《信号与系统》信号21课件

1、第二章 连续时间系统时域分析法线性连续时间系统 常系数线性微分方程 解齐次微分方程得零输入响应解非齐次微分方程得零状态响应，它与激励信号有关讨论任意波形激励下的零状态响应回顾求解电路的全响应第1页，共44页。2-1 冲激函数及其性质2-1-1 冲激函数工程定义 出现时间极短和面积为1广义函数 单位冲激函数作用于结果只要 在 时连续 单位冲激函数的筛选性质或抽样性质第2页，共44页。不是普通函数，作为广义函数的定义是：作用于任何在 时刻连续的函数 所产生的效果是对 赋予下面的值 即2-1-2 冲激函数的性质 证明：令第3页，共44页。 如果 是一个在 时连续的普通函数，有证明：两个广义函数对测试

2、函数 有相同的赋值效果，故它们二者相等。 特别地当 有如1加权特性第4页，共44页。2 单位阶跃函数 的导数是单位冲激函数证明：由于 在 时不连续，因此， 必须作为广义函数来证明，因为第5页，共44页。此结论解决了不连续函数在间断点处的求导问题波形如下图第6页，共44页。3 单位冲激函数 为偶函数，即0t(2)10t222第7页，共44页。第8页，共44页。5 的导数及其性质单位冲激函数的一阶导数 称为单位二次冲激函数或冲激偶，图形符号如下第9页，共44页。0t可以证明：第10页，共44页。第11页，共44页。此外，还可以定义 的 n 阶导数被积函数不在积分区间时，积分值为零。第12页，共44

3、页。2-2 系统的冲激响应系统的初始状态为零，激励为单位冲激信号 作用下的响应，用 表示由于冲激函数及其各阶导数仅在t=0处作用，而在t0的区间恒为零。也就是说，激励信号 的作用是在t=0的瞬间给系统输入了若干能量，贮存在系统的各贮能元件中，而在t0系统的激励为零，只有冲激引入的那些贮能在起作用，第13页，共44页。+-列微分方程：1 简单电路可直接计算因而，系统的冲激响应由上述贮能唯一地确定，第14页，共44页。上式从 到 取积分，得电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到由三要素公式得第15页，共44页。与RL电路相对偶，可得RC电路的冲激响应Rc+_2先计算系统的阶跃响应 ，然后利用冲激响应

4、 与阶跃响应 的关系求冲激响应 与 的关系（线性时不变系统）第16页，共44页。+-如第17页，共44页。例：如图所示电路，R1=R2=1,c=1F,求阶跃响应和冲激响应解：先用三要素法求阶跃响应+-第18页，共44页。3 从微分方程求解得冲激响应设描述n阶连续系统的微分方程为第19页，共44页。当 时，由因果性为保证等式两边平衡，只能是n阶导数项包含冲激函数则n-1阶导数项包含 ，而n-2阶导数项包含 ,在t=0处， 是不连续的，而 是连续的，因而 的低于n-1阶导数在t=0处是连续的当 时，由于 将是一个特殊的零输入响应，它取决于 时的n个初始条件第20页，共44页。对微分方程两边取积分上

5、式左边只第一项不为零，其他项为零单位冲激信号引起的t=0+时的n个初始条件为第21页，共44页。解n阶齐次微分方程，代入初始条件，可求得系统的冲激响应例 已知系统的初始状态为零，解微分方程解：第22页，共44页。代入初始条件得有一般地微分方程右边还有x的各阶导数项第23页，共44页。例 解微分方程解：先求 作用下的响应由系统的线性时不变性有第24页，共44页。第25页，共44页。以上题为例，t0时等式右边为零，h(t)与微分方程的齐次解有相同的形式，考虑到等式两边各奇异函数项平衡，有对上式求导以上解法为间接法求冲激响应也可这样解(直接法)第26页，共44页。代入原方程，整理得：直接法求解冲激响

6、应的关键是找出h(t)的表达形式，已知微分方程第27页，共44页。第28页，共44页。若微分方程的特征根中有重根，则解的形式要作相应改变。直接法与间接法比较第29页，共44页。例：描述系统的微分方程为求其冲激响应代入初始条件第30页，共44页。第31页，共44页。第3次作业：2-1（奇）2-5(2,4,6) 2-7 2-23(4)第32页，共44页。2-3 信号的时域分解和卷积积分2-3-1信号的时域分解任意波形的信号可以纵向分割成许多相邻的矩形脉冲，如图所示0t0t第33页，共44页。第34页，共44页。任意波形也可用无穷多个横向的加权阶跃信号之和近似表示t第35页，共44页。任意信号可以分解为偶分量与奇分量之和第36页，共44页。2-3-2 零状态响应卷积