《概率统计教学》59节(生物、心理、药学、中药)第2章随机变量及其分布课件

1、2022/8/412022/8/412022/8/41 在实际问题中，可能遇到多个随机变量的情形，如：1) 射击问题中,对于弹着点往往需要横坐标和纵坐标描述;2) 研究学龄前儿童的发育情况，观察身高,体重等;3) 具体评价产品的质量,可能有多个评价指标如尺寸,外形,外包装等.二维随机变量第1页，共37页。2022/8/422022/8/422022/8/421）定义：设 E 是一个随机试验，它的样本空间是S=e，设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量，或二维随机变量。SeX(e)Y(e)二维随机变量及其分布函数第2

2、页，共37页。2022/8/432022/8/432022/8/43注 意 事 项第3页，共37页。2022/8/442022/8/442022/8/44 定义 若X, Y均为离散随机变量，则 (X,Y ) 为二维离散随机变量,且二维离散随机变量1. 二维离散随机变量的联合分布律为(X，Y)的分布律或联合分布律.第4页，共37页。2022/8/452022/8/452022/8/45YX其中第5页，共37页。2022/8/462022/8/462022/8/46 例1 一枚硬币一面刻有数字1，另一面刻有数字2.将硬币抛两次，以X表示第一次、第二次出现的数字之和.以Y表示第一次出现的数字减去第二

3、次出现的数字，求（X,Y）的分布律，P(X+Y2).解：所有样本点(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)X Y-101201/4031/401/4401/40对应的X取值为：2， 3，3，4 Y取值为：0，-1，1，0第6页，共37页。2022/8/47二维连续随机变量1. 二维连续随机变量 定义 设X, Y均为连续随机变量，第7页，共37页。2022/8/48 联合概率密度的性质：这个公式非常重要！几何解释随机事件的概率=曲顶柱体的体积 第8页，共37页。2022/8/49二维离散型R.v.的边缘分布X的边缘分布Y的边缘分布第9页，共37页。2022/8/410设二维随机变量（

4、X, Y）的联合概率分布如下例1X Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：求随机变量X与Y的边缘概率函数。X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/501第10页，共37页。2022/8/411二维连续随机变量的边缘分布、Y的边缘密度函数：则随机变量X第11页，共37页。2022/8/412同理，由()yYPyFY=()-+-=ydvdxvxf，=P(-X+ ,Yy)第12页，共37页。2022/

5、8/413 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于 相互独立的随机变量 定义 . 设X,Y是两个随机变量，若对于任意实数a,b(ab), c,d(cd), 有P(aXb, cY d)= P(aXb) P( cY d)则称X，Y相互独立。第13页，共37页。2022/8/414 在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用. 在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！实际意义补充说明第14页，共37页。2022/8/415例1X Y123p.j11/61/91/181/321/31/3+ +pi.1/21/9

6、+1/18+ 2/3+ +解：由联合概率分布的性质知0, 0, 且2/3+ +=1,即 +=1/3,由X,Y相互独立,有第15页，共37页。2022/8/416 例3 某种保险丝的寿命(以100小时计)X服从参数为3的指数分布。（1）有两根此种保险丝，其寿命分别为X1, X2设X1, X2相互独立，求X1, X2的联合概率密度；（2）在(1)中一根保险丝是原装的，另一根是备用的，备用保险丝只在原装保险丝熔断时自动投入工作，于是两根保险丝总的寿命为X1+X2，求概率P(X1+X21).解: X1, X2相互独立, 故X1, X2的联合概率密度:x2oDx1第16页，共37页。2022/8/417

7、随机变量函数的分布X-2123pk0.30.20.10.4一、一维随机变量函数的分布求Y=X2-1的分布律例1 设随机变量X的分布律如下，解：Y的所有可能取值为0,3,8第17页，共37页。2022/8/418例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X的概率密度为解：分别记X，Y的分布函数为一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。第18页，共37页。解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=eX 在(1，e)上取值。2022/8/419例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，(1)求随机变量Y=e

8、X的概率密度;上式对y求导数，得Y的概率密度为第19页，共37页。例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在(0，+)上取值。2022/8/420上式对y求导数，得Y的概率密度为第20页，共37页。2022/8/421习题二(P70)：13,14,17(1),22,23(写出联合概率密度)，24，27 作业第21页，共37页。2022/8/422思考题第22页，共37页。2022/8/423备用题1.解第23页，共37页。2022/8/424XY0 1 2 3130000第24页，共3

9、7页。2022/8/4252.解第25页，共37页。2022/8/426第26页，共37页。2022/8/427第27页，共37页。2022/8/4283.设随机事件A,B满足求(X,Y)的分布列.解第28页，共37页。2022/8/429所以(X,Y)的联合分布列为第29页，共37页。2022/8/430所以(X,Y)的联合分布列为第30页，共37页。2022/8/4314.在长为a的线段的中点的两边随机地各取独立，它们的联合密度函数为Y为线段中点右边所取点到端点0的距离，一点，求两点间的距离小于a/3的概率.记X为线段中点左边所取点到端点0的距离，解OxaXY第31页，共37页。2022/8/432图2.2的阴影部分，因此，所求概率为xyO图2-2第32页，共37页。2022/8/4335.设随机变量(X,Y)的概率密度为解故 k=1/8.第33页，共37页。2022/8/