《信号处理初步》教学课件

1、 三、信号的互相关函数 在实际当中，不仅要有描述单个随机过程的统计参数，而且常常希望描述来自两个（或几个）随机过程的信号之间一般的依赖关系或相关程度。同自相关函数的方法类似，两个各态历经过程的随机信号x(t)和y(t)的互相关函数定义为6.3信号的互相关函数 互相关函数描述了x(t)在t时刻与y(t)在(t+)时刻的值之间的相关程度，描述了x(t)和y(t)之间的相似性。第1页，共35页。 、互相关函数的主要性质性质证明：又由于所以第2页，共35页。 当足够大或时，随机变量x(t)和y(t)之间互不相关，故性质 此时，x(t)和y(t)是两个完全独立无关的信号。性质互相关函数不是偶函数证明：当

2、x与y互换时，互相关函数是对称于纵轴的。第3页，共35页。如果x(t)和y(t)两信号是同频率的周期信号或者包含有同频率的周期成分，那么，即使 ，互相关函数也不收敛并会出现该频率的周期成分。如果两信号含有频率不等的周期成分，则两者不相关。性质同频相关，不同频不相关第4页，共35页。例6-2设有两个周期信号x(t)和y(t)，试求其互相关函数式中因为信号是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值代替整个历程的平均值，故解：保留了信号的圆频率、对应的幅值以及相位差的信息。第5页，共35页。例6-3若两个周期信号的圆频率不等，试求其互相关函数解：因为两信号的圆频率不等，不具有共同的周期，因此可见，两个

3、非同频的周期信号是不相关的。第6页，共35页。 互相关函数的性质可用图6-19来表示。图中表明0时呈现最大值，相关程度最高，时移0反映x(t)和y(t)之间的滞后时间。 图6-19互相关函数的性质第7页，共35页。互相关函数的这些性质，使它在工程应用中有重要的价值。它是在噪声背景下提取有用信息的一个非常有效的手段。根据线性系统的频率保持性，只有和激振频率相同的应信号进行互相关（不必用时移0）处理，就可以得到由激振而引起的响应幅值和相位息的处理方法叫做相关滤波。它是利用互相关函数同频相关、不同频不相关的性质来达到滤波效果的。第8页，共35页。 互相关技术还广泛地应用于各种测试中。工程中还常用两个

4、间隔一定距离的传感器来不接触地测量运动物体的速度。图6-17是测定热轧钢带运动速度的示意图。钢该钢带的运动速度带表面的反射光经透镜聚焦在相距为d的两个光电池上。反射光强度的波动，通过光电池转换为电信号，再进行相关处理。当可调延时等于钢带上某点在两个测点之间经过所需的时间d时，互相关函数为最大值。图6-17 钢带速度的非接触测量第9页，共35页。 图6-18是确定深埋在地下的输油管裂损位置的例子。漏损处K视为向两侧传播声响的声源，在两侧管道上分别放置传感器1和2，因为放传感器的两点距漏损处不等远，则漏油的音响传至两传感器就有时差，在互相关图上m处 有最大值，这个m就是时差。由m就可确定漏损处的位

5、置s：式中，s两传感器的中点至漏损处的距离；音响通过管道的传播速度。第10页，共35页。上面所定义的相关函数只适用于各态历经随机信号和功率信号。对于能量有限信号的相关函数，其中的积分若除以趋于无限大的时间T后，无论时移m为何值，其结果都将趋于零。因此，对能量有限信号进行相关分析时，应按下面定义来计算：第11页，共35页。四、相关函数估计 按照定义，相关函数应该在无穷长的时间内进行观察和计算。实际上，任何的观察时间都是有限的，我们只能根据有限时间的观察值去估计相关函数的真值。理想的周期信号，能准确重复其过程，因而一个周期内的观察值的平均值就能完全代表整个过程的平均值。对于随机信号，可用有限时间的

6、样本记录所求得的相关函数值来作为随机信号相关函数的估计。样本记录的相关函数，亦就是随机信号相关函数的估计值分别由下式计算第12页，共35页。式中,T样本记录长度。为了简便，假定信号在（T ）上存在，则可用下二式代替 使模拟信号不失真地沿时轴平移是一件困难的工作。因此，模拟相关处理技术只适用于几种特定信号（如正弦信号）。在数字信号处理中，信号时序的增减就表示它沿时间轴平移，是一件容易做到的事。所以实际上相关处理都是用数字技术来完成的。对于有限个序列点N的数字信号的相关函数估计，仿照上式可写成：r=0,1,2,mN。m-最大时移数第13页，共35页。6.4功率谱分析及其应用假定x(t)是零均值的随

7、机过程，即 x 0，（如果原随机过程是非零均值的，可以进行适当处理使其均值为零），又假定 x(t)中没有周期分量，那么当 ，Rx() 0。这样，自相关函数Rx()可满足傅里叶变换的条件 时域中的相关分析为在噪声背景下提取有用信息提供了途径。功率谱分析则从频域提供相关技术所能提供的信息，它是研究平稳随机过程的重要方法。一、自功率谱密度函数、定义及其物理意义利用傅里叶变换公式可得到Rx()的傅里叶变换Sx(f)第14页，共35页。和逆变换定义Sx(f)为x(t)的自功率谱密度函数，简称自谱或自功率谱。由于Sx(f)和Rx()之间是傅里叶变换对的关系，两者是唯一对应的， Sx(f)中包含着Rx()的

