用的外力一定是唯一的，而且仅可求出该力方向的相应位移。60 13. 4互等定理1 功的互等定理1) 先加第一组，再加第二组加完第一组力时的功为:11P1 P12 mP 设线弹性体上作用有两组力。Pm2加完第二组力时，第二组力的功为:第一组为 P , , P ;1m第二组为 Q1 ,

21、 , Qn。1 Q 1Qn2两种加载方式下的应变能加第二组力时，第一组P P 力的功为:1 P 1mPm62632) 先加第二组，再加第一组加完第二组力时的功为:加第二组力时，第一组力的功为:P1 P 1mP Pm总的功为三项之和:1加第一组力时，第二组力的功为:1 Q Q1 总的功为三项之和: Qn1Qn2加完第一组力时，第一组力的功为:P 1P V 12 21Q QnV11 P 12mQ1 Pm2121 P 1 P Qn1 P1P 2 1 P 12m加第一组力时，第二组Pm2 1 P 12mPm P P Q 1 P 1mPmQ 力的功为:1Qn1Qn64656611应用更广泛的能量方法：

22、可以确定构件或结构上加力点沿加力方向的位移 可以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移 可以确定梁的位移函数。611 F1作用时，在F2作用点产 生的沿F2作用线方向的位移应变能与加载次序无关，所以: VV2P1 P 1mP Pm Q1这就是功的互等定理，即: QnF212112V 11P P 1 mP PmQ1 Qn记为 ,221F1 12第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。 P1 P 1mP Pm1而F 作用时，在F 作用点产2121生的沿F1作用线方向的位移记为 12 ,1 P1P V QF2 21Qn2 1 P 12mPm22 位移互等定

23、理 Q1 Qn1212 F21F则由功的互等定理，有:当仅有两个力F 和F 作用时2112F1 P P Q 当F1 = F2 时，则有211 P 1mPm1Qn676869F2 当 F= F 时，则有例 4 (书例13.4)取第一组力: F, FFRB121221RBB即: 当 F1 = F2 时，F1作用点沿F1方向由于F2的作用而引起的位移，等于F2作用点沿F2方向由于F1的作用而引起已知: 超静定梁，F,a, l 。假想作用第二组力F112为:F 121设第一组力在F作用点B引起的位移为 B 。由变形协调条件：求：用功的互等定理求 B处反力。FRBB 位移互等定理的位移。解： 取静定基说

24、明：1) 位移应理解为广义位移；2) 功的互等定理和位移互等定理只对线弹 B 0相当系统如图性材料和结立。70737412FRBB 13. 5卡氏定理 Castiglianos Theore()m1 卡氏第一定理设i有一增量i ,第一组力在第二组力引起的位移上的功为:设第二组力 FFa2F3l在 FF, 作用点引F 1 RFB 2l3 a) RB ( 6EIRB起的位移为1, 2由上册书.188p 表6.1中的2，:3EI第二组力在第一组力引起的位移上的功为:F B 0由功的互等定理，二者应相等:其它各 不变，j则 Fi作的功为Fi i ，其它各Fj不作功，则:Va2 ( 3a),Fa2F3l

25、FF V1 ( l3 6EIa ) RB 06EIl33EIiii3EIiVFi 卡氏第一定理两边取极限，得:2aFi2F a( l3)RB2l37576772 卡氏第二定理设Fi有一增量Fi,为应用功的互等定理，将力区分为两组力V将F1, F2, , Fn看作第一组力,Fi 看作第二组力。第一组力在第二组F 卡氏第一定理i其它各F 不变，j则Fi的增量Fi所作的功为Fi i /2，而各Fj的功为所作Fj j 。i注：卡氏第一定理适用于非线性材料及结构，是一个普遍定理，有较重要的理论价值。但由于i 。一般是未知的，使用不方便1 i V i F i F1 1 F2 2 Fi力F 作用点引起的位移

26、为 ，2ii忽略高阶微量Fi i /2，有:第二组力在第一组力作用点引起的位移为1，2 , , n。V F F F 1122ii78798013V3 几种常见情况横力弯曲横力弯曲的应变能代入卡氏第二定理桁架、拉、压杆设有n根杆，则应变能为:代入卡氏第二定理由功的互等定理, 有F 2 ln Nj j VF1 1 F2 2 Fi i Fi i2EA2M (x)d xj 1jlV V2EIi V F F l FVni iF Nj j Nj iM 2(x) d x i FEAFVFilj 1ji i卡氏第二定理两边取极限，得:Fi 2EIi扭转扭转应变能为:T 2 (x) d xV l交换求导和积分的

27、次序，有2GI注：推导卡氏第二定理时，用了功的互等定理，所以它只适用于线弹性材料及结构。pM (x) M (x)i d x代入卡氏第二定理EIFl T (x) T (x) d x ViiFl GIFipi818283例 2 (书例13.5)已知: EI, Me, F, a, l 。T 2 (x) d x用卡氏定理解题的一般步骤扭转应变能为:lV 2GIp代入卡氏第二定理求约束反力；分段列出内力方程（弯矩方程）；求偏导数；将内力方程和偏导数代入卡氏定理，积分。求：w , 。CAFRAFRBT (x) T (x) d x Vl GIF解： 求反力iFpiiMaF(l a) M组合变形FRA e F, elFRBll分段列弯矩方程若Fi力同时引起轴力、扭矩和弯矩，则T (x) T (x) d x V FNl FN llMeaM (x ) F x M ( F)x MAB段iGIpFiFiEA Fi1 1RA 1e1ellM (x) M (x) d xM (x ) FxBC段EIF2 22i84858614 ViFi求 AV由卡氏定理AB段 M1(x1)M (