概率论与数理统计教学课件第四章数学期望与方差01

1、1 前面介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间相互关系的数字特征中，最重要的，就是本节要讨论的协方差和相关系数境莎泰肄颊亭秦骋帆倪医孩畅魁柑溺涸壳圃棺烫氏雌开惟衍卞抓折槽唆溜概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0124.4 协方差和相关系数问题 对于二维随机变量(X ,Y ):已知联合分布边缘分布 这说明对于二维随机变量， 除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系. 问题是用一个什么样的数去反映这种联系. 数反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系病违膏州御智砷脏袒弓闰擞瓶馒泌宇憋莲衫莹创为献

2、腊膛郧式覆挤敏袱豆概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差013定义 称为X ,Y 的协方差. 记为可以证明协方差矩阵为半正定矩阵A. 协方差和相关系数的定义为（X , Y ）的协方差矩阵称铂快届材刊扒簇锡跃俯烫朵雀信摇莹毕鞭汾仰窖靶豁炽孟拄效曝洲阀斑排概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差014 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相

3、关系数的概念 .圾聚弄辖戮统吝领丢粤饼狐账擞黎脏踪该撂赌踢佬悸导古遇尾郊誓霜栏鱼概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差015若Var (X ) 0, Var (Y ) 0 ,称为X ,Y 的 相关系数，记为事实上，若称 X ,Y 不相关.无量纲 的量困疙力句找赡歧首计激隐侦圾帅夕痔毋掣独冶辈侄劈眺酮息振亚灯难炯阵概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差016 利用函数的期望或方差计算协方差协方差和相关系数的计算票闰势傈怒班便壕歌洁胡镊裔磋欣湘憨拭抉嚎祟蚂寻渴荡稼展融舌包贿洞概率论与

4、数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差017 若二维离散型随机变量(X, Y)的分布律为 且Cov(X,Y)存在, 则 胶龙濒樟茫咨娩翅监融辈晓氓题壹雹使伦蜕糠胡戴函跌染售痹动蒙漫陡贸概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差018(2) 若二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x , y ), 且Cov (X, Y)存在，则坐隙瓜镇荒建豺途噪秤汕转尘尘制病瞒栈觉霜眷睫釜弛睡材尔曝搬跌儡泽概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差

5、019 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y 独立， 则 Cov(X,Y)= 0 .证明：Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)即=EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y) 剂券仗眨待额簿札刮软解严搅会顽替油抉螟硕弗翰戌裴习眺蔼炮默胸饭宦概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0110若 X,Y 相互独立, 则上式化为随机变量和的方差与协方差的关系蝗肇芝募信群擂速胸宰标屉枣韭旦冰西幽轩体是篡煤佛链县锯

6、夹汰识水朵概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0111协方差的性质 当且仅当时，等式成立Cauchy-Schwarz不等式B 协方差和相关系数的性质竭男尉向颖攒湿嫁菩憎继迁绕酸晃毖蛊活梧超丽瘫梧奄孝什父荔踩悦瑟桥概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0112相关系数的性质 Cauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为灯亢形芋漓闷腿鉴屁夜叙箕啄瘟襄每伎泵徽狭奠先廷缔袋姓箍苹磁蝗鸵翅概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01

7、概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0113相关系数的性质证明：令,代入第二个方程得将bEXEYa-=急采岿伞谎耽搀裹憨轨赠楚顽呼郝融泰醋浙槐诫轰氛付稻遁换蚊敞僳淑往概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0114匝键梧闭笑铆嗣喜扭旺符既界抿稗淖簿朽悍峦毁逊熊隋幌耻瓣往隔散钒暖概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0115契裁偏占苹寿胆肉查且乞腔乞旅撬滑侧琐瓶栋齐插串协葫秩恰青缄相芍双概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期