8、全部信息。因为Rx()为实偶函数，Sx(f)亦为实偶函数。由此常用在 f(0 ）范围内Gx(f)2Sx(f)来表示信号的全部功率谱，并把Gx(f)称为x(t)信号的单边功率谱。图6-19单边谱和双边谱第15页，共35页。 若0，根据自相关函数Rx()和自功率谱密度函数 Sx(f)的定义，可得到由此可见，Sx(f)曲线下和频率轴所包围的面积就是信号的平均功率，Sx(f)就是信号的功率密度沿频率轴的分布，故称 Sx(f)为自功率谱密度函数。第16页，共35页。（二）巴塞伐尔定理 在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的信号总能量，这就是巴塞伐尔定理，即该式又叫做能量等式。可以由傅立叶变换的卷积

9、公式证明设按照频域卷积定理有即令q=0，得第17页，共35页。又令h(t)=x(t)，得x(t)是实函数，则所以称为能谱，它是沿频率轴的能量分布密度。在整个时间轴上信号平均功率为因此，自功率谱密度函数和幅值谱的关系为利用这一种关系，就可以通过直接对时域信号作傅里叶变换来计算功率谱。第18页，共35页。（三）功率谱的估计 无法按上式来计算随机过程的功率谱。只能用有限长度T的样本记录来计算样本功率谱，并以此作为信号功率谱的初步估计值。现以 分别表双边、单边功率谱的初步估计对于数字信号，功率谱的初步估计为第19页，共35页。也就是对离散的数字信号序列x(n)进行FFT运算，取其模的平方，再除N（或乘

10、以2/N），便可得信号的功率谱初步估计。这种计算功率谱估计的方法称为周期图法。它也是一种最简单、常用的功率谱估计算法。第20页，共35页。（四）应用 自功率谱密度 Sx(f)为自相关函数Rx()的傅里叶变换，故 Sx(f)包含着Rx()中的全部信息。 自功率谱密度 Sx(f)反映信号的频域结构，这一点和幅值谱 X(f) 一致，但是自功率谱密度所反映的是信号幅值的平方，因此其频域结构特征更为明显，如图5-20所示。图6-20幅值谱与自功率谱第21页，共35页。对于一个线性系统(图6-21)，若其输入为x(t)，输出为y(t) ，系统的频率响应函数为H(f)， x(t) X(f) ，y(t) Y(

11、f) 则： Y(f) H(f) X(f) 。 不难证明，输入、输出的自功率谱密度与系统频率响应函数的关系如下：h(t)H(f)x(t)y(t)X(f)Y(f)图6-21理想的单输入、单输出系统第22页，共35页。二、互功率谱密度函数、定义如果互相关函数Rxy()可满足傅里叶变换的条件则定义称为信号x(t)和y(t)的互谱密度函数，简称互谱，根据傅立叶变换有互相关函数Rxy()并非偶函数，因此而Sxy(f)具有虚、实两部分。同样，Sxy(f)保留了Rxy()中的全部信息。第23页，共35页。对于模拟信号，功率谱的初步估计对于数字信号，功率谱的初步估计为:X*(f) 、Y*(f) 分别是X(f)

12、、Y(f)的共轭函数第24页，共35页。 （二）应用 对图6-21所示的线性系统。可证明有Sxy(f) H(f) Sx(f) 故从输入的自谱和输入、输出的互谱就可以直接得到系统的频率响应函数。所得到的H(f)不仅含有幅频特性而且含有相频特性。这是因为互相关函数中包含有相位信息。6-21 受外界干扰的系统第25页，共35页。输入x(t)与输出y(t)的互相关函数为由于输入x(t)与噪声n1(t) 、n2(t) 、n3(t)是独立无关的，故互相关函数均为零。故式中，H(f)= H1(f) H2(f)由此可见，利用互谱进行分析将可排除噪声的影响。这是这种分析方法的突出的优点。第26页，共35页。评价

13、系统的输入信号和输出信号之间的因果性，即输出信号的功率谱中有多少是输入量所引起的响应，在许多场合中是十分重要的。通常用相干函数来描述这种因果性，其定义为 如果相干函数为零，表示输出信号与输入信号不相干。当相干函数为1时，表示输出信号与输入信号完全相干，系统不受干扰而且系统是线性的。相于函数在0l之间，则表明有如下三种可能：1）测试中有外界噪声干扰；2）输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出；3）联系x(t)和y(t)的系统是非线性的。第27页，共35页。图6-23是船用柴油机润滑油泵压油管振动和压力脉冲间的相干分析。 润滑油泵转速为n=781r/min,油泵齿轮的齿数为z=14,则压油管压力脉动的基频为 齿轮引起的各次谐频对应的相干函数值都比较大，而其他频率对应的相干函数值很小，由此可见，油管的振动主要是由油压脉动引起的。图6-23 油压脉动与油管振动的相干分析第28页，共35页。例6-1解：显然h(t)是能量有限信号，满足则自相关函数为第29页，共35页。例6-2解：设则x(t)的自相关函数可表示为因为则所以第30页，共35页。例6-3解：由于方波信号的傅立叶级数展开式为根据同频相关，不同频不相关原则，在互相关函数中将仅存基频w0成分，并且由图示