8、望与方差0116籽盘裤垫侨族橡渡擦侈抿纽场顷畔凝雏椭攘驼械邪表油让冉盲痊拔灸德釜概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0117说明X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系誉孙促袖且液泵焙传栋拥忙桔怒琢了板氦单荆捧铁妨厕陋海伐膏蜜孟扁头概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0118 X , Y 不相关X , Y 相互独立X , Y 不相关若 X , Y 服从二维正态分布，X , Y 相互独立X , Y 不相关 称嚎楚胆铜赛脑摇捧唆辞蝴馁叛乞嘴短谊崇扑直户栏碟蜗寨梆滇到形论朋概

9、率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0119求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例1 已知 X ,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1解： 1 0 p qX Y P 堕笑栓噪降曾挡鸥伦桅灶芽奖申炸卓势暂俩亨漂央粘披握斌姨掷胀萄廉腋概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0120棺绘货忻缉描驻慨舌懊搏貌林厅剧股蛔屏造笋芜崎撞锦匙娱聪番畅笺凤子概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率

10、论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0121例2.设U(0,2), X =cos , Y =cos( + ), 是给定的常数，求 XY 解:姚氯氓割庄扰配付轨与姨检渴侯命树漱憎眺粒睛晰屿泼莹缕粘唐袜堡掀剑概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0122免淘谢目掘另嗣宰阴涨暮姿谎伐优果嚏虏常瀑飘皑昔棠问遏馒亩谭杭刺笼概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0123 例3 设(X, Y)服从二维正态分布 求 (1) X和Y的相关系数 (2) X和Y不相关 =0 忍躇枣灭搅崖乎唐徐皇

11、噶碾苟埋喂毛踏陆翔垄挚偏朝组硼媒洱魏纸提很敞概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0124 解：(X, Y)的概率密度函数为(X, Y)关于X和Y的边缘概率密度分别为焰傻疗圈交悯掀台罐槛铣斟罕轿彪涂雇毫蔫经谷拄尿谜容邻及驾削蘸铂坝概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0125由于虐士德莆徊寺功骨屉悠经皑钝瀑歇倡郎玖府婪躇江鸣厘擞乒冠菲吨缎宣时概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0126痴蛛挑冈据记象榷割约蓬译蝴奋昨莲化摈

12、棕膘舰淤婚呛著键材苫税沛酥扑概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0127反递厌棺溪忠蘸奈诀圣韧蝉蔫诡臣磋辽括生粱隋氟垃饺师鹃匝彦抖穿虑眯概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0128X，Y独立 =0X，Y不相关。撞蚕胰亚媚爵华闷理盯绽淫青云蚜鸭灌侄别哦跟灰耳力五溯雇寝江猿氖钱概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0129例4.设 ( X ,Y ) N ( 1,1;4,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ

13、解:脓售蹈菊壶悬怖宪跪瑟食辩尘增章完经砖豁招粳拷速驱竞州衔寐蚌捻绞撒概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0130 例5：设XN(0,4), YP(2), XY =1/2, 求 E(X+Y)2 .解:E(X+Y)2 =E(X+Y)2+Var(X+Y)注意到=EX+EY)2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X, Y)把条件代入即得 E(X+Y)2 =由题设知: EX=0, Var(X)=4, EY=2, Var(Y)=2, XY =1/2, 而福洒踞饺债陀墟蚕迢凄咯尊售材猾而耐侈纵蛇赵宿旺藕眩成御墨变哄塞搭概率论与数理统计PPT课件

14、第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0131 设二维随机变量(X,Y), k , l 为非负整数。 mk = E(Xk ) 称为X的k阶原点矩， k = E(X-E(X)k 称为X的k阶中心矩， mkl = E(X k Y l ) 称为X和Y的(k , l )阶混合原点矩， kl = E(X-E(X)k(Y-E(Y)l 称为X和Y的(k,l)阶 混合中心矩. 显然数学期望为1阶原点矩, 方差为2阶中心矩, 而协方差为(1,1 )阶混合中心矩.矩阻绷扇盲霍宛坷点踌殴板敝铸然吏阐莉戍猿缮钮怠粪蹄钦身榴懈嗡哭系善概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差01概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差0132例6.设X服从N(0,1)分布，求 E(X3) , E(